Geometrie: ein Lehrbuch für Mathematik- und Physikstudierende
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Vieweg
2006
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| Ausgabe: | 2., aktualisierte Auflage |
| Schriftenreihe: | Vieweg-Studium : Aufbaukurs Mathematik
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Auch als Internetausgabe |
| Beschreibung: | IX, 371 Seiten Illustrationen, Diagramme |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Symmetriegruppen 1
1.1 Isometrien der Ebene und des Raums............... 5
1.2 Gruppen und Gruppenoperationen................. 20
1.3 Endliche Symmetriegruppen..................... 39
1.4 Ergänzungen zu Kapitel 1...................... 60
1.4.1 Reguläre Polyeder........................ 60
1.4.2 Kristallographische Gruppen.................. 61
1.4.3 Der Brouwersche Fixpunktsatz................. 63
2 Skalarprodukt und Vektorprodukt 65
2.1 Skalarprodukt von Vektoren..................... 70
2.2 Das Vektorprodukt ......................... 74
2.3 Ergänzungen zu Kapitel 2...................... 79
2.3.1 Divergenz, Gradient und Rotation............... 79
2.3.2 Die Lorentzkraft......................... 80
2.3.3 Infinitesimale Drehungen .................... 81
3 Das Parallelenaxiom 83
3.1 Axiome der Euklidischen Geometrie................ 88
3.2 Das
Poincaré-Modell
der hyperbolischen Ebene.......... 98
3.3 Das Doppelverhältnis und die Längenmessung in der hyperboli¬
schen Ebene ............................. 120
3.4 Die Winkelmessung
in der hyperbolischen Ebene .................... 137
3.5 Ergänzungen zu Kapitel 3...................... 148
3.5.1 Das Beltrami-Klein-Modell................... 148
3.5.2 Bemerkungen zur Geschichte.................. 150
3.5.3 Reduktion binärer quadratischer Formen und ebene Gitter . 154
3.5.4 Elliptische Geometrie ...................... 164
4 Kegelschnitte 167
• 4.1 Normalformen............................ 168
4.2 Brennpunkte und Brenngeraden.................. 179
4.3 Schnitt eines Kegelschnitts mit Geraden oder anderen Kegelschnit¬
ten ................................... 189
4.4 Konfokale Kegelschnitte....................... 198
4.5 Die Sätze von Pascal und Brianchon................ 208
4.6 Dualität................................ 219
4.7 Ergänzungen zu Kapitel 4...................... 230
4.7.1 Gleichungen von Kegelschnitten in Polarkoordinaten..... 230
4.7.2
Kepler sche Ellipsen
....................... 233
4.7.3
Die Dandelin schen
Kugeln................... 235
4.7.4
Billiards
.............................. 236
4.7.5
Der Ponceleťsche
Schließungssatz ............... 241
4.7.6 Affine Klassifikation von Kegelschnitten und affine Kurven . . 241
4.7.7 Die
projektive
Ebene....................... 244
5 Quadriken in R3 250
5.1 Hauptachsentransformation für quadratische Formen....... 251
5.2 Normalformen............................ 257
5.3 Geraden auf einem einschaligen Hyperboloid ........... 263
5.4
Lorentz-
Geometrie.......................... 278
5.5 Ergänzungen zu Kapitel 5...................... 291
5.5.1 Der Trägheitstensor....................... 291
5.5.2 Eine Beziehung zwischen Lorentz-Geometrie und hyperboli¬
scher Geometrie ......................... 292
5.5.3 Die Schläfli sche Doppelsechs und kubische Flächen...... 296
6 Die Geometrie der Gruppe SO(3) 300
6.1 Eulersche Winkel........................... 303
6.2 Die Liealgebra sO(3)......................... 307
6.3 Die stereographische Projektion................... 311
6.4 Die Pauli-Matrizen.......................... 320
6.5 Ein Weg in SO(3), der nicht zusammenziehbar ist........ 324
6.6 Die Fundamentalgruppe....................... 329
6.7 Die Hopfabbildung.......................... 340
6.8 Ergänzungen zu Kapitel 6...................... 345
6.8.1 Die Bewegung eines Kreisels................... 345
6.8.2 Quaternionen........................... 347
6.8.3 Endliche Untergruppen von SU(2)............... 349
6.8.4 SL(2,C) und 50+(3,1) ..................... 350
6.8.5 Die Zopfgruppe als Fundamentalgruppe............ 353
Anhang A: Vorkenntnisse 354
Anhang B: Hinweise zum Literaturverzeichnis 359
Literaturverzeichnis 360
Index 368
|
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Inhaltsverzeichnis
1 Symmetriegruppen 1
1.1 Isometrien der Ebene und des Raums. 5
1.2 Gruppen und Gruppenoperationen. 20
1.3 Endliche Symmetriegruppen. 39
1.4 Ergänzungen zu Kapitel 1. 60
1.4.1 Reguläre Polyeder. 60
1.4.2 Kristallographische Gruppen. 61
1.4.3 Der Brouwersche Fixpunktsatz. 63
2 Skalarprodukt und Vektorprodukt 65
2.1 Skalarprodukt von Vektoren. 70
2.2 Das Vektorprodukt . 74
2.3 Ergänzungen zu Kapitel 2. 79
2.3.1 Divergenz, Gradient und Rotation. 79
2.3.2 Die Lorentzkraft. 80
2.3.3 Infinitesimale Drehungen . 81
3 Das Parallelenaxiom 83
3.1 Axiome der Euklidischen Geometrie. 88
3.2 Das
Poincaré-Modell
der hyperbolischen Ebene. 98
3.3 Das Doppelverhältnis und die Längenmessung in der hyperboli¬
schen Ebene . 120
3.4 Die Winkelmessung
in der hyperbolischen Ebene . 137
3.5 Ergänzungen zu Kapitel 3. 148
3.5.1 Das Beltrami-Klein-Modell. 148
3.5.2 Bemerkungen zur Geschichte. 150
3.5.3 Reduktion binärer quadratischer Formen und ebene Gitter . 154
3.5.4 Elliptische Geometrie . 164
4 Kegelschnitte 167
• 4.1 Normalformen. 168
4.2 Brennpunkte und Brenngeraden. 179
4.3 Schnitt eines Kegelschnitts mit Geraden oder anderen Kegelschnit¬
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4.4 Konfokale Kegelschnitte. 198
4.5 Die Sätze von Pascal und Brianchon. 208
4.6 Dualität. 219
4.7 Ergänzungen zu Kapitel 4. 230
4.7.1 Gleichungen von Kegelschnitten in Polarkoordinaten. 230
4.7.2
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. 233
4.7.3
Die Dandelin'schen
Kugeln. 235
4.7.4
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. 236
4.7.5
Der Ponceleťsche
Schließungssatz . 241
4.7.6 Affine Klassifikation von Kegelschnitten und affine Kurven . . 241
4.7.7 Die
projektive
Ebene. 244
5 Quadriken in R3 250
5.1 Hauptachsentransformation für quadratische Formen. 251
5.2 Normalformen. 257
5.3 Geraden auf einem einschaligen Hyperboloid . 263
5.4
Lorentz-
Geometrie. 278
5.5 Ergänzungen zu Kapitel 5. 291
5.5.1 Der Trägheitstensor. 291
5.5.2 Eine Beziehung zwischen Lorentz-Geometrie und hyperboli¬
scher Geometrie . 292
5.5.3 Die Schläfli'sche Doppelsechs und kubische Flächen. 296
6 Die Geometrie der Gruppe SO(3) 300
6.1 Eulersche Winkel. 303
6.2 Die Liealgebra sO(3). 307
6.3 Die stereographische Projektion. 311
6.4 Die Pauli-Matrizen. 320
6.5 Ein Weg in SO(3), der nicht zusammenziehbar ist. 324
6.6 Die Fundamentalgruppe. 329
6.7 Die Hopfabbildung. 340
6.8 Ergänzungen zu Kapitel 6. 345
6.8.1 Die Bewegung eines Kreisels. 345
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6.8.4 SL(2,C) und 50+(3,1) . 350
6.8.5 Die Zopfgruppe als Fundamentalgruppe. 353
Anhang A: Vorkenntnisse 354
Anhang B: Hinweise zum Literaturverzeichnis 359
Literaturverzeichnis 360
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