Ein Algorithmus zur Berechnung der Klassengruppe quadratischer Ordnungen über Hauptidealringen:
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Essen
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Autor: Paulus, Sachar
Jahr: 1996
Ein Algorithmus zur Berechnung der Klassengruppe quadratischer Ordnungen über Hauptidealringen Dissertation von Sachar Manfred Paulus
Inhaltsverzeichnis / 1 Quadratische Ordnungen 1.1 Ideale in Dedekindringen......................... 1.2 Ordnungen und Ideale als Moduln................. . . . 1.3 Fundamentaldiskriminanten....................... 1.4 Ideale in quadratischen Ordnungen ................... 2 Binäre quadratische Formen 2.1 Definition und Eigenschaften....................... 2.2 Projektiv äquivalente Idealbasen ..................... 2.3 Äquivalenz von Formen und Idealen................... 2.3.1 Beispiel 1: R = TL ......................... 2.3.2 Beispiel 2: R = Ök 0 , Ko Zahlkörper mit Klassenzahl 1 . . . . 2.4 Reduktionstheorie............................. 2.4.1 Gauß’ Reduktionstheorie..................... 2.4.2 Mögliche Verallgemeinerungen.................. 3 Der Algorithmus 3.1 Die Idee von Seysen......................... . . . 3.2 Die Verallgemeinerung.......................... vii 1 1 2 6 8 13 13 16 19 20 21 22 23 25 29 29 32
3.2.1 Relationenerzeugung.......................33 3.3 Analyse..................................36 3.4 Implementation..............................40 3.4.1 Templates.............................40 3.4.2 Das Paket FAGPACK ........................41 3.4.3 Das Paket QUACPACK .......................43 4 Hauptidealringe in Zahlkörpern 47 4.1 Arithmetik in Zahlkörpern mit Klassenzahl 1..............47 4.1.1 Primäre Zahlen..........................48 4.1.2 Hauptidealerzeugende........... 49 4.1.3 (Pseudo-)NormeuklidiSche Division...............50 4.1.4 Reduktionstheorie. . ....................... 51 4.2 Komplexität unseres Verfahrens.....................53 4.2.1 Analytische Klassenzahlformel.................. 53 4.2.2 Erzeugen der Klassengruppe durch Primformen........56 4.2.3 Glatte Ideale............................ 56 4.2.4 Zusammenfassung.........................57 4.3 Beispiele................................... 58 4.4 Lokalisierungen.................. 60 5 Hauptidealringe in Funktionenkörpern 63 5.1 Die Divisorklassengruppe einer Kurve.........’.........63 5.2 Hyperelliptische Kurven .........................65 5.2.1 Arithmetik.............................66 5.2.2 Komplexität............................ 66 viii
5.2.3 Praktische Ergebnisse.......................67 5.3 Hyper elliptische Kurven vom Typ g ................... 70 Literaturverzeichnis - 73 Anhang A Das Baby-Step-Giant-Step-Verfahren 77 B Quadratwurzeln “ modn”. 85 ix
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