Gewöhnliche Differentialgleichungen:
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Berlin
Walter de Gruyter & Co.
1948
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Inhaltsverzeichnis. i
Erstes Kapitel. Elementare Integrationsmethoden. Seite
§ 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen 1 i
§ 2. Geometrische Deutung einer Differentialgleichung erster Ordnung ... 2 i
§ 3. Trennung der Veränderlichen 3
§ 4. Homogene Differentialgleichungen 5
§ 5. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 8
§ 6. Exakte Differentialgleichungen 12 ;
§ 7. Integrierender Faktor 14
§ 8. Glairautsche Differentialgleichung 16
§ 9. Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die sich auf Differential¬
gleichungen erster Ordnung zurückführen lassen 19
§ 10. Differentialgleichung zweiter Ordnung und System von zwei Differential¬
gleichungen erster Ordnung 23
t
Zweites Kapitel. Existenzbeweise. Methode der schrittweisen ;
Näherung.
§ 11. Differentialgleichung erster Ordnung 25 *
§ 12. System von Differentialgleichungen 31 i
§ 13. Singuläre Lösungen 35
§ 14. Differentialgleichungen, welche die Lipschitzsche Bedingung nicht erfüllen 38
Drittes Kapitel. Numerische und graphische Näherungsmethoden.
§ 15. Angenäherte Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung .... 40
§ 16. Methode von Runge und Kutta 43
§ 17. Differentialgleichungssysteme und Differentialgleichungen zweiter Ord¬
nung 46
§ 18. Graphische Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung .... 49
§ 19. Anwendung der Methode der schrittweisen Näherung zur graphischen f
oder numerischen Lösung von Differentialgleichungen 51
Viertes Kapitel. Lineare Differentialgleichungen;
elementare Integrationsmethoden.
§ 20. Existenz der Lösungen linearer Differentialgleiehungen 56
§ 21. Fundamentalsystem von Lösungen einer linearen homogenen Differential- ¦ t
gleichung 57
§ 22. Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 62
§ 23. Nichthomogene lineare Differentialgleichungen 67
§ 24. Nichthomogene lineare Differentialgleichungen, besonderer Fall .... 70
§ 25. Kleine Schwingungen von Systemen mit einem Freiheitsgrad 73 ;
§ 26. Reduktion linearer Differentialgleichungen 76
s Inhaltsverzeichnis. VII
Seite
§ 27. Systeme linearer Differentialgleichungen 79
§ 28. Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . 83
§ 29. Kleine Schwingungen mechanischer Systeme mit mehreren Freiheits¬
graden 87
Fünftes Kapitel. Lineare Differentialgleichungen;
weitere Untersuchungen im reellen Gebiet.
§ 30. Über die Nullstellen der Integrale linearer Differentialgleichungen zweiter
[ Ordnung 92
§ 31. Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten .... 96
§32. Durchführung und Beispiel 99
Sechstes Kapitel. Existenzbeweise im komplexen Gebiet.
§ 33. Existenz der Lösungen einer Differentialgleichung erster Ordnung . . . 104
§ 34. Abhängigkeit der Lösungen von Parametern und Anfangswerten . . . 108
§35. Eindeutige Bestimmung einer Lösung durch die Anfangswerte . . . . 110
§ 36. Existenz der Lösungen eines Systems von Differentialgleichungen . . . 112
Siebentes Kapitel. Lineare Differentialgleichungen im komplexen Gebiet.
§37. Reguläre und singuläre Stellen einer linearen Differentialgleichung . . 114
§ 38. Reihenentwicklung. der Integrale in der Umgebung einer singulären
Stelle der Bestimmtheit 116
; § 39. Möhrfache Wurzeln der determinierenden Fundamentalgleichung und
Wurzeln mit ganzzahligen Differenzen 110
§ 40. Konvergenzbeweis 125
§ 41. Differentialgleichungen vom Fuchsschen Typus 127
§ 42. Die Gaußsche Differentialgleichung . . . 131
§ 43. Hypergeometrische Funktionen 134
§ 44. Integration der Gaußschen Differentialgleichung vermittels bestimmter
Integrale 138
§ 45. Die Legendresche Differentialgleichung 140
§ 46. Die Besselsche Differentialgleichung 145
§ 47. Beständig konvergente hypergeometrische Reihen und lineare Differen¬
tialgleichungen mit linearen Koeffizienten 150
§ 48. Reihenentwicklung der Integrale in der Umgebung einer allgemeineren
singulären Stelle 155
§ 49. Form der Differentialgleichung in der Umgebung einer singulären Stelle
der Bestimmtheit 161
Achtes Kapitel. Abhängigkeit der Lösungen von Parametern
und Anfangswerten.
§ 50. Abhängigkeit der Lösungen von Differentialgleichungen und Differential¬
gleichungssystemen von Parametern 165
§ 51. Abhängigkeit der Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung von
den Anfangswerten 169
§ 52. Übertragung auf ein Differentialgleichungssystem 171
§ 53. Die einem Differentialgleichungssystem zugeordnete lineare partielle
Differentialgleichung 173
§54. Weitere Untersuchungen über Differentialgleichungen mit einem Para¬
meter 176
VIII Inhaltsverzeichnis. 1
Seite
§55. Periodische Lösungen eines Differentialgleichungssystems mit einem
Parameter. Erster Fall 180
§ 56. Periodische Lösungen eines Differentialgleichungssystems mit einem
Parameter. Zweiter Fall 182
Neuntes Kapitel. Singularitäten nichtlinearer Differentialgleichungen.
§ 57. Die einfachsten Singularitäten einer Differentialgleichung erster Ordnung 184
§ 58. Reihenentwicklung der Lösungen von Differentialgleichungssystemen in
der Umgebung singulärer Stellen 187 i
§ 59. Singuläre Punkte der reellen Integralkurven einer Differentialgleichung !
erster Ordnung 194
§ 60. Der Fall des Wirbelpunktes 199
§61. Ausnahmefälle 203 (
Zehntes Kapitel. Asymptotische Darstellung der Integrale von
Differentialgleichungen.
§ 62. Divergente Reihen, welche linearen Differentialgleichungen genügen . . 206
§ 63. Laplacesche Integrale als Lösungen linearer Differentialgleichungen . . 210
§ 64. Konvergenz der Laplaceschen Integrale ~. 215
§65. Asymptotische Darstellung Laplacescher Integrale 218
§ 66. Die Laplacesche Differentialgleichung . . : 224
§ 67. Die Hankeischen und Besselschen Funktionen 229 :
§ 68. Divergente Reihen, welche nichtlinearen Differentialgleichungen genügen 233 )
Sachregister 236
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