Didaktik, Zahlen, Algebra: mathematisch-didaktische Überlegungen am Fundamentalsatz der Algebra
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| Published: |
Bad Salzdetfurth [u.a.]
Franzbecker
1985
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| Series: | Texte zur mathematisch-naturwissenschaftlich-technischen Forschung und Lehre
17 |
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| Item Description: | Zugl.: Bonn, Univ., Habil.-Schr., 1984 |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1. Zur Gewinnung der Problemstellung 2
1.1. Schlagworte aus der neueren mathematik-dldaktischen
Diskussion 4
1.1.1. critical appreciation 4
1.1.2. Sinn 5
1.1.3. progressive schematising 7
1.1.4. Dynamische Sichtweise von Mathematik . . 8
1.2. Zur Realisierung der genannten didaktischen
Einstellungen 10
1.2.1. Ansatz 10
1.2.2. Transfer 12
1.2.3. Mathematischer Stoff oder didaktische
Themen als Leitlinie? 14
1.3. Suche nach einer geeigneten Darstellungsform ... 17
1.3.1. Abstrakt vs. anschaulich 17
1.3.2. Fundamentale Ideen als Gestaltungsmittel . 20
1.3.3. Regulative Prinzipien 21
1.4. Algebra als Hintergrundtheorie für Schulstoffe . . 22
1.4.1. Orientierung am Vorverständnis 22
1.4.2. Algebraische Gleichungen als Ausgangs¬
punkt - Werkzeugcharakter der algebraischen
Strukturen 23
1.4.3. Zielbeschreibung des Kurses 25
2. Der Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra als
Leitmotiv eines Algebra - Kurses 29
i
2.1. Die sog. elementaren Beweise für den Fundamentalsatz i
der Algebra 31
2.2. Weitere Beweisansätze 33
2.3. Didaktische Kriterien für die Auswahl von
Beweisen 35
2.3.1. Beweise als Mittel der Wissens¬
vermehrung 35
2.3.2. Intuitive Zugänglichkeit 39
2.3.3. Strukturierbarkeit 43
2.3.4. Einbeziehung universeller Ideen 44
I
2.4. Entscheidung aufgrund didaktischer Kategorien . . 45 i
t
2.4.1. Der Cauchy-Argand-Beweis in der Anordnung
von H. und M. Kneser 45
2.4.2. Der Artinsche Beweis: Schema und
didaktische Bewertung 48
1. Ursprüngliche Problemstellung 49 :
2. Ein intuitiver Zugang 50 !
3. Strukturdiagramm des Artinschen Beweises - j
Hinweis auf universelle Ideen 56
3. Grundlegende Gedanken bei den Zahlbereichs¬
erweiterungen 60
3.1. Logischer Weg - genetischer Weg
(Beispiel IN ¦ % ) 63
3.2. Stationen auf dem genetischen Weg
(Beispiel $ IR ) 70
3.3. Adjunktionen (Beispiel U £ ) 74
3.4. Adjungieren als Idealisieren 81
3.5. Zusammenfassung: Das algebraische Motiv zur
Erweiterung von Zahlbereichen 84
4. Bildung des Begriffs algebraische Körpererweiterung -
Zur didaktischen Funktion von Beispielen 86
4.1. Ansatz zur Behandlung eines Beispiels 91
4.2. Ein analoger Fall aus dem Schulunterricht: Einzel¬
beispiel, Prototyp oder formale Allgemeinheit? . . 95
4.3. Algebraische Körpererweiterungen: genetischer Zugang
zu einem allgemeinen Begriff 99
4.3.1. Ringe und Polynomringe: lokale Einbettung 102
4.3.2. Erklärung der Adjunktion 106
4.3.3. Vektorraumstruktur algebraischer Erweiterungs¬
körper: fundamentale Idee der Reduktion . 112
4.3.4. Grad endlicher Erweiterungskörper .... 115
4.4. Erneute Obersicht über die Zahlbereiche - Zur Be¬
deutung des Pundamentalsatzes der Algebra .... 119
5. Galois - Theorie: Idee, Reduktions- und Problemlöse¬
charakter 126
5.1. Neuformulierung von Sätzen: Beispiele für die Verwendung
von heuristischen Strategien 128
5.2. Der Hauptsatz der Galois - Theorie 135
5.2.1. Zerfällungskörper 136
5.2.2. Automorphismen 139
5.2.3. Resultat der Galois - Theorie 144
5.2.4. Beweis des Hauptsatzes 146
6. Abschluß des Beweises des Fundamentalsatzes der
Algebra 148
6.1. Identifizierung benötigter Hilfsmittel aus der
Gruppentheorie 150
6.2. Beweis eines Sylow - Satzes 154
6.3. Zusammenfassung: Die Gedankenfolge, die zum Beweis
des Fundamentalsatzes der Algebra führt 162
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