Grundlagen der Analysis:
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| Format: | Buch |
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Cham
Birkhäuser
[2024]
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| Schriftenreihe: | Grundstudim Mathematik
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Inhaltsverzeichnis 1 2 Diereellen Zahlen 1 1.1 Die algebraischen Operationen 1.1.1 Präliminarien über Mengen und Funktionen 1.1.2 Die natürlichen Zahlen 1.1.3 Binäre Operationen 1.1.4 Körper 1.1.5 Homomorphe Abbildungen von N in einen Körper 1.2 Die Anordnungsrelation 1.2.1 Anordnungen 1.2.2 Anordnungen von Körpern 1.2.3 Einbettung von N in einen angeordneten Körper 1.2.4 Vollständigkeit einer Anordnung - Grundannahme 1.2.5 Adjunktion von сю und — oo 1.2.6 Infimum und Supremum 1.3 Potenzen mit reellem Exponenten 1.3.1 Existenz- und Eindeutigkeitssatz 1.3.2 Die allgemeine Bernoullische Ungleichung 1.4 Die reellen Zahlenräume und der Körper derkomplexen Zahlen 1.4.1 Die reellen Zahlenräume Rn 1.4.2 Skalarprodukt und Absolutbetrag auf Rn 1.4.3 Einfache Punktmengen des Rn 1.4.4 Der Körper der komplexen Zahlen 1 1 5 6 12 15 16 16 18 21 22 25 26 32 32 36 44 44 45 47 48 Grenzwert und Stetigkeit 51 2.1 Zahlenfolgen 2.1.1 Limes Inferior und Limes Superior 2.1.2 Der Grenzwert von Zahlenfolgen 2.1.3 Häufungswerte 2.1.4 Teilfolgen 2.1.5 Folgen auf Rn, insbesondere komplexe Zahlenfolgen 2.2 Unendliche Reihen 2.2.1 Definition und einfache Eigenschaften 2.2.2 Reihen mit nichtnegativen Gliedern 2.2.3 Kommutativ- und Distributivgesetz 2.3 Grenzwerte von Funktionen 2.3.1 Definitionen 2.3.2 Konvexe Funktionen und Logarithmus 2.3.3 Häufungswerte 51 51 55 63 67 70 74 74 78 81 87 87 94 99 vii
Inhaltsverzeichnis 2.4 2.5 2.3.4 Verallgemeinerung der bisher betrachteten Situationen Stetige Funktionen 2.4.1 Stetigkeit in einem Punkt 2.4.2 Stetigkeit auf einem Intervall Folgen von Funktionen 2.5.1 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz 2.5.2 Reihen von Funktionen Differentiation und Integration von Funktionen einer reellen Veränderlichen 3.1 3.2 3.3 Differentiation 3.1.1 Definition und einfache Regeln 3.1.2 Globale Aussagen 3.1.3 Bemerkungen über vektorwertige Funktionen 3.1.4 Folgen von Funktionen 3.1.5 Die trigonometrischen Funktionen 3.1.6 Die Regeln von de L’Hospital Mehrfache Differentiation 3.2.1 Definition und einfache Eigenschaften 3.2.2 Taylorpolynome und der Satz von Taylor 3.2.3 Analytische Funktionen Integration 3.3.1 Funktionen von beschränkter Variation 3.3.2 Das Riemann-Stieltjes-Integral 3.3.3 Das Elementarintegral und der Zusammenhang zwischen Integration und Differentiation 3.3.4 Uneigentliche Integrale und die Γ-Funktion Grenzwerttheorie in metrischen Räumen 4.1 4.2 4.3 viii Metrische Räume 4.1.1 Definition und Beispiele 4.1.2 Folgen auf metrischen Räumen 4.1.3 Offene und abgeschlossene Teilmengen 4.1.4 Der Satz von Baire 4.1.5 Kompaktheit Stetigkeit 4.2.1 Definition und einfache Folgerungen 4.2.2 Stetigkeit und Kompaktheit 4.2.3 Stetigkeit und Zusammenhang Funktionenräume 4.3.1 Der Satz von Ascoli 4.3.2 Der Satz von Dini 4.3.3 Der Satz von Stone-Weierstraß 102 105 105 111 117 117 120 123 123 123 127 130 133 135 140 143 143 145 152 154 155 167 180 192 199 200 200 206 211 219 223 229 229 238 239 244 244 247 250
Inhaltsverzeichnis 5 Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlicher 257 5.1 Differentialrechnung im R” 5.1.1 Definitionen 5.1.2 Lineare Abbildungen 5.1.3 Richtungsableitungen und partielle Ableitungen 5.1.4 Einfache Folgerungen und Mittelwertsatz 5.2 Differentialrechnung in normierten Vektorräumen 5.2.1 Normierte Vektorräume 5.2.2 Lineare Abbildungen 5.2.3 Der Satz von Hahn-Banach 5.2.4 Differentialrechnung 5.3 Der Umkehrsatz und der Satz von den impliziten Funktionen 5.3.1 Normierte Algebren 5.3.2 Der Banachsche Fixpunktsatz 5.3.3 Der Umkehrsatz 5.3.4 Produkte von normierten Vektorräumen 5.3.5 Der Satz von den impliziten Funktionen 5.4 Mehrfache Differentiation 5.4.1 Vertauschbarkeitssätze 5.4.2 Multilineare Abbildungen 5.4.3 Definition und einfache Eigenschaften 5.4.4 Taylorpolynome und Satz von Taylor 5.4.5 Der Fall X = R", Multiindex-Schreibweise 257 257 260 261 266 270 270 274 276 282 289 289 292 293 298 301 303 303 306 309 313 317 Differentialgleichungen 321 Existenz- und Eindeutigkeitssätze 6.1.1 Definition und Beispiele 6.1.2 Der Satz von Picard-Lindelöf 6.1.3 Der Satz von Peano 6.2 Fortsetzungs- und Abhängigkeitssätze 6.2.1 Maximale Lösungen und Fortsetzungssatz 6.2.2 Abhängigkeitssätze 6.3 Lineare Differentialgleichungen 6.3.1 Anwendung der allgemeinen Theorie 6.3.2 Die Resolvente 6.3.3 Fundamentalsysteme 6.3.4 Reduktion der Ordnung 6.3.5 Der Fall Dx = g(t)Ax mit konstantem A 321 321 329 333 338 338 343 355 356 359 368 369 373 Integration bei Funktionen mehrerer Veränderlicher 377 6.1 7.1 Der elementare Inhalt kompakter Teilmengen des Rn 7.1.1 Der Inhalt
von kompakten Intervallen 7.1.2 Der Inhalt von kompakten Punktmengen 377 377 379
Inhaltsverzeichnis Abstrakte Maßtheorie 7.2.1 Mengensysteme 7.2.2 Inhalte und Maße 7.2.3 Fortsetzungstheorie, erster Teil 7.2.4 Fortsetzungstheorie, zweiter Teil 7.3 Messbare Funktionen 7.3.1 Definition und einfache Eigenschaften 7.3.2 Grenzwertsätze 7.3.3 Elementarfunktionen 7.3.4 Induzierte σ-Algebren auf Teilmengen 7.4 Integration 7.4.1 Integration von Elementarfunktionen 7.4.2 Nichtnegative messbare Funktionen 7.4.3 Integrierbare Funktionen 7.4.4 Integration auf messbaren Teilmengen 7.4.5 Vergleich des Lebesgue-Integrals mit dem Elementarintegral 7.4.6 Beispiele 7.5 Der Satz von Fubini 7.5.1 Produkt-o-Algebra und Produktmaß 7.5.2 Einige Anwendungen 7.5.3 Die Sätze von Fubini- Tonelli und Fubini 7.5.4 Beispiele 7.6 Die Funktionenräume £p 7.6.1 Allgemeine Theorie 7.6.2 Approximationssätze 7.6.3 Anhang: Der Raum £2([0, 2π]) 7.7 Der Transformationssatz 7.7.1 Volumdifferentiation 7.7.2 Inhalt von Bildmengen 7.7.3 Transformaton von Integralen 386 387 392 394 400 406 406 409 411 413 413 414 416 420 423 425 429 432 432 436 437 440 447 447 452 456 464 464 471 483 Analysis auf glatten Mannigfaltigkeiten 489 7.2 8 8.1 8.2 8.3 X Glatte Mannigfaltigkeiten 8.1.1 Topologische Flächen 8.1.2 Glatte Flächen 8.1.3 Glatte Mannigfaltigkeiten Differentiation auf glatten Mannigfaltigkeiten 8.2.1 Differentiation auf glatten Flächen 8.2.2 Differentiation auf glatten Mannigfaltigkeiten 8.2.3 Implizit definierte Mannigfaltigkeiten 8.2.4 Extremwerte und Lagrangesche Multiplikatorenregel Orientierung von glatten Mannigfaltigkeiten 8.3.1 Eine Hilfsfunktion 8.3.2 Orientierung von Untervektorräumen
489 489 490 493 496 496 499 502 506 508 508 511
Inhaltsverzeichnis 8.4 9 8.3.3 Orientierung von glatten Mannigfaltigkeiten Integration auf glatten Mannigfaltigkeiten 8.4.1 Integration auf glatten Flächen 8.4.2 Integration auf glatten Mannigfaltigkeiten 8.4.3 Ausdehnung des Satzes von Fubini 511 516 516 521 522 Der Integralsatz von Gauß 529 Die äußere Normale einer beschränkten glatten Mannigfaltigkeit 9.1.1 Der Rand einer beschränkten glatten Mannigfaltigkeit 9.1.2 Definition der äußeren Normalen 9.1.3 Verhalten der äußeren Normalen bei einer glatten Abbildung 9.2 Divergenz und Flächendivergenz 9.2.1 Definition der Divergenz und Integralsatz für Intervalle 9.2.2 Transformationsverhalten der Divergenz und Integralsatz für Normalbereiche 551 9.2.3 Flächendivergenz 9.3 Der allgemeine Integralsatz von Gauß 9.3.1 Der lokale Spezialfall 9.3.2 Der Minkowski-Inhalt 9.3.3 Der allgemeine Integralsatz von Gauß 9.4 Anhang 9.4.1 Al: Teilung der Eins 9.4.2 A2: Ein Approximationssatz 529 529 532 536 542 542 9.1 554 557 557 561 565 568 568 570 Lehrbücher und Aufgaben zur Analysis 573 Weiterführende Literatur 575 Index 587 xi |
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