Analysis I:
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Berlin
Springer Spektrum
[2024]
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Inhaltsverzeichnis Teil I Grundlagen der Analysis Logik und Mengenlehre. 1.1 Logik. 1.2 Mengenlehre. 1.3 Abbildungen. 1.4 Relationen. 1.4.1 Äquivalenzrelationen. 1.4.2 Ordnungsrelationen. Aufgaben. 3 3 7 11 14 15 17 21 2 Reelle Zahlen. 2.1 Der Erweiterungsbedarf der rationalen Zahlen. 2.2 Die Axiome der reellen Zahlen. 2.2.1 Die algebraischen Axiome. 2.2.2 Die Anordnungsaxiome. 2.2.3 Das Vollständigkeitsaxiom. 2.2.4 Eindeutigkeit. 2.3 Natürliche, ganze und rationale Zahlen. 2.3.1 Natürliche Zahlen. 2.3.2
Ganze Zahlen. 2.3.3 Rationale Zahlen. 2.4 Intervallschachtelung. 2.5 Mächtigkeit. 2.5.1 Endliche Mengen. 2.5.2 Abzählbare Mengen. 2.5.3 Überabzählbare Mengen. Aufgaben. 23 23 30 31 35 39 40 41 41 47 50 51 56 57 59 62 67 3 71 71 74 1 Reelle Folgen und Reihen. 3.1 Grenzwerte reeller Folgen. 3.2 Das Rechnen mit reellen Folgen. XIII
Inhaltsverzeichnis XIV 4 3.3 Konvergenzkriterien. 3.3.1 Monotone Folgen. 3.3.2 Teilfolgen und Häufungswerte. 3.3.3 Cauchyfolgen. 3.4 Reihen. 3.4.1 Konvergenz. 3.4.2 Absolute Konvergenz und Umordnung. 3.4.3 Konvergenzkriterien. 3.4.4 Dezimalbruchentwicklungen . 3.4.5 Potenzreihen. 3.4.6 Doppelreihen. 3.4.7 Produkte von Reihen. 3.4.8 Zusammensetzung und Division von Potenzreihen. Aufgaben. 78 78 89 92 95 97 100 104 111 114 120 130 134 137 Topologische Strukturen auf R. 4.1 Topologische Grundbegriffe in metrischen Räumen. 4.2 Offene und zusammenhängende reelle Mengen. 4.3 Kompakte und abgeschlossene reelle Mengen. 4.4 Vervollständigung eines
metrischen Raumes. Aufgaben. 145 145 157 158 161 163 Teil II Reelle Funktionen 5 Grenzwert und Stetigkeit. 5.1 Grenzwerte von Funktionen. 5.2 Stetige Funktionen. 5.2.1 Stetige Funktionen auf Intervallen. 5.2.2 Stetige Funktionen auf kompakte Mengen. 5.2.3 Funktionenfolgen. 5.2.4 Der Approximationssatz von Weierstraß. 5.3 Anwendungen. 5.3.1 Der wackelnde Tisch. 5.3.2 Perioden bei der Iteration einer stetigen Funktion. 5.3.3 Die Rotationszahl einer stetigen Kreisabbildung. Aufgaben. 171 171 177 183 190 193 205 209 210 211 216 223 6 Differenzierbarkeit. 6.1 Intuitiv-geometrische Leitgedanken und Rechenregeln. 6.2 Extrema und Mittelwertsätze. 6.3
Taylorformel. 6.4 Elementare Funktionen. 6.4.1 Exponentialfunktion, Logarithmus und allgemeine Potenz. 271 6.4.2 Die trigonometrischen Funktionen. 6.5 Zweite Ableitung und konvexe Funktionen. 231 231 249 269 270 279 290
Inhaltsverzeichnis XV Numerische Differentiation. Anwendungen. 6.7.1 Gedämpfte Schwingungen. 6.7.2 Stetige Verzinsung. 6.7.3 Das Reflexionsgesetz der geometrischen Optik. 6.7.4 Kriminelle Untersuchung. 6.7.5 Die Ritter der Tafelrunde. Aufgaben. 307 311 311 319 320 325 327 328 7 Das Riemann’sche Integral. 7.1 Unbestimmte Integrale. 7.1.1 Methoden zur Bestimmung einer Stammfunktion. 7.1.2 Nichtelementar integrierbare Funktionen. 7.2 Der Integralbegriff. 7.3 Hauptsätze der Integralrechnung. 7.4 Das Lebesgue-Kriterium der Riemann-Integrierbarkeit. 7.5 Variabientransformation . 7.6 Taylorformelmitintegralfehlerterm. 7.7 Funktionenfolgen und Integrale. 7.8 Uneigentliche
Integrale. 7.8.1 Unbeschränktes Integrationsintervall. 7.8.2 Unbeschränkte Funktionen. 7.9 Numerische Integration. 7.10 Anwendungen. 7.10.1 Das Basler Problem. 7.10.2 Die Euler-Konstante. 7.10.3 Die Jensen-Ungleichung. 7.10.4 Die Stirling-Formel und Entropie. 7.10.5 Raketenflug. 7.10.6 Bevölkerungswachstum. 7.10.7 Atembeschwerden. Aufgaben. 339 339 341 359 362 376 382 390 391 396 400 400 410 412 426 427 428 429 431 435 439 444 447 8 Das Lebesgue-Integral. 8.1 Mängel des Riemann’schen Integrals. 8.2 Paradigmen wechsel: messbare Mengen und Funktionen. 8.2.1 Lebesgue-messbare Mengen. 8.2.2 Lebesgue-messbare Funktionen. 8.3 Integrierbare
Funktionen. 8.3.1 Integral mittels der Verteilungsfunktion. 8.3.2 Dominierte Konvergenz. 8.3.3 Parameterabhängige Integrale. 8.3.4 Vergleich mit dem Riemann-Integral. 8.3.5 Approximation durch stetige Funktionen. 8.4 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. 8.5 Variabientransformation . 459 459 461 462 480 497 498 512 519 524 525 528 544 6.6 6.7
Inhaltsverzeichnis XVI Mittelwertsätze. Einige grundlegende Ungleichungen und Funktionenräume. 8.7.1 Die Jensen’sche Ungleichung. 8.7.2 Die Hölder’sche Ungleichung. 8.7.3 Die Minkowski’sche Ungleichung. 8.7.4 LP-Räume. 8.7.5 Funktionen von beschränkter Variation. 8.8 Einige feine Eigenschaften reeller Funktionen. 8.8.1 Ableitbarkeit einer Lipschitz-Funktion . 8.8.2 Integraldarstellung einer konvexen Funktion. 8.9 Anwendungen. 8.9.1 Fourier-Reihen und-Integrale. 8.9.2 Ergodentheorie. Aufgaben. 548 550 551 552 556 Anhang. 643 Stichwortverzeichnis. 693 8.6 8.7 557 572 578 578 582 585 585 611 628 |
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