Analysis 1: ein zuverlässiger und verständlicher Begleiter für Studium und Prüfung
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Berlin
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[2023]
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Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen. 1.1 Grundlagen. 1.2 1.3 2 Vollständige Induktion. 2.1 Summen- und Produktnotation. 2.2 2.3 2.4 3 Verknüpfung von Aussagen. Quantoren. Die Beweismethode der vollständigen Induktion. Verallgemeinerungen des Induktionsprinzips. Bonusmaterial und Anmerkungen. Mengen. Grundbegriffe der Mengenlehre. Mengenoperationen und ihre Rechenregeln. Indizierte Mengen. Mengen von Mengen. Geordnete Paare. Das Produkt zweier Mengen. Schlussbemerkungen. 3.6.1 Cantors Werk und seine Rezeption. 3.6.2 Zur Definition der natürlichen Zahlen. Ergänzendes Material zu
diesem Kapitel. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 4 Einige Beweistechniken. 4.1 Kontraposition und Widerspruchsbeweis. 4.2 Zum axiomatischen Aufbau der Mathematik. 4.3 Die Jagd nach dem kleinsten Verbrecher. Literatur für dieses Kapitel. 5 Reelle Zahlen. 5.1 5.2 5.3 Axiomatische Charakterisierung. 5.1.1 Körperaxiome. 5.1.2 Anordnungsaxiome . 5.1.3 Vollständigkeit. Folgerungen ausden Körpereigenschaften. Potenzen. 1 1 4 8 11 11 13 15 16 17 17 20 22 24 25 26 26 27 28 29 29 31 35 36 37 37 37 39 41 42 46 IX
Inhaltsverzeichnis X 6 5.4 Elementare Ungleichungen. 5.5 Absolutbetrag, Minimum und Maximum. 5.6 Supremum und Infimum. Vollständigkeit. 5.7 Ausblick: Zum Archimedischen Axiom. Ergänzendes Literatur zu diesem Kapitel. 47 52 55 60 60 Funktionen. 61 61 64 65 69 6.1 6.2 6.3 6.4 7 Der Funktionsbegriff. Eigenschaften von Abbildungen. Die Umkehrfunktion. Wurzeln. Komposition von Funktionen. Die komplexen Zahlen. 7.1 Motivation. 7.2 Definition und elementare Eigenschaften komplexer Zahlen . 7.3 Nachbemerkung und Ausblick. Ergänzendes Literatur zu diesem Kapitel. 8 Folgen. Motivation. Folgen und
Grenzwerte. Rechenregeln für Grenzwerte. Verträglichkeit von Grenzwert und Ungleichungen. 8.4.1 Montone Folgen. 8.5 Uneigentliche Konvergenz. 8.6 Der Satz von Bolzano-Weierstraß. 8.6.1 Teilfolgen und Häufungspunkte. 8.7 Limes superior und Limes inferior. 8.8 Vollständigkeit. 8.9 Folgen komplexer Zahlen. 8.10 Bonusmaterial. Literatur zu diesem Kapitel. 8.1 8.2 8.3 8.4 9 Reihen. 9.1 Motivation und grundlegende Begriffe. 9.2 Absolute Konvergenz. 9.3 Weitere Konvergenzkriterien. 9.4 Alternierende Reihen. 9.5 Potenzreihen. 9.6
Reihenprodukte. 9.7 Bemerkungen und Ausblicke. Ergänzendes Literatur zu diesem Kapitel. 10 Stetige Funktionen. 10.1 Motivation. 10.2 Grundlegende Begriffe. 10.3 Sätze über stetige Funktionen. 73 73 74 78 79 81 81 82 87 89 90 92 93 93 96 98 99 103 105 107 107 112 115 119 121 123 128 131 133 133 134 138
Inhaltsverzeichnis XI 10.4 Uneigentliche Grenzwerte von Funktionen. 10.5 Monotone Funktionen. 10.6 Anmerkungen. Ergänzendes Literatur zu diesem Kapitel. 143 145 148 149 11 Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen, Logarithmus. 11.1 Die Exponentialfunktion im Reellen. 151 154 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 Die Exponentialfunktion im Komplexen. Trigonometrische Funktionen. Die Kreiszahl π. Polarkoordinaten . Tangens und hyperbolische Funktionen. Logarithmen. Die allgemeine Potenzfunktion. 12 Differenzierbarkeit reeller Funktionen. 12.1 Kontext. Definition der Differenzierbarkeit. 12.2 Rechenregeln. 12.3 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen. 12.4
Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. 12.5 Höhere Ableitungen. 12.6 Konvexe Funktionen. 12.7 Schlussbemerkung·. Nicht differenzierbare Funktionen. Ergänzendes Literatur zu diesem Kapitel. 13 Folgen von Funktionen . 13.1 Punktweise Konvergenz. 13.2 Gleichmäßige Konvergenz. 14 Das Integral . 14.1 Grundlagen. 14.2 Der Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung. 14.3 Integrationsregeln. 14.4 Bonusmaterial: Integrationspraxis. 14.4.1 Integration rationaler Funktionen. 14.4.2 Integrale von Verkettungen rationalen Funktionen. . 14.5 Weitere Charakterisierungen von Regelfunktionen. 14.6 Uneigentliche Integrale. 14.7 Anwendung: Wallis’sches Produkt und StirlingscheFormel. . 14.8
Ausblick. Ergänzendes Literatur zu diesem Kapitel. 15 Vertauschungssätze. 15.1 Punktweise Konvergenz: Drei Enttäuschungen. 15.2 Vertauschungssätze für gleichmäßige Konvergenz. 156 160 162 163 166 169 171 171 176 182 187 189 194 196 197 199 199 201 207 207 217 221 225 226 235 237 239 242 247 247 249 250 252
XII Inhaltsverzeichnis 16 Potenzreihen und Taylorreihen. 16.1 Gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen. 16.2 Taylorreihen. 16.3 Bonusmaterial. 255 255 261 269 17.2.1 Integrierende Faktoren. 17.2.2 Variation der Konstanten. 17.3 Anwendung: Coffeingehalt im Blut. Ergänzendes Literatur zu diesem Kapitel. 271 273 277 278 281 283 285 18 Unendliche Mengen. 287 Stichwortverzeichnis. 295 17 Einführung in Differentialgleichungen . 17.1 Separable Differentialgleichungen erster Ordnung. 17.2 Inhomogene Gleichungen erster Ordnung. |
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