Analysis 1: fokussiert und farbig
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Berlin, Heidelberg
Springer Spektrum
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Inhaltsverzeichnis Einleitung. 1. Der Körper der reellen Zahlen. 1.1. Konventionen und Definitionen aus der Mengenlehre. 1.2. Die Körperaxiome . 1.3. Folgerungen aus den Axiomen der Addition. 1.4. Folgerungen aus den Axiomen der Multiplikation. 1.5. Summen- und Produktnotation. 1.6. Angeordnete Körper. 1.7. Das archimedische Axiom. 1.8. Das Vollständigkeitsaxiom und die reellen Zahlen. 1.9. Reelle Zahlen und natürliche Zahlen. 1.10. Notationen. 1.11. Die vollständige Induktion. Übungsaufgaben zu Kapitel 1. 2. Folgen und
Reihen. 2.1. Quantoren. ;. 2.2. Negieren mit Quantoren. 2.3. Folgen. 2.4. Bestimmte Divergenz. 2.5. Reihen. Übungsaufgaben zu Kapitel 2. 3. Infimum und Supremum. 3.1. Supremum. 3.2. Infimum. 3.3. Wurzeln. 3.4. Irrationale Zahlen. Übungsaufgaben zu Kapitel 3. 4. Vollständigkeit und Cauchy-
Folgen. 4.1. Monotone Folgen. 4.2. Teilfolgen und der Satzvon Bolzano-Weierstraß. 4.3. Cauchy-Folgen. 4.4. Dezimaldarstellung vonreellen Zahlen . 1 3 3 4 6 7 9 11 14 15 16 16 17 22 25 25 26 26 34 39 42 45 45 48 49 51 51 53 53 54 56 57
vi INHALTSVERZEICHNIS 4.5. Injektive, surjektive und bijektive Abbildung. 60 4.6. Abzählbare und überabzählbare Mengen. 60 Übungsaufgaben zu Kapitel 4. 62 5. Konvergenz von Reihen. 64 5.1. Erinnerung an Reihen. 64 5.2. Konvergenzkriterien für Reihen. 66 5.3. Absolute Konvergenz von Reihen. 69 5.4. Weitere Konvergenzkriterien. 70 5.5. Umordnung von Reihen. 73 5.6. Beweis des Umordnungssatzes 5.13. 75 5.7. Das Cauchy-Produkt für absolut konvergente Reihen. 76 5.8. Beweis der Cauchy-Produktformel. 77. 5.9. Die Exponentialreihe. 78 Übungsaufgaben zu Kapitel
5. 80 6. Stetige Funktionen. 82 6.1. Beispiele von Funktionen. 82 6.2. Definition von Stetigkeit und erste Eigenschaften. 83 6.3. Stetigkeit von Funktionen und Grenzwerte von Folgen. 85 6.4. Eigenschaften von stetigen Funktionen. 87 6.5. Stetigkeit der Exponentialfunktion. 89 6.6. Grenzwerte von Funktionen. 90 6.7. Gleichmäßige Stetigkeit. 93 6.8. Der Zwischenwertsatz. 95 Übungsaufgaben zu Kapitel 6. 100 7. Umkehrfunktionen. 103 7.1. (Streng) monotone Funktionen. 103 7.2. Die Definition von Umkehrfunktionen.105 7.3. Stetigkeit von
Umkehrfunktionen. 106 7.4. Die Wurzelfunktionen. 108 7.5. Die Logarithmusfunktion. 108 7.6. Potenzen von reellen Zahlen. 110 Übungsaufgaben zu Kapitel 7. 112 8. Die komplexen Zahlen. 114 8.1. Der Körper der komplexen Zahlen. 114 8.2. Folgen komplexer Zahlen. 118 8.3. Reihen von komplexen Zahlen. 120 Übungsaufgaben zu Kapitel 8. 121 9. Trigonometrische Funktionen. 123 9.1. Definition von Sinus und Kosinus. 123 9.2. Definition von π. 125 9.3. Polarkoordinatendarstellung von komplexen
Zahlen. 129
INHALTSVERZEICHNIS vii 9.4. Die Einheitswurzeln . 131 Übungsaufgaben zu Kapitel 9. 131 10. Differentiation. 133 10.1. Definition der Ableitung und erste Eigenschaften.133 10.2. Ableitung der Exponentialfunktion, des Sinus und des Kosinus. 136 10.3. Die Kettenregel und die Umkehrregel.138 10.4. Stetig differenzierbare Funktionen. 141 Übungsaufgaben zu Kapitel 10. 142 11. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung. 144 11.1. Globale und lokale Extrema von Funktionen. 144 11.2. Mittelwertsatz der Differentialrechnung. 145 Übungsaufgaben zu Kapitel 11. 150 12. Arkusfunktionen und die Regel von L’Hôpital. 152 12.1. Grenzwerte von
Quotienten. 152 12.2. Umkehrfunktionen von trigonometrischen Funktionen. 153 12.3. Die Regel von L’Hôpital. 156 12.4. Grenzwerte von Folgen und Funktionen. 159 Übungsaufgaben zu Kapitel 12. 160 13. Das Riemann-Integral. 162 13.1. Definition des Riemann-Integrals. 162 13.2. Eigenschaften des Integrals.166 13.3. Beispiele von integrierbaren Funktionen. 169 13.4. Mittelwertsatz der Integralrechnung. 172 Übungsaufgaben zu Kapitel 13. 172 14. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. 174 14.1. Stammfunktionen. 174 14.2. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.175 14.3. Bestimmung von Stammfunktionen
. 176 14.4. Stammfunktionen von elementaren Funktionen . 177 14.5. Stammfunktionen mithilfe von partieller Integration. 178 14.6. Stammfunktionen mithilfe von Substitution . 179 14.7. Uneigentliche Integrale. 182 14.8. Die Gamma-Funktion. 185 Übungsaufgaben zu Kapitel 14. 188 15. Funktionenfolgen. 190 15.1. Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen. 190 15.2. Kriterien für die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen. 193 15.3. Integrale und Funktionenfolgen. 195 Übungsaufgaben zu Kapitel 15. 197 16. Potenzreihen. 198 16.1. Definition von Potenzreihen. 198
viii INHALTSVERZEICHNIS 16.2. Der Konvergenzradius einer Potenzreihe. 200 16.3. Ableitungen und Stammfunktionen von Potenzreihen.203 16.4. Der Abelsche Grenzwertsatz und seine Anwendungen. 205 Übungsaufgaben zu Kapitel 16. 207 17. Das Taylorpolynom. 208 17.1. Höhere Ableitungen und C°°-Funktionen. 208 17.2. Approximationen von Funktionen.208 17.3. Taylorpolynome. 209 17.4. Die Restgliedformel von Taylor. 213 17.5. Die Taylor-Reihe. 215 17.6. Eine C^-Treppenfunktion. 215 Übungsaufgaben zu Kapitel 17. 217 Literaturverzeichnis. 219
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