Schöne Sätze der Mathematik: ein Überblick mit kurzen Beweisen
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Inhaltsverzeichnis 1 Mengenlehre. 1.1 Einführung. 1.2 Abzahlbare Mengen. 1.3 Die reellen Zahlen. 1.4 Kardinalzahlen . 1.5 Das Auswahlaxiom und seine Konsequenzen. 1.6 Ordinalzahlen. 1 1 2 4 7 10 13 2 Diskrete Mathematik. 2.1 Einführung. 17 17 18 21 24 25 27 31 33 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Fakultäten und Binomialkoeffizienten. Das Schubfachprinzip . Das Einschluss-Ausschluss-Prinzip. Der Heiratssatz von Hall. Bäume und Catalan-Zahlen. Euler-Wege. Die Ramsey-Theorie. Das Lemma von Sperner und der Fixpunktsatz von
Brouwer. 35 3 Geometrie. 3.1 Einführung. 3.2 Dreiecke. 3.3 Vierecke. 3.4 Der Goldene Schnitt. 3.5 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. 3.6 Geraden in der Ebene. 3.7 Polyeder. 3.8 Nichteuklidische Geometrie. 39 39 40 45 47 49 50 52 54 4 Analysis. 57 57 58 60 63 4.1 4.2 4.3 4.4 Einführung. Geometrische und harmonische Reihen. Ungleichungen. Zwischenwertsatz, Mittelwertsätze und der Hauptsatz. VII
Inhaltsverzeichnis VIII Taylor-Reihen. Die Archimedes-Konstante π. Die Eulersche Zahl e. Die Gamma-Funktion. Bernoulli-Zahlen. Der Riemannsche Umordnungssatz. 66 70 76 81 84 86 Topologie. 5.1 Einführung. 5.2 Kompaktheit und Vollständigkeit. 89 89 90 93 95 96 100 103 107 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 5 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 6 Algebra. 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 7 Einführung. Determinanten und Eigenwerte. Gruppentheorie. Ringe. Einheiten, Körper und die Euler-Funktion. Der Fundamentalsatz der Algebra. Lösungen von
algebraischen Gleichungen. Zahlentheorie. 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8 Homöomorphe Räume. Die Peano-Kurve. Der Hilbert-Würfel. Die Cantor-Menge. Bairesche Kategorien. '. Der Fixpunktsatz von Banach und Fraktale. Einführung. Fibonacci-Zahlen. Primzahlen. Diophantische Gleichungen. Die Partition von Zahlen. Irrationale Zahlen. Der Satz von Dirichlet und Kettenbrüche. Pisot-Zahlen. Liouville-Zahlen. Wahrscheinlichkeitstheorie. 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5
8.6 8.7 8.8 Einführung. Das Geburtstagsproblem. Der Satz von Bayes. Die Buffonsche Nadel. Erwartungswert, Varianz und das Gesetz der großen Zahlen. Die Binomial-und die Poisson-Verteilung. Normalverteilung. Irrfahrten auf den ganzen Zahlen. Hl 111 112 116 119 123 125 127 131 131 132 134 141 144 147 150 154 156 159 159 160 162 164 166 169 171 175
Inhaltsverzeichnis 9 _ IX Dynamische Systeme 9.1 Einführung. 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 Periodische Orbits. Chaos. Konjugierte Systeme. Hufeisen, Solenoid und Julia-Mengen. Ergodentheorie. 10 Vermutungen. 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 Einführung. Das Collatz-Problem. Ramsey-Zahlen. Die Goldbachsche Vermutung. Primzahlzwillinge. Die Riemannsche Vermutung. Vollkommene, einsame und befreundete Zahlen. Irrationale und transzendente Zahlen. Normale Zahlen. Die abc-Vermutung. 177
177 178 179 182 185 189 197 197 198 198 199 199 200 201 203 203 204 Mengen. Relationen. Funktionen und Folgen. Zahlen. Grundbegriffe der linearen Algebra. Grundbegriffe der Analysis und der Topologie. Maß und Integration. 207 207 208 209 210 212 213 215 Literatur. 217 Personenverzeichnis. 221 Sachverzeichnis. 223 11 Anhang. 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 |
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