Holdings: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler

Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler:

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Bibliographic Details
Main Authors:	Dahmen, Wolfgang 1949- (Author), Reusken, Arnold 1960- (Author)
Format:	Book
Language:	German
Published:	Berlin Springer Spektrum [2022]
Edition:	3., vollständig überarbeitete Auflage
Series:	Springer-Lehrbuch
Subjects:	Interpolation Spline-Funktion Numerische Mathematik Iteration Lehrbuch
Online Access:	Inhaltsverzeichnis
Physical Description:	XVIII, 584 Seiten Diagramme
ISBN:	9783662651803 3662651807

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adam_text	INHALTSVERZEICHNIS 1 EINLEITUNG ............................................................................................... 1 1.1 STRUKTUR DER STOFFAUFBEREITUNG: METHODEN UND KONZEPTE ........... 9 2 FEHLERANALYSE: KONDITION, RUNDUNGSFEHLER, STABILITAET ....................... 13 2.1 EINLEITUNG .................................................................................... 13 2.2 EINIGE ORIENTIERUNGSBEISPIELE ..................................................... 14 2.3 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN: NORMEN UND TAYLORENTWICKLUNG .............................................................. 18 2.3.1 NORMEN ........................................................................... 18 2.3.2 LINEARE ABBILDUNGEN UND OPERATORNORMEN ................... 22 2.3.3 TAYLORENTWICKLUNG ......................................................... 27 2.4 KONDITION EINES PROBLEMS ........................................................... 30 2.4.1 RELATIVE UND ABSOLUTE KONDITION ................................... 31 2.4.2 RELATIVE KONDITIONSZAHLEN SKALARWERTIGER PROBLEME ...................................................................... 32 2.4.3 KONDITIONSZAHLEN LINEARER ABBILDUNGEN ......................... 38 2.4.4 KONDITION EINER BASIS ..................................................... 42 2.5 RUNDUNGSFEHLER UND GLEITPUNKTARITHMETIK ................................ 45 2.5.1 ZAHLENDARSTELLUNGEN ....................................................... 45 2.5.2 RUNDUNG, MASCHINENGENAUIGKEIT ................................... 48 2.5.3 GLEITPUNKTARITHMETIK UND FEHLERVERSTAERKUNG BEI ELEMENTAREN RECHENOPERATIONEN ............................ 50 2.6 STABILITAET EINES ALGORITHMUS ........................................................ 56 2.7 UEBUNGEN ...................................................................................... 63 3 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME .................................................................. 67 3.1 EINLEITUNG .................................................................................... 67 3.1.1 PROBLEMSTELLUNG ............................................................. 67 3.1.2 ANWENDUNGSHINTERGRUENDE UND BEISPIELE ....................... 69 3.1.3 ORIENTIERUNG: STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN ............. 81 3.2 KONDITION UND STOERUNGSSAETZE ...................................................... 82 3.2.1 ZEILENSKALIERUNG ............................................................. 88 3.3 WIE MAN ES NICHT MACHEN SOLLTE .................................................. 89 3.4 DREIECKSMATRIZEN, RUECKWAERTSEINSETZEN ...................................... 91 XIII XIV INHALTSVERZEICHNIS 3.5 GAUSS-ELIMINATION, LR-ZERLEGUNG ............................................... 94 3.5.1 GAUSS-ELIMINATION MIT ................................................... 98 3.5.2 NUMERISCHE DURCHFUEHRUNG DER LR-ZERLEGUNG UND IMPLEMENTIERUNGSHINWEISE .................................... 104 3.5.3 EINIGE ANWENDUNGEN DER LR-ZERLEGUNG ...................... 108 3.6 CHOLESKY-ZERLEGUNG ..................................................................... 109 3.7 BANDMATRIZEN ............................................................................... 116 3.8 STABILITAETSANALYSE BEI DER LR UND CHOLESKY-ZERLEGUNG ............. 119 3.8.1 NACHITERATION* ................................................................ 123 3.9 ..................................................................................................... 128 3.9.1 GIVENS-ROTATIONEN .......................................................... 131 3.9.2 HOUSEHOLDER-TRANSFORMATIONEN ..................................... 137 3.10 ZUSAMMENFASSUNG ....................................................................... 143 3.11 UEBUNGEN ....................................................................................... 145 4 LINEARE AUSGLEICHSRECHNUNG ................................................................ 155 4.1 EINLEITUNG ..................................................................................... 155 4.1.1 ANWENDUNGSHINTERGRUENDE ............................................. 155 4.1.2 PROBLEMSTELLUNG: LINEARE AUSGLEICHSPROBLEME ............... 158 4.1.3 ORIENTIERUNG: STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN ............. 161 4.2 ORTHOGONALE PROJEKTION AUF EINEN TEILRAUM* ............................... 162 4.3 EIGENSCHAFTEN DES GEWOEHNLICHEN LINEAREN AUSGLEICHSPROBLEMS .................................................................... 169 4.3.1 DIE NORMALGLEICHUNGEN ................................................ 169 4.3.2 KONDITION DES GEWOEHNLICHEN LINEAREN AUSGLEICHSPROBLEMS ...................................................... 171 4.3.3 ZUM STATISTISCHEN HINTERGRUND - LINEARE REGRESSION* .................................................................. 174 4.4 NUMERISCHE LOESUNG DES GEWOEHNLICHEN LINEAREN AUSGLEICHSPROBLEMS .................................................................... 177 4.4.1 LOESUNG DER NORMALGLEICHUNGEN .................................... 177 4.4.2 LOESUNG UEBER ................................................................... 180 4.5 DIE SINGULAERWERTZERLEGUNG (SVD) ............................................... 183 4.5.1 BERECHNUNG VON SINGULAERWERTEN ................................... 189 4.5.2 VERGLEICH VON MATRIXFAKTORISIERUNGEN ........................... 191 4.6 ANWENDUNGEN DER SINGULAERWERTZERLEGUNG ................................... 193 4.6.1 DAS ALLGEMEINE LINEARE AUSGLEICHSPROBLEM .................. 194 4.6.2 REGULARISIERUNG SCHLECHT KONDITIONIERTER AUSGLEICHSPROBLEME ...................................................... 196 4.6.3 NIEDRIGRANGAPPROXIMATION EINER MATRIX* ...................... 204 4.6.4 DATENKOMPRESSION, DIMENSIONSREDUKTION .................... 210 4.7 ZUSAMMENFASSUNG ....................................................................... 214 4.8 UEBUNGEN ....................................................................................... 217 INHALTSVERZEICHNIS XV 5 NICHTLINEARE GLEICHUNGSSYSTEME .......................................................... 223 5.1 EINLEITUNG ..................................................................................... 223 5.1.1 MOTIVATION, BEISPIELE UND PROBLEMFORMULIERUNG ......... 223 5.1.2 ORIENTIERUNG: STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN ............. 227 5.2 KONDITION DES NULLSTELLENPROBLEMS* ........................................... 229 5.2.1 KONDITION BEI MEHRFACHEN NULLSTELLEN ........................... 235 5.2.2 UNVERMEIDBARER FEHLER AUFGRUND DER AUSWERTUNG VON F .................................................. 236 5.2.3 PROBLEMTRANSFORMATION UND KONDITION ......................... 239 5.2.4 RESUEMEE ZUR KONDITION ................................................ 242 5.3 FIXPUNKTITERATION ......................................................................... 243 5.3.1 MOTIVATION UND BEISPIELE ............................................... 243 5.3.2 BANACHSCHER FIXPUNKTSATZ ............................................. 249 5.3.3 LINEARE PROBLEME UND FIXPUNKT VERFAHREN ................... 255 5.3.4 STABILITAET DER FIXPUNKTITERATION ..................................... 258 5.4 KONVERGENZORDNUNG UND FEHLERSCHAETZUNG ................................... 260 5.4.1 FEHLERSCHAETZUNG FUER SKALARE FOLGEN ............................... 262 5.4.2 FEHLERSCHAETZUNG FUER VEKTORFOLGEN ................................. 265 5.5 BERECHNUNG VON NULLSTELLEN VON SKALAREN GLEICHUNGEN ............. 267 5.5.1 BISEKTION ....................................................................... 268 5.5.2 DAS NEWTON-VERFAHREN................................................... 269 5.5.3 NEWTON-AEHNLICHE VERFAHREN ........................................... 275 5.5.4 ZUSAMMENFASSENDE HINWEISE ZU DEN METHODEN FUER SKALARE GLEICHUNGEN ........................ 278 5.6 DAS NEWTON-VERFAHREN FUER SYSTEME ........................................... 279 5.6.1 GRUNDLAGEN DES NEWTON-VERFAHRENS ............................. 279 5.6.2 HINWEISE ZUR PRAKTISCHEN DURCHFUEHRUNG DES NEWTON-VERFAHRENS ................................................ 286 5.7 BERECHNUNG VON NULLSTELLEN VON POLYNOMEN............................. 293 5.8 ZUSAMMENFASSUNG ....................................................................... 297 5.9 UEBUNGEN ....................................................................................... 300 6 NICHTLINEARE AUSGLEICHSRECHNUNG.......................................................... 307 6.1 EINLEITUNG ..................................................................................... 307 6.1.1 PROBLEMSTELLUNG ............................................................. 307 6.1.2 ORIENTIERUNG: STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN ............. 310 6.2 DAS GAUSS-NEWTON-VERFAHREN ....................................................... 311 6.2.1 ANALYSE DES GAUSS-NEWTON-VERFAHRENS ......................... 312 6.3 LEVENBERG-MARQUARDT-VERFAHREN ................................................. 320 6.3.1 ANALYSE DES LEVENBERG-MARQUARDT-VERFAHRENS ............. 323 6.4 ZUSAMMENFASSUNG ....................................................................... 326 6.5 UEBUNGEN ....................................................................................... 328 XVI INHALTSVERZEICHNIS 7 EIGENWERTPROBLEME ................................................................................. 331 7.1 EINLEITUNG ...................................................................................... 331 7.1.1 PROBLEMSTELLUNG ............................................................. 331 7.1.2 ORIENTIERUNG: STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN ............. 334 7.2 EINIGE THEORETISCHE GRUNDLAGEN ................................................... 336 7.3 KONDITION DES EIGENWERTPROBLEMS ................................................ 341 7.4 EIGENWERTABSCHAETZUNGEN .............................................................. 343 7.5 EIGENWERTE ALS NULLSTELLEN DES CHARAKTERISCHEN POLYNOMS ......... 349 7.6 VEKTORITERATION .............................................................................. 352 7.7 INVERSE VEKTORITERATION .................................................................. 358 7.8 QR VERFAHREN ................................................................................ 363 7.8.1 DIE UNTERRAUMITERATION ................................................. 363 7.8.2 QR ALGORITHMUS ............................................................. 371 7.8.3 EFFIZIENTE VARIANTEN DES QR ALGORITHMUS ..................... 373 7.9 ZUSAMMENFASSUNG ....................................................................... 384 7.10 UEBUNGEN ....................................................................................... 386 8 INTERPOLATION ........................................................................................... 389 8.1 EINLEITUNG ..................................................................................... 389 8.1.1 VORBEMERKUNGEN ........................................................... 389 8.1.2 ORIENTIERUNG: STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN ............. 391 8.2 LAGRANGE-INTERPOLATIONSAUFGABE FUER POLYNOME ........................... 393 8.2.1 INTERPOLATIONSPOLYNOM: EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT .......................................................... 394 8.2.2 INTERPOLATIONSPOLYNOM: AUSWERTUNG AN WENIGEN STELLEN ........................................................ 400 8.2.3 INTERPOLATIONSPOLYNOM: DARSTELLUNG IN DER MONOMIALEN BASIS .............................................. 403 8.2.4 INTERPOLATIONSPOLYNOM: DARSTELLUNG IN DER NEWTONSCHEN BASIS ............................................ 406 8.2.5 RESTGLIEDDARSTELLUNG - FEHLERANALYSE ............................. 412 8.2.6 GRENZEN DER POLYNOMINTERPOLATION ............................... 418 8.3 HERMITE-INTERPOLATIONSAUFGABE FUER POLYNOME ........................... 420 8.4 NUMERISCHE DIFFERENTIATION ......................................................... 426 8.5 INTERPOLATION MIT TRIGONOMETRISCHEN POLYNOMEN* ........................ 428 8.5.1 FOURIER-REIHEN UND FOURIER-TRANSFORMATION ................. 428 8.5.2 TRIGONOMETRISCHE INTERPOLATION UND DISKRETE FOURIER-TRANSFORMATION ............................ 438 8.5.3 SCHNELLE FOURIER-TRANSFORMATION (FAST FOURIER TRANSFORM FFT) ...................................... 451 8.6 ZUSAMMENFASSUNG ....................................................................... 457 8.7 UEBUNGEN ....................................................................................... 460 INHALTSVERZEICHNIS XVII 9 SPLINEFUNKTIONEN ..................................................................................... 465 9.1 EINLEITUNG .................................................................................... 465 9.1.1 VORBEMERKUNGEN .......................................................... 465 9.1.2 ORIENTIERUNG: STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN ............ 466 9.2 BEISPIEL EINER KUBISCHEN SPLINEINTERPOLATION ............................... 467 9.3 SPLINERAEUME UND APPROXIMATIONSGUETE ......................................... 473 9.4 476 9.4.1 B-SPLINES ALS BASIS FUER DEN SPLINERAUM ........................ 481 9.4.2 KONDITION DER ................................................................ 484 9.4.3 RECHNEN MIT LINEARKOMBINATIONEN VON B-SPLINES .... 485 9.5 SPLINEINTERPOLATION ....................................................................... 489 9.6 DATENFIT: ....................................................................................... 496 9.7 ZUSAMMENFASSUNG ....................................................................... 500 9.8 UEBUNGEN ....................................................................................... 501 10 NUMERISCHE INTEGRATION ......................................................................... 505 10.1 EINLEITUNG ..................................................................................... 505 10.1.1 ORIENTIERUNG : STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN .............. 505 10.1.2 KONDITION DES PROBLEMS ................................................. 507 10.2 DIE TRAPEZREGEL ........................................................................... 507 10.3 INTERPOLATORISCHE QUADRATUR ......................................................... 511 10.3.1 NEWTON-COTES-FORMELN ................................................. 514 10.3.2 GAUSS-QUADRATUR ............................................................. 517 10.4 EXTRAPOLATION UND ROMBERG-QUADRATUR* ..................................... 523 10.5 ZWEIDIMENSIONALE INTEGRALE ......................................................... 529 10.5.1 TRANSFORMATION VON INTEGRALEN ....................................... 529 10.5.2 INTEGRATION UEBER DEM EINHEITSQUADRAT .......................... 533 10.5.3 INTEGRATION UEBER DEM EINHEITSDREIECK ........................... 534 10.6 ZUSAMMENFASSUNG ...................................................................... 535 10.7 UEBUNGEN ...................................................................................... 537 11 GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN .................................................. 541 11.1 EINLEITUNG .................................................................................... 541 11.1.1 PROBLEMSTELLUNG UND BEISPIELE ...................................... 541 11.1.2 ORIENTIERUNG: STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN ............ 546 11.2 REDUKTION AUF EIN SYSTEM 1. ORDNUNG ......................................... 548 11.3 EINIGE THEORETISCHE GRUNDLAGEN .................................................. 550 11.4 EINFACHE EINSCHRITTVERFAHREN ...................................................... 556 11.5 FEHLERBETRACHTUNGEN FUER EINSCHRITTVERFAHREN ............................... 564 11.5.1 LOKALER ABBRUCHFEHLER UND KONSISTENZ ....................... 565 11.5.2 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN KONSISTENZ UND KONVERGENZ ............................................................ 570 11.5.3 EXTRAPOLATION ............................................................... 577 11.6 RUNGE-KUTTA-EINSCHRITTVERFAHREN ................................................. 578 11.6.1 EXPLIZITE RK-VERFAHREN ............................................... 583 11.6.2 ANALYSE EXPLIZITER RK-VERFAHREN................................. 586 11.6.3 IMPLIZITE RK-VERFAHREN* ............................................. 589 XVIII INHALTSVERZEICHNIS 11.7 SCHRITTWEITENSTEUERUNG BEI EINSCHRITTVERFAHREN ........................... 594 11.8 MEHRSCHRITTVERFAHREN ................................................................... 599 11.8.1 ALLGEMEINE LINEARE MEHRSCHRITTVERFAHREN ..................... 599 11.8.2 ADAMS-BASHFORTH VERFAHREN ......................................... 602 11.8.3 ADAMS-MOULTON-VERFAHREN ........................................... 604 11.8.4 PRAEDIKTOR KORREKTOR-VERFAHREN....................................... 606 11.8.5 KONVERGENZ VON LINEAREN MEHRSCHRITTVERFAHREN* ........... 608 11.9 STEIFE SYSTEME ............................................................................. 612 11.9.1 EINLEITUNG ....................................................................... 612 11.9.2 STABILITAETSINTERVALLE ......................................................... 617 11.9.3 STABILITAETSGEBIETE: A-STABILITAET* ..................................... 620 11.9.4 RUECKWAERTSDIFFERENZENMETHODEN ..................................... 622 11.10 ZUSAMMENFASSUNG ....................................................................... 626 11.11 UEBUNGEN ....................................................................................... 628 LITERATUR .......................................................................................................... 637 STICHWORTVERZEICHNIS ...................................................................................... 639
adam_txt	INHALTSVERZEICHNIS 1 EINLEITUNG . 1 1.1 STRUKTUR DER STOFFAUFBEREITUNG: METHODEN UND KONZEPTE . 9 2 FEHLERANALYSE: KONDITION, RUNDUNGSFEHLER, STABILITAET . 13 2.1 EINLEITUNG . 13 2.2 EINIGE ORIENTIERUNGSBEISPIELE . 14 2.3 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN: NORMEN UND TAYLORENTWICKLUNG . 18 2.3.1 NORMEN . 18 2.3.2 LINEARE ABBILDUNGEN UND OPERATORNORMEN . 22 2.3.3 TAYLORENTWICKLUNG . 27 2.4 KONDITION EINES PROBLEMS . 30 2.4.1 RELATIVE UND ABSOLUTE KONDITION . 31 2.4.2 RELATIVE KONDITIONSZAHLEN SKALARWERTIGER PROBLEME . 32 2.4.3 KONDITIONSZAHLEN LINEARER ABBILDUNGEN . 38 2.4.4 KONDITION EINER BASIS . 42 2.5 RUNDUNGSFEHLER UND GLEITPUNKTARITHMETIK . 45 2.5.1 ZAHLENDARSTELLUNGEN . 45 2.5.2 RUNDUNG, MASCHINENGENAUIGKEIT . 48 2.5.3 GLEITPUNKTARITHMETIK UND FEHLERVERSTAERKUNG BEI ELEMENTAREN RECHENOPERATIONEN . 50 2.6 STABILITAET EINES ALGORITHMUS . 56 2.7 UEBUNGEN . 63 3 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME . 67 3.1 EINLEITUNG . 67 3.1.1 PROBLEMSTELLUNG . 67 3.1.2 ANWENDUNGSHINTERGRUENDE UND BEISPIELE . 69 3.1.3 ORIENTIERUNG: STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN . 81 3.2 KONDITION UND STOERUNGSSAETZE . 82 3.2.1 ZEILENSKALIERUNG . 88 3.3 WIE MAN ES NICHT MACHEN SOLLTE . 89 3.4 DREIECKSMATRIZEN, RUECKWAERTSEINSETZEN . 91 XIII XIV INHALTSVERZEICHNIS 3.5 GAUSS-ELIMINATION, LR-ZERLEGUNG . 94 3.5.1 GAUSS-ELIMINATION MIT . 98 3.5.2 NUMERISCHE DURCHFUEHRUNG DER LR-ZERLEGUNG UND IMPLEMENTIERUNGSHINWEISE . 104 3.5.3 EINIGE ANWENDUNGEN DER LR-ZERLEGUNG . 108 3.6 CHOLESKY-ZERLEGUNG . 109 3.7 BANDMATRIZEN . 116 3.8 STABILITAETSANALYSE BEI DER LR UND CHOLESKY-ZERLEGUNG . 119 3.8.1 NACHITERATION* . 123 3.9 . 128 3.9.1 GIVENS-ROTATIONEN . 131 3.9.2 HOUSEHOLDER-TRANSFORMATIONEN . 137 3.10 ZUSAMMENFASSUNG . 143 3.11 UEBUNGEN . 145 4 LINEARE AUSGLEICHSRECHNUNG . 155 4.1 EINLEITUNG . 155 4.1.1 ANWENDUNGSHINTERGRUENDE . 155 4.1.2 PROBLEMSTELLUNG: LINEARE AUSGLEICHSPROBLEME . 158 4.1.3 ORIENTIERUNG: STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN . 161 4.2 ORTHOGONALE PROJEKTION AUF EINEN TEILRAUM* . 162 4.3 EIGENSCHAFTEN DES GEWOEHNLICHEN LINEAREN AUSGLEICHSPROBLEMS . 169 4.3.1 DIE NORMALGLEICHUNGEN . 169 4.3.2 KONDITION DES GEWOEHNLICHEN LINEAREN AUSGLEICHSPROBLEMS . 171 4.3.3 ZUM STATISTISCHEN HINTERGRUND - LINEARE REGRESSION* . 174 4.4 NUMERISCHE LOESUNG DES GEWOEHNLICHEN LINEAREN AUSGLEICHSPROBLEMS . 177 4.4.1 LOESUNG DER NORMALGLEICHUNGEN . 177 4.4.2 LOESUNG UEBER . 180 4.5 DIE SINGULAERWERTZERLEGUNG (SVD) . 183 4.5.1 BERECHNUNG VON SINGULAERWERTEN . 189 4.5.2 VERGLEICH VON MATRIXFAKTORISIERUNGEN . 191 4.6 ANWENDUNGEN DER SINGULAERWERTZERLEGUNG . 193 4.6.1 DAS ALLGEMEINE LINEARE AUSGLEICHSPROBLEM . 194 4.6.2 REGULARISIERUNG SCHLECHT KONDITIONIERTER AUSGLEICHSPROBLEME . 196 4.6.3 NIEDRIGRANGAPPROXIMATION EINER MATRIX* . 204 4.6.4 DATENKOMPRESSION, DIMENSIONSREDUKTION . 210 4.7 ZUSAMMENFASSUNG . 214 4.8 UEBUNGEN . 217 INHALTSVERZEICHNIS XV 5 NICHTLINEARE GLEICHUNGSSYSTEME . 223 5.1 EINLEITUNG . 223 5.1.1 MOTIVATION, BEISPIELE UND PROBLEMFORMULIERUNG . 223 5.1.2 ORIENTIERUNG: STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN . 227 5.2 KONDITION DES NULLSTELLENPROBLEMS* . 229 5.2.1 KONDITION BEI MEHRFACHEN NULLSTELLEN . 235 5.2.2 UNVERMEIDBARER FEHLER AUFGRUND DER AUSWERTUNG VON F . 236 5.2.3 PROBLEMTRANSFORMATION UND KONDITION . 239 5.2.4 RESUEMEE ZUR KONDITION . 242 5.3 FIXPUNKTITERATION . 243 5.3.1 MOTIVATION UND BEISPIELE . 243 5.3.2 BANACHSCHER FIXPUNKTSATZ . 249 5.3.3 LINEARE PROBLEME UND FIXPUNKT VERFAHREN . 255 5.3.4 STABILITAET DER FIXPUNKTITERATION . 258 5.4 KONVERGENZORDNUNG UND FEHLERSCHAETZUNG . 260 5.4.1 FEHLERSCHAETZUNG FUER SKALARE FOLGEN . 262 5.4.2 FEHLERSCHAETZUNG FUER VEKTORFOLGEN . 265 5.5 BERECHNUNG VON NULLSTELLEN VON SKALAREN GLEICHUNGEN . 267 5.5.1 BISEKTION . 268 5.5.2 DAS NEWTON-VERFAHREN. 269 5.5.3 NEWTON-AEHNLICHE VERFAHREN . 275 5.5.4 ZUSAMMENFASSENDE HINWEISE ZU DEN METHODEN FUER SKALARE GLEICHUNGEN . 278 5.6 DAS NEWTON-VERFAHREN FUER SYSTEME . 279 5.6.1 GRUNDLAGEN DES NEWTON-VERFAHRENS . 279 5.6.2 HINWEISE ZUR PRAKTISCHEN DURCHFUEHRUNG DES NEWTON-VERFAHRENS . 286 5.7 BERECHNUNG VON NULLSTELLEN VON POLYNOMEN. 293 5.8 ZUSAMMENFASSUNG . 297 5.9 UEBUNGEN . 300 6 NICHTLINEARE AUSGLEICHSRECHNUNG. 307 6.1 EINLEITUNG . 307 6.1.1 PROBLEMSTELLUNG . 307 6.1.2 ORIENTIERUNG: STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN . 310 6.2 DAS GAUSS-NEWTON-VERFAHREN . 311 6.2.1 ANALYSE DES GAUSS-NEWTON-VERFAHRENS . 312 6.3 LEVENBERG-MARQUARDT-VERFAHREN . 320 6.3.1 ANALYSE DES LEVENBERG-MARQUARDT-VERFAHRENS . 323 6.4 ZUSAMMENFASSUNG . 326 6.5 UEBUNGEN . 328 XVI INHALTSVERZEICHNIS 7 EIGENWERTPROBLEME . 331 7.1 EINLEITUNG . 331 7.1.1 PROBLEMSTELLUNG . 331 7.1.2 ORIENTIERUNG: STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN . 334 7.2 EINIGE THEORETISCHE GRUNDLAGEN . 336 7.3 KONDITION DES EIGENWERTPROBLEMS . 341 7.4 EIGENWERTABSCHAETZUNGEN . 343 7.5 EIGENWERTE ALS NULLSTELLEN DES CHARAKTERISCHEN POLYNOMS . 349 7.6 VEKTORITERATION . 352 7.7 INVERSE VEKTORITERATION . 358 7.8 QR VERFAHREN . 363 7.8.1 DIE UNTERRAUMITERATION . 363 7.8.2 QR ALGORITHMUS . 371 7.8.3 EFFIZIENTE VARIANTEN DES QR ALGORITHMUS . 373 7.9 ZUSAMMENFASSUNG . 384 7.10 UEBUNGEN . 386 8 INTERPOLATION . 389 8.1 EINLEITUNG . 389 8.1.1 VORBEMERKUNGEN . 389 8.1.2 ORIENTIERUNG: STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN . 391 8.2 LAGRANGE-INTERPOLATIONSAUFGABE FUER POLYNOME . 393 8.2.1 INTERPOLATIONSPOLYNOM: EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT . 394 8.2.2 INTERPOLATIONSPOLYNOM: AUSWERTUNG AN WENIGEN STELLEN . 400 8.2.3 INTERPOLATIONSPOLYNOM: DARSTELLUNG IN DER MONOMIALEN BASIS . 403 8.2.4 INTERPOLATIONSPOLYNOM: DARSTELLUNG IN DER NEWTONSCHEN BASIS . 406 8.2.5 RESTGLIEDDARSTELLUNG - FEHLERANALYSE . 412 8.2.6 GRENZEN DER POLYNOMINTERPOLATION . 418 8.3 HERMITE-INTERPOLATIONSAUFGABE FUER POLYNOME . 420 8.4 NUMERISCHE DIFFERENTIATION . 426 8.5 INTERPOLATION MIT TRIGONOMETRISCHEN POLYNOMEN* . 428 8.5.1 FOURIER-REIHEN UND FOURIER-TRANSFORMATION . 428 8.5.2 TRIGONOMETRISCHE INTERPOLATION UND DISKRETE FOURIER-TRANSFORMATION . 438 8.5.3 SCHNELLE FOURIER-TRANSFORMATION (FAST FOURIER TRANSFORM FFT) . 451 8.6 ZUSAMMENFASSUNG . 457 8.7 UEBUNGEN . 460 INHALTSVERZEICHNIS XVII 9 SPLINEFUNKTIONEN . 465 9.1 EINLEITUNG . 465 9.1.1 VORBEMERKUNGEN . 465 9.1.2 ORIENTIERUNG: STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN . 466 9.2 BEISPIEL EINER KUBISCHEN SPLINEINTERPOLATION . 467 9.3 SPLINERAEUME UND APPROXIMATIONSGUETE . 473 9.4 476 9.4.1 B-SPLINES ALS BASIS FUER DEN SPLINERAUM . 481 9.4.2 KONDITION DER . 484 9.4.3 RECHNEN MIT LINEARKOMBINATIONEN VON B-SPLINES . 485 9.5 SPLINEINTERPOLATION . 489 9.6 DATENFIT: . 496 9.7 ZUSAMMENFASSUNG . 500 9.8 UEBUNGEN . 501 10 NUMERISCHE INTEGRATION . 505 10.1 EINLEITUNG . 505 10.1.1 ORIENTIERUNG : STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN . 505 10.1.2 KONDITION DES PROBLEMS . 507 10.2 DIE TRAPEZREGEL . 507 10.3 INTERPOLATORISCHE QUADRATUR . 511 10.3.1 NEWTON-COTES-FORMELN . 514 10.3.2 GAUSS-QUADRATUR . 517 10.4 EXTRAPOLATION UND ROMBERG-QUADRATUR* . 523 10.5 ZWEIDIMENSIONALE INTEGRALE . 529 10.5.1 TRANSFORMATION VON INTEGRALEN . 529 10.5.2 INTEGRATION UEBER DEM EINHEITSQUADRAT . 533 10.5.3 INTEGRATION UEBER DEM EINHEITSDREIECK . 534 10.6 ZUSAMMENFASSUNG . 535 10.7 UEBUNGEN . 537 11 GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN . 541 11.1 EINLEITUNG . 541 11.1.1 PROBLEMSTELLUNG UND BEISPIELE . 541 11.1.2 ORIENTIERUNG: STRATEGIEN, KONZEPTE, METHODEN . 546 11.2 REDUKTION AUF EIN SYSTEM 1. ORDNUNG . 548 11.3 EINIGE THEORETISCHE GRUNDLAGEN . 550 11.4 EINFACHE EINSCHRITTVERFAHREN . 556 11.5 FEHLERBETRACHTUNGEN FUER EINSCHRITTVERFAHREN . 564 11.5.1 LOKALER ABBRUCHFEHLER UND KONSISTENZ . 565 11.5.2 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN KONSISTENZ UND KONVERGENZ . 570 11.5.3 EXTRAPOLATION . 577 11.6 RUNGE-KUTTA-EINSCHRITTVERFAHREN . 578 11.6.1 EXPLIZITE RK-VERFAHREN . 583 11.6.2 ANALYSE EXPLIZITER RK-VERFAHREN. 586 11.6.3 IMPLIZITE RK-VERFAHREN* . 589 XVIII INHALTSVERZEICHNIS 11.7 SCHRITTWEITENSTEUERUNG BEI EINSCHRITTVERFAHREN . 594 11.8 MEHRSCHRITTVERFAHREN . 599 11.8.1 ALLGEMEINE LINEARE MEHRSCHRITTVERFAHREN . 599 11.8.2 ADAMS-BASHFORTH VERFAHREN . 602 11.8.3 ADAMS-MOULTON-VERFAHREN . 604 11.8.4 PRAEDIKTOR KORREKTOR-VERFAHREN. 606 11.8.5 KONVERGENZ VON LINEAREN MEHRSCHRITTVERFAHREN* . 608 11.9 STEIFE SYSTEME . 612 11.9.1 EINLEITUNG . 612 11.9.2 STABILITAETSINTERVALLE . 617 11.9.3 STABILITAETSGEBIETE: A-STABILITAET* . 620 11.9.4 RUECKWAERTSDIFFERENZENMETHODEN . 622 11.10 ZUSAMMENFASSUNG . 626 11.11 UEBUNGEN . 628 LITERATUR . 637 STICHWORTVERZEICHNIS . 639
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