Höhere Mathematik in Rezepten: Begriffe, Sätze und zahlreiche Beispiele in kurzen Lerneinheiten
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Springer Berlin
[2022]
Springer Spektrum [2022] |
| Ausgabe: | 4. Auflage |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltstext http://www.springer.com/ Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XXXII, 1045 Seiten Illustrationen, Diargramme 24 cm x 16.8 cm Enthält: 1 Online-Ressource |
| ISBN: | 9783662633045 3662633043 |
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Inhaltsverzeichnis 1 2 3 4 5 Sprechweisen, Symbole und Mengen. 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Sprechweisen und Symbole der Mathematik. Summen-und Produktzeichen. Potenzen und Wurzeln. Symbole der Mengenlehre. Aufgaben. 1 5 5 6 9 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen. 11 2.1 2.2 2.3 2.4 11 16 16 17 Die natürlichen Zahlen. Die ganzen Zahlen. Die rationalen Zahlen. Aufgaben. Die reellen Zahlen. 19 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Grundlegendes. Reelle Intervalle. Der Betrag einer reellen
Zahl. ո-te Wurzeln. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen. Maximum, Minimum, Supremum undInfimum. Aufgaben. 19 21 21 23 23 25 27 Maschinenzahlen. 29 4.1 4.2 4.3 b-adische Darstellung reeller Zahlen. Gleitpunktzahlen. Aufgaben. 29 31 36 Polynome. 37 5.1 5.2 5.3 37 42 44 Polynome - Multiplikation und Division. Faktorisierung von Polynomen. Auswerten von Polynomen. XV
Inhaltsverzeichnis XVI 5.4 5.5 Partialbrachzerlegung. Aufgaben. 45 48 6 Trigonometrische Funktionen. 6.1 Sinus und Kosinus. 6.2 Tangens und Kotangens. 6.3 Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. 6.4 Aufgaben. 51 51 55 57 61 7 Komplexe Zahlen - Kartesische Koordinaten. 7.1 Konstruktion von C. 7.2 Die imaginäre Einheit und weitere Begriffe. 7.3 Der Fundamentalsatz der Algebra. 7.4 Aufgaben. 65 65 67 69 71 8 Komplexe Zahlen - Polarkoordinaten. 8.1 Die Polardarstellung. 8.2 Anwendungen der
Polardarstellung. 8.3 Aufgaben. 73 73 76 80 9 Lineare Gleichungssysteme. 9.1 Das Gauß’sche Eliminationsverfahren. 9.2 Der Rang einer Matrix. 9.3 Homogene lineare Gleichungssysteme. 9.4 Aufgaben. 81 81 86 88 90 10 Rechnen mit Matrizen. 10.1 Definition von Matrizen und einige besondere Matrizen. 10.2 Rechenoperationen. 10.3 Invertieren von Matrizen. 10.4 Rechenregeln. 10.5 Aufgaben. 93 93 95 100 102 104 11 L Ä-Zerlegung einer Matrix.
Motivation. Die L R-Zerlegung - vereinfachte Variante. Die L R-Zerlegung - allgemeine Variante. Die L R-Zerlegung - mit Spaltenpivotsuche. Aufgaben. 107 107 109 112 114 116 Die Determinante. 12.1 Definition der Determinante. 12.2 Berechnung der Determinante. 12.3 Anwendungen der Determinante. 12.4 Aufgaben. 119 119 121 126 128 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 12
Inhaltsverzeichnis XVII 13 Vektorräume. 131 13.1 13.2 13.3 Definition und wichtige Beispiele. Untervektorräume. Aufgaben. 131 134 136 Erzeugendensysteme und lineare (Un-)Abhängigkeit. 139 14.1 Linearkombinationen. 14.2 Das Erzeugnis von X. 14.3 Lineare (Un-)Abhängigkeit. 14.4 Aufgaben. 139 142 143 146 Basen von Vektorräumen. 149 15.1 Basen. 15.2 Anwendungen auf Matrizen und lineare Gleichungssysteme. 15.3 Aufgaben. 150 154 158 14 15 16 17 18 19 Orthogonalität I. 161 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6
Skalarprodukte. Länge, Abstand, Winkel und Orthogonalität. Orthonormalbasen. Orthogonale Zerlegung und Linearkombination bezüglich einer ONB. Orthogonale Matrizen. Aufgaben. 162 164 166 167 169 172 Orthogonalität II. 175 17.1 17.2 17.3 17.4 Das Orthonormierungsverfahren vonGram und Schmidt. Das Vektor-und das Spatprodukt. Die orthogonale Projektion. Aufgaben. 175 178 181 184 Das lineare Ausgleichsproblem. 187 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 Das lineare Ausgleichsproblem und seineLösung. Die orthogonale Projektion. Lösung eines überbestimmten linearen Gleichungssystems. Die Methode der kleinsten Quadrate.
Aufgaben. 187 188 190 191 195 Die Q Ä-Zerlegung einer Matrix. 199 19.1 Volle und reduzierte ßf?-Zerlegung. 199 19.2 Konstruktion der Q ^-Zerlegung. 200 19.3 Anwendungen der Q Ä-Zerlegung. 205 19.4 Aufgaben. 207
XVIII Inhaltsverzeichnis 20 Folgen. 20.1 Begriffe. 20.2 Konvergenz und Divergenz von Folgen. 20.3 Aufgaben. 209 209 212 215 21 Berechnung von Grenzwerten von Folgen. 21.1 Grenzwertbestimmung bei einer expliziten Folge. 21.2 Grenzwertbestimmung bei einer rekursiven Folge. 21.3 Aufgaben. 217 217 220 223 22 Reihen. 22.1 Definition und Beispiele. 22.2 Konvergenzkriterien. 22.3 Aufgaben. 225 225 228 232 23 Abbildungen. 23.1 Begriffe und
Beispiele. 23.2 Verkettung, injektiv, surjektiv, bijektiv. 23.3 Die Umkehrabbildung. 23.4 Beschränkte und monotone Funktionen. 23.5 Aufgaben. 235 235 238 243 245 246 24 Potenzreihen. 24.1 Der Konvergenzbereich reeller Potenzreihen. 24.2 Der Konvergenzbereich komplexer Potenzreihen. 24.3 Die Exponential- und die Logarithmusfünktion. 24.4 Die hyperbolischen Funktionen. 24.5 Aufgaben. 249 249 254 256 258 260 25 Grenzwerte und Stetigkeit. 25.1 Grenzwerte von Funktionen. 25.2 Asymptoten von Funktionen. 25.3 Stetigkeit. 25.4
Wichtige Sätze zu stetigen Funktionen. 25.5 Das Bisektionsverfahren. 25.6 Aufgaben. 261 261 265 267 269 270 272 26 Differentiation. 26.1 Die Ableitung und die Ableitungsfunktion. 26.2 Ableitungsregeln. 26.3 Numerische Differentiation. 26.4 Aufgaben. 275 275 278 282 284
Inhaltsverzeichnis XIX 27 Anwendungen der Differentialrechnung I. 27.1 Monotonie. 27.2 Lokale und globale Extrema. 27.3 Bestimmung der Extrema und Extremalstellen. 27.4 Konvexität. 27.5 Die Regel von L’Hospital. 27.6 Aufgaben. 287 287 288 291 295 297 299 28 Anwendungen der Differentialrechnung II. 28.1 Das Newtonverfahren. 28.2 Taylorentwicklung. 28.3 Restgliedabschätzungen. 28.4 Bestimmung von Taylorreihen. 28.5 Aufgaben. 301 301 305 308 312 315 29 Polynom- und Splineinterpolation. 29.1
Polynominterpolation. 29.2 Konstruktion kubischer Splines. 29.3 Aufgaben. 317 317 321 325 30 Integration 1. 30.1 Das bestimmte Integral. 30.2 Das unbestimmte Integral. 30.3 Aufgaben. 327 327 331 339 31 Integration II. 31.1 Integration rationaler Funktionen. 31.2 Rationale Funktionen in Sinus und Kosinus. 31.3 Numerische Integration. 31.4 Volumina und Oberflächen von Rotationskörpern. 31.5 Aufgaben. 341 341 344 347 349 351 32 Uneigentliche Integrale. 32.1 Berechnung uneigentlicher
Integrale. 32.2 Das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale. 32.3 Aufgaben. 353 353 356 358 33 Separierbare und lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung. 33.1 Erste Differentialgleichungen. 33.2 Separierbare Differentialgleichungen. 33.3 Die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. 33.4 Aufgaben. 359 360 361 365 368
XX Inhaltsverzeichnis 34 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. 34.1 Homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. 34.2 Inhomogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. 34.3 Aufgaben. 369 35 383 383 385 387 388 390 393 Einige besondere Typen von Differentialgleichungen. 35.1 Die homogene Differentialgleichung. 35.2 Die Euler’sche Differentialgleichung. 35.3 Die Bernoulli’sche Differentialgleichung. 35.4 Die Riccati’sche Differentialgleichung. 35.5 Der Potenzreihenansatz. 35.6 Aufgaben. 370 374 381 36 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen I. 395 36.1 Erste Verfahren. 395 36.2 Runge-Kuttaverfahren. 399 36.3
Mehrschrittverfahren. 402 36.4 Aufgaben.·. 404 37 Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen. 407 37.1 Definitionen und Beispiele. 407 37.2 Bild, Kern und die Dimensionsformel. 410 37.3 Koordinatenvektoren. 411 37.4 Darstellungsmatrizen. 413 37.5 Aufgaben. 415 38 Basistransformation. 419 38.1 Die Darstellungsmatrix der Verkettungen linearer Abbildungen. 419 38.2 Basistransformation. 421 38.3 Die zwei Methoden zur Bestimmung von Darstellungsmatrizen. 422 38.4 Aufgaben. 425 39 Diagonalisierung - Eigenwerte und Eigenvektoren. 39.1 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen. 39.2 Diagonalisieren von
Matrizen. 39.3 Das charakteristische Polynom einer Matrix. 39.4 Diagonalisierung reeller symmetrischer Matrizen. 39.5 Aufgaben. 429 429 431 433 438 440 40 Numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren. 40.1 Gerschgorinkreise. 40.2 Vektoriteration. 40.3 Das Jacobiverfahren. 443 443 445 447
Inhaltsverzeichnis 40.4 40.5 XXI Das Q Ä-Verfahren. Aufgaben. 451 453 41 Quadriken. 41.1 Begriffe und erste Beispiele. 41.2 Transformation auf Normalform. 41.3 Aufgaben. 455 456 459 463 42 Schurzerlegung und Singulärwertzerlegung. 42.1 Die Schurzerlegung. 42.2 Berechnung der Schurzerlegung. 42.3 Singulärwertzerlegung. 42.4 Bestimmung der Singulärwertzerlegung. 42.5 Aufgaben. 467 467 469 472 473 476 43 Die Jordannormalform I. 43.1 Existenz der Jordannormalform. 43.2 Verallgemeinerte Eigenräume. 43.3
Aufgaben. 479 479 482 487 44 Die Jordannormalform II. 44.1 Konstruktion einer Jordanbasis. 44.2 Anzahl und Größe der Jordankästchen. 44.3 Aufgaben. 489 489 496 497 45 Defínitheit und Matrixnormen. 45.1 Defínitheit von Matrizen. 45.2 Matrixnormen. 45.3 Aufgaben. 499 499 503 509 46 Funktionen mehrerer Veränderlicher. 46.1 Die Funktionen und ihre Darstellungen. 46.2 Einige topologische Begriffe. 46.3 Folgen, Grenzwerte, Stetigkeit. 46.4 Aufgaben. 511 511 514 517 520 47 Partielle Differentiation -
Gradient, Hessematrix, Jacobimatrix. 47.1 Der Gradient. 47.2 Die Hessematrix. 47.3 Die Jacobimatrix. 47.4 Aufgaben. 521 521 526 529 532 48 Anwendungen der partiellen Ableitungen. 48.1 Das (mehrdimensionale) Newtonverfahren. 48.2 Taylorentwicklung. 48.3 Aufgaben. 535 535 538 544
XXII Inhaltsverzeichnis 49 Extremwertbestimmung. 49.1 Lokale und globale Extrema. 49.2 Bestimmung der Extrema und Extremalstellen. 49.3 Aufgaben. 547 547 551 556 50 Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen. 50.1 Extrema unter Nebenbedingungen. 50.2 Das Einsetzverfahren. 50.3 Die Lagrange’sche Multiplikatorenregel. 50.4 Extrema unter mehreren Nebenbedingungen. 50.5 Aufgaben. 559 559 561 564 568 570 51 Totale Differentiation, Differentialoperatoren. 51.1 Totale Differenzierbarkeit. 51.2 Das totale Differential. 51.3 Differentialoperatoren. 51.4
Aufgaben. 573 573 575 577 581 52 Implizite Funktionen. 52.1 Implizite Funktionen - der einfache Fall. 52.2 Implizite Funktionen - der allgemeine Fall. 52.3 Aufgaben. 583 583 588 591 53 Koordinatentransformationen. 53.1 Transformationen und Transformationsmatrizen. 53.2 Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten. 53.3 Die Differentialoperatoren in kartesischen Zylinderund Kugelkoordinaten. 53.4 Umrechnung von Vektorfeldern und Skalarfeldem. 53.5 Aufgaben. 595 595 596 599 602 605 54 Kurven 1. 54.1 Begriffe. 54.2 Länge einer Kurve.
54.3 Aufgaben. 607 607 613 617 55 Kurven II. 55.1 Umparametrisierung einer Kurve. 55.2 Begleitendes Dreibein, Krümmung und Torsion. 55.3 Die Leibniz’sche Sektorformel. 55.4 Aufgaben. 619 619 621 624 626 56 Kurvenintegrale. 56.1 Skalare und vektorielle Kurvenintegrale. 56.2 Anwendungen der Kurvenintegrale. 56.3 Aufgaben. 629 629 634 636
Inhaltsverzeichnis XXIII 57 Gradientenfelder. 57.1 Definitionen. 57.2 Existenz einer Stammfunktion. 57.3 Bestimmung einer Stammfunktion. 57.4 Aufgaben. 639 639 641 643 645 58 Bereichsintegrale. 58.1 Integration über Rechtecke bzw. Quader. 58.2 Normalbereiche. 58.3 Integration über Normalbereiche. 58.4 Aufgaben. 649 649 652 654 658 59 Die Transformationsformel. 661 59.1 Integration über Polar-, Zylinder-, Kugel- und weitere Koordinaten. 661 59.2 Anwendung: Massen- und Schwerpunktbestimmung. 666 59.3 Aufgaben. 668 60 Flächen und
Flächenintegrale. 60.1 Reguläre Flächen. 60.2 Flächenintegrale. 60.3 Übersicht über die behandelten Integrale. 60.4 Aufgaben. 671 671 674 677 678 61 Integralsätze I. 61.1 Der ebene Satz von Green. 61.2 Der ebene Satz von Gauß. 61.3 Aufgaben. 681 681 685 688 62 Integralsätze II. 62.1 Der Divergenzsatz von Gauß. 62.2 Der Satz von Stokes. 62.3 Aufgaben. 691 691 695 699 63 Allgemeines zu Differentialgleichungen. 63.1 Das
Richtungsfeld. 63.2 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen. 63.3 Transformation auf Systeme 1. Ordnung. 63.4 Aufgaben. 703 703 704 707 709 64 Die exakte Differentialgleichung. 713 64.1 Definition exakter DGLen. 713 64.2 Das Lösungsverfahren. 714 64.3 Aufgaben. 718
XXIV Inhaltsverzeichnis 65 Lineare Differentialgleichungssysteme 1. 65.1 Die Exponentialfunktion für Matrizen. 65.2 Die Exponentialfunktion als Lösung linearer DGL-Systeme. 65.3 Die Lösung für ein diagonalisierbares A. 65.4 Aufgaben. 721 722 724 726 729 66 Lineare Differentialgleichungssysteme II. 66.1 Die Exponentialfunktion als Lösung linearer DGL-Systeme. 66.2 Die Lösung für ein nichtdiagonalisierbaresA. 66.3 Aufgaben. 731 731 734 736 67 Lineare Differentialgleichungssysteme ПІ. 67.1 Lösen von DGL-Systemen. 67.2 Stabilität. 67.3 Aufgaben. 739 739 743 749 68 Randwertprobleme. 68.1 Typen von
Randwertproblemen. 68.2 Erste Lösungsmethoden. 68.3 Lineare Randwertprobleme. 68.4 Die Methode mit der Green’schen Funktion. 68.5 Aufgaben. 753 753 754 755 758 763 69 Grundbegriffe der Numerik. 69.1 Kondition. 69.2 Die Groß-O-Notation. 69.3 Stabilität. 69.4 Aufgaben. 765 766 770 772 773 70 Fixpunktiteration. 70.1 Die Fixpunktgleichung. 70.2 Die Konvergenz von Iterationsverfahren. 70.3 Implementation. 70.4
Konvergenzgeschwindigkeit. 70.5 Aufgaben. 775 775 777 782 783 784 71 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme. 71.1 Lösen von Gleichungssystemen durch Fixpunktiteration. 71.2 Das Jacobiverfahren. 71.3 Das Gauß-Seidelverfahren. 71.4 Relaxation. 71.5 Aufgaben. 787 787 789 790 792 794
Inhaltsverzeichnis XXV 72 Optimierung. 72.1 Das Optimum. 72.2 Das Gradientenverfahren. 72.3 Newtonverfahren. 72.4 Aufgaben. 797 797 798 800 802 73 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen II. 73.1 Lösungsverfahren für DGL-Systeme. 73.2 Konsistenz und Konvergenz von Einschrittverfahren. 73.3 Steife Differentialgleichungen. 73.4 Randwertprobleme. 73.5 Aufgaben. 805 805 807 811 814 822 74 Fourierreihen - Berechnung der Fourierkoeffizienten. 74.1 Periodische Funktionen. 74.2 Die zulässigen Funktionen. 74.3 Entwicklung in Fourierreihen - reelle
Version. 74.4 Anwendung: Berechnung von Reihenwerten. 74.5 Entwicklung in Fourierreihen - komplexe Version. 74.6 Aufgaben. 825 825 828 829 833 834 838 75 Fourierreihen - Hintergründe, Sätze und Anwendung. 75.1 Das Orthonormalsystem 1 /VI, cos(fcx), sin(fcr). 75.2 Sätze und Regeln. 75.3 Anwendung auf lineare Differentialgleichungen. 75.4 Aufgaben. 841 841 843 848 849 76 Fouriertransformation 1. 76.1 Die Fouriertransformation. 76.2 Die inverse Fouriertransformation. 76.3 Aufgaben. 853 853 860 862 77 Fouriertransformation Π. 77.1 Die Regeln und Sätze zur Fouriertransformation. 77.2 Anwendung auf lineare
Differentialgleichungen. 77.3 Aufgaben. 863 863 867 871 78 Diskrete Fouriertransformation. 78.1 Näherungsweise Bestimmung der Fourierkoeffizienten. 78.2 Die inverse diskrete Fouriertransformation. 78.3 Trigonometrische Interpolation. 78.4 Aufgaben. 873 873 877 877 882
XXVI Inhaltsverzeichnis 79 Die Laplacetransformation. 79.1 Die Laplacetransformation. 79.2 Die Rechenregeln bzw. Sätze zur Laplacetransformation. 79.3 Anwendungen. 79.4 Aufgaben. 885 885 889 892 899 80 Holomorphe Funktionen. 80.1 Komplexe Funktionen. 80.2 Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie. 80.3 Aufgaben. 901 901 908 911 81 Komplexe Integration. 81.1 Komplexe Kurven. 81.2 Komplexe Kurvenintegrale. 81.3 Der Cauchyintegralsatz und die Cauchyintegralformel. 81.4 Aufgaben. 913 913 916 919 924 82 Laurentreihen. 82.1
Singularitäten. 82.2 Laurentreihen. 82.3 Laurentreihenentwicklung. 82.4 Aufgaben. 927 927 929 932 934 83 Der Residuenkalkül. 83.1 Der Residuensatz. 83.2 Berechnung reeller Integrale. 83.3 Aufgaben. 935 935 940 944 84 Konforme Abbildungen. 84.1 Allgemeines zu konformen Abbildungen. 84.2 Möbiustransformationen. 84.3 Aufgaben. 945 945 947 953 85 Harmonische Funktionen und das Dirichlet’sche Randwertproblem. 85.1 Harmonische Funktionen. 85.2 Das Dirichlet’sche Randwertproblem. 85.3
Aufgaben. 955 955 958 965 86 Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung. 86.1 Lineare pDGLen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. 86.2 Lineare pDGLen 1. Ordnung. 86.3 Die quasilineare pDGL erster Ordnung. 86.4 Das Charakteristikenverfahren. 86.5 Aufgaben. 967 968 971 973 975 978
Inhaltsverzeichnis XXVII 87 Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung - Allgemeines. 87.1 Erste Begriffe. 87.2 Die Typeneinteilung. 87.3 Lösungsmethoden. 87.4 Aufgaben. 981 982 984 985 988 88 Die Laplace- bzw. Poissongleichung. 88.1 Randwertprobleme für die Poissongleichung. 88.2 Lösungen der Laplacegleichung. 88.3 Das Dirichlet’sche Randwertproblem für einen Kreis. 88.4 Numerische Lösung. 88.5 Aufgaben. 991 991 992 994 995 999 89 Die Wärmeleitungsgleichung.1003 89.1 Anfangs-Randwertprobleme für die Wärmeleitungsgleichung. 1003 89.2 Lösungen der Gleichung.1004 89.3 Nullrandbedingung: Lösung mit Fourierreihen.
1006 89.4 Numerische Lösung. 1008 89.5 Aufgaben. 1011 90 Die Wellengleichung.1013 90.1 90.2 90.3 90.4 90.5 91 Anfangs-Randwertprobleme für die Wellengleichung.1013 Lösungen der Gleichung.1014 Die schwingende Saite: Lösung mit Fourierreihen. 1016 Numerische Lösung. 1018 Aufgaben. 1021 Lösen von pDGLen mit Fourier- und Laplacetransformation.1025 91.1 Ein einführendes Beispiel. 1025 91.2 Das allgemeine Vorgehen. 1027 91.3 Aufgaben. 1031 Stichwortverzeichnis 1033 |
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Inhaltsverzeichnis 1 2 3 4 5 Sprechweisen, Symbole und Mengen. 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Sprechweisen und Symbole der Mathematik. Summen-und Produktzeichen. Potenzen und Wurzeln. Symbole der Mengenlehre. Aufgaben. 1 5 5 6 9 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen. 11 2.1 2.2 2.3 2.4 11 16 16 17 Die natürlichen Zahlen. Die ganzen Zahlen. Die rationalen Zahlen. Aufgaben. Die reellen Zahlen. 19 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Grundlegendes. Reelle Intervalle. Der Betrag einer reellen
Zahl. ո-te Wurzeln. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen. Maximum, Minimum, Supremum undInfimum. Aufgaben. 19 21 21 23 23 25 27 Maschinenzahlen. 29 4.1 4.2 4.3 b-adische Darstellung reeller Zahlen. Gleitpunktzahlen. Aufgaben. 29 31 36 Polynome. 37 5.1 5.2 5.3 37 42 44 Polynome - Multiplikation und Division. Faktorisierung von Polynomen. Auswerten von Polynomen. XV
Inhaltsverzeichnis XVI 5.4 5.5 Partialbrachzerlegung. Aufgaben. 45 48 6 Trigonometrische Funktionen. 6.1 Sinus und Kosinus. 6.2 Tangens und Kotangens. 6.3 Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. 6.4 Aufgaben. 51 51 55 57 61 7 Komplexe Zahlen - Kartesische Koordinaten. 7.1 Konstruktion von C. 7.2 Die imaginäre Einheit und weitere Begriffe. 7.3 Der Fundamentalsatz der Algebra. 7.4 Aufgaben. 65 65 67 69 71 8 Komplexe Zahlen - Polarkoordinaten. 8.1 Die Polardarstellung. 8.2 Anwendungen der
Polardarstellung. 8.3 Aufgaben. 73 73 76 80 9 Lineare Gleichungssysteme. 9.1 Das Gauß’sche Eliminationsverfahren. 9.2 Der Rang einer Matrix. 9.3 Homogene lineare Gleichungssysteme. 9.4 Aufgaben. 81 81 86 88 90 10 Rechnen mit Matrizen. 10.1 Definition von Matrizen und einige besondere Matrizen. 10.2 Rechenoperationen. 10.3 Invertieren von Matrizen. 10.4 Rechenregeln. 10.5 Aufgaben. 93 93 95 100 102 104 11 L Ä-Zerlegung einer Matrix.
Motivation. Die L R-Zerlegung - vereinfachte Variante. Die L R-Zerlegung - allgemeine Variante. Die L R-Zerlegung - mit Spaltenpivotsuche. Aufgaben. 107 107 109 112 114 116 Die Determinante. 12.1 Definition der Determinante. 12.2 Berechnung der Determinante. 12.3 Anwendungen der Determinante. 12.4 Aufgaben. 119 119 121 126 128 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 12
Inhaltsverzeichnis XVII 13 Vektorräume. 131 13.1 13.2 13.3 Definition und wichtige Beispiele. Untervektorräume. Aufgaben. 131 134 136 Erzeugendensysteme und lineare (Un-)Abhängigkeit. 139 14.1 Linearkombinationen. 14.2 Das Erzeugnis von X. 14.3 Lineare (Un-)Abhängigkeit. 14.4 Aufgaben. 139 142 143 146 Basen von Vektorräumen. 149 15.1 Basen. 15.2 Anwendungen auf Matrizen und lineare Gleichungssysteme. 15.3 Aufgaben. 150 154 158 14 15 16 17 18 19 Orthogonalität I. 161 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6
Skalarprodukte. Länge, Abstand, Winkel und Orthogonalität. Orthonormalbasen. Orthogonale Zerlegung und Linearkombination bezüglich einer ONB. Orthogonale Matrizen. Aufgaben. 162 164 166 167 169 172 Orthogonalität II. 175 17.1 17.2 17.3 17.4 Das Orthonormierungsverfahren vonGram und Schmidt. Das Vektor-und das Spatprodukt. Die orthogonale Projektion. Aufgaben. 175 178 181 184 Das lineare Ausgleichsproblem. 187 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 Das lineare Ausgleichsproblem und seineLösung. Die orthogonale Projektion. Lösung eines überbestimmten linearen Gleichungssystems. Die Methode der kleinsten Quadrate.
Aufgaben. 187 188 190 191 195 Die Q Ä-Zerlegung einer Matrix. 199 19.1 Volle und reduzierte ßf?-Zerlegung. 199 19.2 Konstruktion der Q ^-Zerlegung. 200 19.3 Anwendungen der Q Ä-Zerlegung. 205 19.4 Aufgaben. 207
XVIII Inhaltsverzeichnis 20 Folgen. 20.1 Begriffe. 20.2 Konvergenz und Divergenz von Folgen. 20.3 Aufgaben. 209 209 212 215 21 Berechnung von Grenzwerten von Folgen. 21.1 Grenzwertbestimmung bei einer expliziten Folge. 21.2 Grenzwertbestimmung bei einer rekursiven Folge. 21.3 Aufgaben. 217 217 220 223 22 Reihen. 22.1 Definition und Beispiele. 22.2 Konvergenzkriterien. 22.3 Aufgaben. 225 225 228 232 23 Abbildungen. 23.1 Begriffe und
Beispiele. 23.2 Verkettung, injektiv, surjektiv, bijektiv. 23.3 Die Umkehrabbildung. 23.4 Beschränkte und monotone Funktionen. 23.5 Aufgaben. 235 235 238 243 245 246 24 Potenzreihen. 24.1 Der Konvergenzbereich reeller Potenzreihen. 24.2 Der Konvergenzbereich komplexer Potenzreihen. 24.3 Die Exponential- und die Logarithmusfünktion. 24.4 Die hyperbolischen Funktionen. 24.5 Aufgaben. 249 249 254 256 258 260 25 Grenzwerte und Stetigkeit. 25.1 Grenzwerte von Funktionen. 25.2 Asymptoten von Funktionen. 25.3 Stetigkeit. 25.4
Wichtige Sätze zu stetigen Funktionen. 25.5 Das Bisektionsverfahren. 25.6 Aufgaben. 261 261 265 267 269 270 272 26 Differentiation. 26.1 Die Ableitung und die Ableitungsfunktion. 26.2 Ableitungsregeln. 26.3 Numerische Differentiation. 26.4 Aufgaben. 275 275 278 282 284
Inhaltsverzeichnis XIX 27 Anwendungen der Differentialrechnung I. 27.1 Monotonie. 27.2 Lokale und globale Extrema. 27.3 Bestimmung der Extrema und Extremalstellen. 27.4 Konvexität. 27.5 Die Regel von L’Hospital. 27.6 Aufgaben. 287 287 288 291 295 297 299 28 Anwendungen der Differentialrechnung II. 28.1 Das Newtonverfahren. 28.2 Taylorentwicklung. 28.3 Restgliedabschätzungen. 28.4 Bestimmung von Taylorreihen. 28.5 Aufgaben. 301 301 305 308 312 315 29 Polynom- und Splineinterpolation. 29.1
Polynominterpolation. 29.2 Konstruktion kubischer Splines. 29.3 Aufgaben. 317 317 321 325 30 Integration 1. 30.1 Das bestimmte Integral. 30.2 Das unbestimmte Integral. 30.3 Aufgaben. 327 327 331 339 31 Integration II. 31.1 Integration rationaler Funktionen. 31.2 Rationale Funktionen in Sinus und Kosinus. 31.3 Numerische Integration. 31.4 Volumina und Oberflächen von Rotationskörpern. 31.5 Aufgaben. 341 341 344 347 349 351 32 Uneigentliche Integrale. 32.1 Berechnung uneigentlicher
Integrale. 32.2 Das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale. 32.3 Aufgaben. 353 353 356 358 33 Separierbare und lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung. 33.1 Erste Differentialgleichungen. 33.2 Separierbare Differentialgleichungen. 33.3 Die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. 33.4 Aufgaben. 359 360 361 365 368
XX Inhaltsverzeichnis 34 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. 34.1 Homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. 34.2 Inhomogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. 34.3 Aufgaben. 369 35 383 383 385 387 388 390 393 Einige besondere Typen von Differentialgleichungen. 35.1 Die homogene Differentialgleichung. 35.2 Die Euler’sche Differentialgleichung. 35.3 Die Bernoulli’sche Differentialgleichung. 35.4 Die Riccati’sche Differentialgleichung. 35.5 Der Potenzreihenansatz. 35.6 Aufgaben. 370 374 381 36 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen I. 395 36.1 Erste Verfahren. 395 36.2 Runge-Kuttaverfahren. 399 36.3
Mehrschrittverfahren. 402 36.4 Aufgaben.·. 404 37 Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen. 407 37.1 Definitionen und Beispiele. 407 37.2 Bild, Kern und die Dimensionsformel. 410 37.3 Koordinatenvektoren. 411 37.4 Darstellungsmatrizen. 413 37.5 Aufgaben. 415 38 Basistransformation. 419 38.1 Die Darstellungsmatrix der Verkettungen linearer Abbildungen. 419 38.2 Basistransformation. 421 38.3 Die zwei Methoden zur Bestimmung von Darstellungsmatrizen. 422 38.4 Aufgaben. 425 39 Diagonalisierung - Eigenwerte und Eigenvektoren. 39.1 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen. 39.2 Diagonalisieren von
Matrizen. 39.3 Das charakteristische Polynom einer Matrix. 39.4 Diagonalisierung reeller symmetrischer Matrizen. 39.5 Aufgaben. 429 429 431 433 438 440 40 Numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren. 40.1 Gerschgorinkreise. 40.2 Vektoriteration. 40.3 Das Jacobiverfahren. 443 443 445 447
Inhaltsverzeichnis 40.4 40.5 XXI Das Q Ä-Verfahren. Aufgaben. 451 453 41 Quadriken. 41.1 Begriffe und erste Beispiele. 41.2 Transformation auf Normalform. 41.3 Aufgaben. 455 456 459 463 42 Schurzerlegung und Singulärwertzerlegung. 42.1 Die Schurzerlegung. 42.2 Berechnung der Schurzerlegung. 42.3 Singulärwertzerlegung. 42.4 Bestimmung der Singulärwertzerlegung. 42.5 Aufgaben. 467 467 469 472 473 476 43 Die Jordannormalform I. 43.1 Existenz der Jordannormalform. 43.2 Verallgemeinerte Eigenräume. 43.3
Aufgaben. 479 479 482 487 44 Die Jordannormalform II. 44.1 Konstruktion einer Jordanbasis. 44.2 Anzahl und Größe der Jordankästchen. 44.3 Aufgaben. 489 489 496 497 45 Defínitheit und Matrixnormen. 45.1 Defínitheit von Matrizen. 45.2 Matrixnormen. 45.3 Aufgaben. 499 499 503 509 46 Funktionen mehrerer Veränderlicher. 46.1 Die Funktionen und ihre Darstellungen. 46.2 Einige topologische Begriffe. 46.3 Folgen, Grenzwerte, Stetigkeit. 46.4 Aufgaben. 511 511 514 517 520 47 Partielle Differentiation -
Gradient, Hessematrix, Jacobimatrix. 47.1 Der Gradient. 47.2 Die Hessematrix. 47.3 Die Jacobimatrix. 47.4 Aufgaben. 521 521 526 529 532 48 Anwendungen der partiellen Ableitungen. 48.1 Das (mehrdimensionale) Newtonverfahren. 48.2 Taylorentwicklung. 48.3 Aufgaben. 535 535 538 544
XXII Inhaltsverzeichnis 49 Extremwertbestimmung. 49.1 Lokale und globale Extrema. 49.2 Bestimmung der Extrema und Extremalstellen. 49.3 Aufgaben. 547 547 551 556 50 Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen. 50.1 Extrema unter Nebenbedingungen. 50.2 Das Einsetzverfahren. 50.3 Die Lagrange’sche Multiplikatorenregel. 50.4 Extrema unter mehreren Nebenbedingungen. 50.5 Aufgaben. 559 559 561 564 568 570 51 Totale Differentiation, Differentialoperatoren. 51.1 Totale Differenzierbarkeit. 51.2 Das totale Differential. 51.3 Differentialoperatoren. 51.4
Aufgaben. 573 573 575 577 581 52 Implizite Funktionen. 52.1 Implizite Funktionen - der einfache Fall. 52.2 Implizite Funktionen - der allgemeine Fall. 52.3 Aufgaben. 583 583 588 591 53 Koordinatentransformationen. 53.1 Transformationen und Transformationsmatrizen. 53.2 Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten. 53.3 Die Differentialoperatoren in kartesischen Zylinderund Kugelkoordinaten. 53.4 Umrechnung von Vektorfeldern und Skalarfeldem. 53.5 Aufgaben. 595 595 596 599 602 605 54 Kurven 1. 54.1 Begriffe. 54.2 Länge einer Kurve.
54.3 Aufgaben. 607 607 613 617 55 Kurven II. 55.1 Umparametrisierung einer Kurve. 55.2 Begleitendes Dreibein, Krümmung und Torsion. 55.3 Die Leibniz’sche Sektorformel. 55.4 Aufgaben. 619 619 621 624 626 56 Kurvenintegrale. 56.1 Skalare und vektorielle Kurvenintegrale. 56.2 Anwendungen der Kurvenintegrale. 56.3 Aufgaben. 629 629 634 636
Inhaltsverzeichnis XXIII 57 Gradientenfelder. 57.1 Definitionen. 57.2 Existenz einer Stammfunktion. 57.3 Bestimmung einer Stammfunktion. 57.4 Aufgaben. 639 639 641 643 645 58 Bereichsintegrale. 58.1 Integration über Rechtecke bzw. Quader. 58.2 Normalbereiche. 58.3 Integration über Normalbereiche. 58.4 Aufgaben. 649 649 652 654 658 59 Die Transformationsformel. 661 59.1 Integration über Polar-, Zylinder-, Kugel- und weitere Koordinaten. 661 59.2 Anwendung: Massen- und Schwerpunktbestimmung. 666 59.3 Aufgaben. 668 60 Flächen und
Flächenintegrale. 60.1 Reguläre Flächen. 60.2 Flächenintegrale. 60.3 Übersicht über die behandelten Integrale. 60.4 Aufgaben. 671 671 674 677 678 61 Integralsätze I. 61.1 Der ebene Satz von Green. 61.2 Der ebene Satz von Gauß. 61.3 Aufgaben. 681 681 685 688 62 Integralsätze II. 62.1 Der Divergenzsatz von Gauß. 62.2 Der Satz von Stokes. 62.3 Aufgaben. 691 691 695 699 63 Allgemeines zu Differentialgleichungen. 63.1 Das
Richtungsfeld. 63.2 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen. 63.3 Transformation auf Systeme 1. Ordnung. 63.4 Aufgaben. 703 703 704 707 709 64 Die exakte Differentialgleichung. 713 64.1 Definition exakter DGLen. 713 64.2 Das Lösungsverfahren. 714 64.3 Aufgaben. 718
XXIV Inhaltsverzeichnis 65 Lineare Differentialgleichungssysteme 1. 65.1 Die Exponentialfunktion für Matrizen. 65.2 Die Exponentialfunktion als Lösung linearer DGL-Systeme. 65.3 Die Lösung für ein diagonalisierbares A. 65.4 Aufgaben. 721 722 724 726 729 66 Lineare Differentialgleichungssysteme II. 66.1 Die Exponentialfunktion als Lösung linearer DGL-Systeme. 66.2 Die Lösung für ein nichtdiagonalisierbaresA. 66.3 Aufgaben. 731 731 734 736 67 Lineare Differentialgleichungssysteme ПІ. 67.1 Lösen von DGL-Systemen. 67.2 Stabilität. 67.3 Aufgaben. 739 739 743 749 68 Randwertprobleme. 68.1 Typen von
Randwertproblemen. 68.2 Erste Lösungsmethoden. 68.3 Lineare Randwertprobleme. 68.4 Die Methode mit der Green’schen Funktion. 68.5 Aufgaben. 753 753 754 755 758 763 69 Grundbegriffe der Numerik. 69.1 Kondition. 69.2 Die Groß-O-Notation. 69.3 Stabilität. 69.4 Aufgaben. 765 766 770 772 773 70 Fixpunktiteration. 70.1 Die Fixpunktgleichung. 70.2 Die Konvergenz von Iterationsverfahren. 70.3 Implementation. 70.4
Konvergenzgeschwindigkeit. 70.5 Aufgaben. 775 775 777 782 783 784 71 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme. 71.1 Lösen von Gleichungssystemen durch Fixpunktiteration. 71.2 Das Jacobiverfahren. 71.3 Das Gauß-Seidelverfahren. 71.4 Relaxation. 71.5 Aufgaben. 787 787 789 790 792 794
Inhaltsverzeichnis XXV 72 Optimierung. 72.1 Das Optimum. 72.2 Das Gradientenverfahren. 72.3 Newtonverfahren. 72.4 Aufgaben. 797 797 798 800 802 73 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen II. 73.1 Lösungsverfahren für DGL-Systeme. 73.2 Konsistenz und Konvergenz von Einschrittverfahren. 73.3 Steife Differentialgleichungen. 73.4 Randwertprobleme. 73.5 Aufgaben. 805 805 807 811 814 822 74 Fourierreihen - Berechnung der Fourierkoeffizienten. 74.1 Periodische Funktionen. 74.2 Die zulässigen Funktionen. 74.3 Entwicklung in Fourierreihen - reelle
Version. 74.4 Anwendung: Berechnung von Reihenwerten. 74.5 Entwicklung in Fourierreihen - komplexe Version. 74.6 Aufgaben. 825 825 828 829 833 834 838 75 Fourierreihen - Hintergründe, Sätze und Anwendung. 75.1 Das Orthonormalsystem 1 /VI, cos(fcx), sin(fcr). 75.2 Sätze und Regeln. 75.3 Anwendung auf lineare Differentialgleichungen. 75.4 Aufgaben. 841 841 843 848 849 76 Fouriertransformation 1. 76.1 Die Fouriertransformation. 76.2 Die inverse Fouriertransformation. 76.3 Aufgaben. 853 853 860 862 77 Fouriertransformation Π. 77.1 Die Regeln und Sätze zur Fouriertransformation. 77.2 Anwendung auf lineare
Differentialgleichungen. 77.3 Aufgaben. 863 863 867 871 78 Diskrete Fouriertransformation. 78.1 Näherungsweise Bestimmung der Fourierkoeffizienten. 78.2 Die inverse diskrete Fouriertransformation. 78.3 Trigonometrische Interpolation. 78.4 Aufgaben. 873 873 877 877 882
XXVI Inhaltsverzeichnis 79 Die Laplacetransformation. 79.1 Die Laplacetransformation. 79.2 Die Rechenregeln bzw. Sätze zur Laplacetransformation. 79.3 Anwendungen. 79.4 Aufgaben. 885 885 889 892 899 80 Holomorphe Funktionen. 80.1 Komplexe Funktionen. 80.2 Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie. 80.3 Aufgaben. 901 901 908 911 81 Komplexe Integration. 81.1 Komplexe Kurven. 81.2 Komplexe Kurvenintegrale. 81.3 Der Cauchyintegralsatz und die Cauchyintegralformel. 81.4 Aufgaben. 913 913 916 919 924 82 Laurentreihen. 82.1
Singularitäten. 82.2 Laurentreihen. 82.3 Laurentreihenentwicklung. 82.4 Aufgaben. 927 927 929 932 934 83 Der Residuenkalkül. 83.1 Der Residuensatz. 83.2 Berechnung reeller Integrale. 83.3 Aufgaben. 935 935 940 944 84 Konforme Abbildungen. 84.1 Allgemeines zu konformen Abbildungen. 84.2 Möbiustransformationen. 84.3 Aufgaben. 945 945 947 953 85 Harmonische Funktionen und das Dirichlet’sche Randwertproblem. 85.1 Harmonische Funktionen. 85.2 Das Dirichlet’sche Randwertproblem. 85.3
Aufgaben. 955 955 958 965 86 Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung. 86.1 Lineare pDGLen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. 86.2 Lineare pDGLen 1. Ordnung. 86.3 Die quasilineare pDGL erster Ordnung. 86.4 Das Charakteristikenverfahren. 86.5 Aufgaben. 967 968 971 973 975 978
Inhaltsverzeichnis XXVII 87 Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung - Allgemeines. 87.1 Erste Begriffe. 87.2 Die Typeneinteilung. 87.3 Lösungsmethoden. 87.4 Aufgaben. 981 982 984 985 988 88 Die Laplace- bzw. Poissongleichung. 88.1 Randwertprobleme für die Poissongleichung. 88.2 Lösungen der Laplacegleichung. 88.3 Das Dirichlet’sche Randwertproblem für einen Kreis. 88.4 Numerische Lösung. 88.5 Aufgaben. 991 991 992 994 995 999 89 Die Wärmeleitungsgleichung.1003 89.1 Anfangs-Randwertprobleme für die Wärmeleitungsgleichung. 1003 89.2 Lösungen der Gleichung.1004 89.3 Nullrandbedingung: Lösung mit Fourierreihen.
1006 89.4 Numerische Lösung. 1008 89.5 Aufgaben. 1011 90 Die Wellengleichung.1013 90.1 90.2 90.3 90.4 90.5 91 Anfangs-Randwertprobleme für die Wellengleichung.1013 Lösungen der Gleichung.1014 Die schwingende Saite: Lösung mit Fourierreihen. 1016 Numerische Lösung. 1018 Aufgaben. 1021 Lösen von pDGLen mit Fourier- und Laplacetransformation.1025 91.1 Ein einführendes Beispiel. 1025 91.2 Das allgemeine Vorgehen. 1027 91.3 Aufgaben. 1031 Stichwortverzeichnis 1033 |
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