Numerische Mathematik kompakt: Grundlagenwissen für Studium und Praxis
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Springer Spektrum
[2021]
|
| Ausgabe: | 5. Auflage |
| Schriftenreihe: | Lehrbuch
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltstext Unbekannt Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Literaturverzeichnis: Seite 435 - 440 |
| Beschreibung: | XV, 448 Seiten Diagramme 24 cm x 17 cm |
| ISBN: | 9783662641095 3662641097 |
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Inhaltsverzeichnis Vorwort Inhaltsverzeichnis 1 Polynominterpolation 1.1 Allgemeine Vorbetrachtungen. 1.2 Landausche Symbole. 1.2.1 Einführung. 1.2.2 Anwendung landauscher Symbole. 1.2.3 Rechnen mit landauschen Symbolen. 1.3 Existenz und Eindeutigkeit bei der Polynominterpolation. 1.3.1 Die lagrangesche Interpolationsformel . 1.3.2 Erste Vorgehensweise zur Berechnung des interpolierenden Poly noms . 1.4 Neville-Schema. 1.5 Die newtonsche Interpolationsformel, dividierteDifferenzen. 1.6 Fehlerdarstellungen zur Polynominterpolation. 1.7 Tschebyscheff-Polynome. Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. Übungsaufgaben. V VII 1 1 2 2 3 4 5 5 6 8 9 12 15 19 20 2 Splinefunktionen 23 2.1 Einführende
Bemerkungen. 23 2.2 Interpolierende lineare Splinefunktionen. 24 2.2.1 Die Berechnung interpolierender linearerSplinefunktionen . . . 24 2.3 Minimaleigenschaften kubischer Splinefunktionen . 25 2.4 Die Berechnung interpolierender kubischer Splinefunktionen. 27 2.4.1 Vorüberlegungen. 27 2.4.2 Natürliche Randbedingungen. 30 2.4.3 Vollständige Randbedingungen. 30 2.4.4 Periodische Randbedingungen . 31 2.4.5 Existenz und Eindeutigkeit der betrachteten interpolierenden kubischen Splines. 31 2.5 Fehlerabschätzungen für interpolierende kubische Splines. 32 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 37 Übungsaufgaben. 38 3 Diskrete Fouriertransformation und Anwendungen 3.1 Diskrete Fouriertransformation. 3.2 Anwendungen der diskreten Fouriertransformation. 3.2.1 Fourierreihen. 41 41 42 43
VIH Inhaltsverzeichnis 3.3 3.2.2 Zusammenhang zwischen komplexen Fourierkoeffizienten und der diskreten Fouriertransformation. 44 3.2.3 Trigonometrische Interpolation, Teil 1. 3.2.4 Trigonometrische Interpolation, Teil 2. 3.2.5 Trigonometrische Interpolation, Teil 3. 3.2.6 Interpolierende reelle trigonometrische Polynome. Schnelle Fouriertransformation (FFT). 3.3.1 Einführende Bemerkungen. 3.3.2 Der grundlegende Zusammenhang. 3.3.3 Bit-Umkehr. 3.3.4 Der FFT-Algorithmus in der Situation N = 2q . 3.3.5 Aufwandsbetrachtungen für den FFT-Algorithmus. 3.3.6 Pseudocode für den FFT-Algorithmus in der Situation A = 29 . Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. Übungsaufgaben. 45 46 46 48 50 50 50 52 53 55 56 56 57 4 Lösung linearer Gleichungssysteme 61 4.1 Gestaffelte lineare Gleichungssysteme. 62 4.1.1 Obere gestaffelte Gleichungssysteme. 63 4.1.2 Untere gestaffelte
Gleichungssysteme. 63 4.2 Der Gauß-Algorithmus. 64 4.2.1 Einführende Bemerkungen. 64 4.2.2 Gauß-Algorithmus mit Pivotsuche . 67 4.3 Die Faktorisierung PA = LR. 68 4.3.1 Permutationsmatrix. 68 4.3.2 Eliminationsmatrizen. 70 4.3.3 Die Faktorisierung PA = LR . 72 4.4 AÄ-Faktorisierung. 75 4.5 Cholesky-Faktorisierung positiv definiter Matrizen . 76 4.5.1 Grundbegriffe. 76 4.5.2 Die Berechnung einer Faktorisierung A — LLT für positiv defi nite Matrizen А є B^^. 79 4.5.3 Eine Klasse positiv definiter Matrizen. 80 4.6 Bandmatrizen. 81 4.7 Normen und Fehlerabschätzungen . 82 4.7.1
Normen. 83 4.7.2 Spezielle Matrixnormen. 86 4.7.3 Die Konditionszahl einer Matrix. 90 4.7.4 Störungsresultate für Matrizen. 90 4.7.5 Fehlerabschätzungen für fehlerbehaftete Gleichungssysteme . 92 4.8 Orthogonalisierungsverfahren. 93 4.8.1 Elementare Eigenschaften orthogonaler Matrizen . 93 4.8.2 Die Faktorisierung A = QR mittels Gram-Schmidt-Orthogonalisierung. 94
Inhaltsverzeichnis IX 4.8.3 Die Faktorisierung A — QS mittels Householder-Transforma tionen . 95 4.8.4 Anwendung 1: Stabile Lösung schlecht konditionierter Gleichungs systeme Ax — b . 99 4.8.5 Anwendung 2: Lineare Ausgleichsrechnung . 99 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 102 Übungsaufgaben. 103 5 Iterative Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme 109 5.1 Vorbemerkungen. 109 5.2 Der eindimensionale Fall. 111 5.2.1 Ein allgemeines Resultat. 111 5.2.2 Das Newton-Verfahren im eindimensionalen Fall. 112 5.3 Der banachsche Fixpunktsatz. 115 5.4 Das Newton-Verfabren im mehrdimensionalen Fall. 118 5.4.1 Einige Begriffe aus der Analysis. 118 5.4.2 Das Newton-Verfahren und seine Konvergenz . 120 5.4.3 Nullstellenbestimmung bei Polynomen. 122 Weitere Bemerkungen und
Literaturhinweise. 126 Übungsaufgaben. 127 6 Numerische Integration von Funktionen 131 6.1 Interpolatorische Quadraturformeln. 132 6.2 Spezielle interpolatorische Quadraturformeln. 133 6.2.1 Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln. 133 6.2.2 Andere interpolatorische Quadraturformeln. 135 6.3 Der Fehler bei der interpolatorischen Quadratur. 136 6.4 Genauigkeit abgeschlossener Newton-Cotes-Formeln. 139 6.4.1 Der Beweis von Lemma 6.16. 141 6.5 Summierte Quadraturformeln. 143 6.5.1 Summierte Rechteckregeln. 144 6.5.2 Summierte Trapezregel. 145 6.5.3 Summierte Simpson-Regel. 145 6.6 Asymptotik der summierten Trapezregel. 147 6.6.1 Die Asymptotik. 147 6.7 Extrapolationsverfahren . 147 6.7.1
Grundidee.147 6.7.2 Neville-Schema . 148 6.7.3 Verfahrensfehler bei der Extrapolation. 149 6.8 Gaußsche Quadraturformeln. 151 6.8.1 Einleitende Bemerkungen.151 6.8.2 Orthogonale Polynome. 152 6.8.3 Optimale Wahl der Stützstellen und Gewichte . 155 6.8.4 Nullstellen von orthogonalen Polynomen als Eigenwerte . 158 6.9 Beweis der Asymptotik für die summierte Trapezregel. 160 6.9.1 Bernoulli-Polynome. 160
x Inhaltsverzeichnis 6.9.2 Der Beweis von Theorem 6.24 . 161 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 163 Übungsaufgaben. 164 ľ Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme 167 7.1 Ein Existenz-und Eindeutigkeitssatz. 169 7.2 Theorie der Einschrittverfahren . 171 7.2.1 Ein elementares Resultat zur Fehlerakkumulation.173 7.3 Spezielle Einschrittverfahren.173 7.3.1 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p —1. 173 7.3.2 Einschrittverfahren der Konsistenz Ordnung p =2. 174 7.3.3 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p =4. 176 7.4 Rundungsfehleranalyse . 177 7.5 Asymptotische Entwicklung der Approximationen. 178 7.5.1 Einführende Bemerkungen. 178 7.5.2 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Ver fahrensfehlers, 1. Teil . 180 7.5.3 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Ver fahrensfehlers, 2. Teil
.181 7.5.4 Asymptotische Entwicklungen deslokalen Verfahrensfehlers . 184 7.6 Extrapolationsmethoden für Einschrittverfahren. . 185 7.7 Schrittweitensteuerung. 188 7.7.1 Verfahrensvorschrift. 188 7.7.2 Problemstellung. 188 7.7.3 Vorgehensweise bei gegebener Testschrittweite A(^. 189 7.7.4 Bestimmung einer neuen Testschrittweite h^^ im Fall 0® ε 190 7.7.5 Pseudocode zur Schrittweitensteuerung. 191 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 192 Übungsaufgaben. 192 8 Mehr schrittverfahren für Anfangswertprobleme 197 8.1 Grundlegende Begriffe. 197 8.1.1 Mehrschrittverfahren. 197 8.1.2 Konvergenz- und Konsistenzordnung. 198 8.1.3 Nullstabilität, Lipschitzbedingung. 199 8.1.4 Übersicht. 20° 8.2 Der globale Verfahrensfehler bei
Mehrschrittverfahren . 200 8.2.1 Das Konvergenztheorem . 200 8.2.2 Hilfsresultat 1: Das Lemma von Gronwall. 203 8.2.3 Beschränktheit der Matrixfolge A, A2, A3,. 205 8.2.4 Die Konsistenzordnung linearer Mehrschrittverfahren . 206 8.3 Spezielle lineare Mehrschrittverfahren ֊ Vorbereitungen. 208 8.4 Adams-Verfahren. 211 8.4.1 Der Ansatz. 211 8.4.2 Adams-Bashfort-Verfahren. 211 8.4.3 Adams-Moulton-Verfahren. 214
Inhaltsverzeichnis XI 8.5 Nyström-und Milne-Simpson-Verfahren. 216 8.5.1 Der Ansatz. 216 8.5.2 Nyström-Verfahren. 217 8.5.3 Milne-Simpson-Verfahren. 218 8.6 BDF-Verfahren.220 8.6.1 Der Ansatz. 220 8.6.2 Tabellarische Übersicht über spezielle Mehrschrittverfahren . . 222 8.7 Prädiktor-Korrektor-Verfahren. 223 8.7.1 Linearer Prädiktor/Linearer Korrektor.227 8.8 Lineare homogene Differenzengleichungen. 228 8.8.1 Die Testgleichung. 228 8.8.2 Existenz und Eindeutigkeit bei linearen homogenen Differen zengleichungen . 228 8.8.3 Die komplexwertige allgemeine Lösung der homogenenDiffe renzengleichung Lu = 0 229 8.8.4 Die reellwertige allgemeine Lösung der homogenen Differenzen gleichung Lu = 0. 233 8.8.5 Eine spezielle Differenzengleichung. 234 8.9
Steife Differenzialgleichungen .237 8.9.1 Einführende Bemerkungen. 237 8.9.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung bei Anfangswertproble men für Differenzialgleichungen mit oberer Lipschitzeigenschaft239 8.9.3 Das implizite Euler-Verfahren für steife Differenzialgleichungen 242 8.9.4 Steife Differenzialgleichungen in den Anwendungen. 244 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 245 Übungsaufgaben. 246 9 Randwertprobleme 253 9.1 Problemstellung, Existenz, Eindeutigkeit . 253 9.1.1 Problemstellung. 253 9.1.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung. 255 9.2 Differenzenverfahren. 256 9.2.1 Numerische Differenziation. 256 9.2.2 Der Ansatz für Differenzenverfahren . 257 9.2.3 Das Konvergenzresultat für Differenzenverfahren.259 9.2.4 Vorbereitungen für den Beweis von Teil a) desTheorems9.11 . 260 9.2.5 Nachweis der Aussage in Teil a) von Theorem 9.11. 265 9.3 Gaierkin-Verfahren
. 265 9.3.1 Einführende Bemerkungen. 266 9.3.2 Eigenschaften des Differenzialoperators Lu = —u" + ru . . . . 266 9.3.3 Gaierkin-Verfahren - ein allgemeiner Ansatz.269 9.3.4 Systemmatrix. 272 9.3.5 Finite-Elemente-Methode . 273 9.3.6 Anwendungen. 275 9.3.7 Das Energiefunktional . 277
XII 9.4 Inhaltsverzeichnis Einfachschießverfahren. . 9.4.1 Numerische Realisierung des Einfachschießverfahrens mit dem Newton-Verfahren. 9.4.2 Numerische Realisierung des Einfachschießverfahrens mit ei ner Fixpunktiteration. Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 280 Übungsaufgaben. 28i 10 Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren 287 10.1 Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme.287 10.1.1 Hintergrund zum Einsatz iterativer Verfahren bei linearen Glei chungssystemen .287 10.2 Lineare Fixpunktiteration. 288 10.2.1 Ein Modellbeispiel. 290 10.3 Einige spezielle Klassen von Matrizen. 292 10.3.1 Irreduzible Matrizen. 292 10.4 Das Gesamtschrittverfahren. 294 10.5 Das Einzelschrittverfahren . 296 10.5.1 Der Betrag einer
Matrix. 297 10.5.2 Konvergenzergebnisse für das Einzelschrittverfahren. 298 10.6 Das Relaxationsverfahren und erste Konvergenzresultate. 300 10.6.1 M-Matrizen. 302 10.7 Relaxationsverfahren für konsistent geordnete Matrizen. 304 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 309 Übungsaufgaben. 310 11 CG- und GMRES-Verfahren 315 11.1 Vorbetrachtungen. 315 11.1.1 Ausblick.316 11.2 Der Ansatz des orthogonalen Residuums. 316 11.2.1 Existenz, Eindeutigkeit und Minimaleigenschaft.317 11.2.2 Der Ansatz des orthogonalen Residuums (11.2) für gegebene Akonjugierte Basen. 318 11.3 Das CG-Verfahren für positiv definite Matrizen. 320 11.3.1 Einleitende Bemerkungen. 320 11.3.2 Die Berechnung Λ-konjugierter Suchrichtungen in Kn(A, h) . . 320 11.3.3 Der Algorithmus zum CG-
Verfahren. 322 11.4 Die Konvergenzgeschwindigkeit des CG-Verfahrens. 323 11.5 Das CG-Verfahren für die Normalgleichungen. 326 11.6 Arnoldi-Prozess. 327 11.6.1 Vorbetrachtungen zum GMRES-Verfahren . 327 11.6.2 Arnoldi-Prozess. 328 11.7 GMRES auf der Basis des Arnoldi-Prozesses. 331 11.7.1 Einführende Bemerkungen. 331 11.7.2 Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung des betrachteten Minimierungsproblems. 332
Inhaltsverzeichnis XIII 11.7.3 Detailherte Beschreibung der Vorgehensweise zur Lösung des betrachteten Minimierungsproblems . 333 11.7.4 MATLAB-Programm für GMRES . 335 11.8 Konvergenzgeschwindigkeit des GMRES-Verfahrens. 336 11.9 Nachtrag 1: Krylovräume . 337 11.10 N achtrag 2 : Programmsysteme mit Multifunktionalität. 338 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 339 Übungsaufgaben.339 12 Eigenwertprobleme 341 12.1 Einleitung. 341 12.2 Störungstheorie für Eigenwertprobleme. 342 12.2.1 Diagonalisierbare Matrizen . 342 12.2.2 Der allgemeine Fall. 344 12.3 Lokahsierung von Eigenwerten. 346 12.4 Variationssätze für symmetrische Eigenwertprobleme . 348 12.5 Störungsresultate für Eigenwerte symmetrischer Matrizen.350 12.6 Nachtrag: Faktorisierungen von Matrizen. 351 12.6.1 Symmetrische
Matrizen . 351 12.6.2 Diagonalisierbare Matrizen . 352 12.6.3 Schur-Faktorisierung.352 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise.352 Übungsaufgaben. 352 13 Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme 357 13.1 Einführende Bemerkungen. 357 13.1.1 Ähnlichkeitstransformationen. 357 13.1.2 Vektoriteration. 358 13.2 Transformation auf Hessenbergform . 359 13.2.1 Householder-Ähnlichkeitstransformationen zur Gewinnung von Hessenbergmatrizen . 359 13.2.2 Der symmetrische Fall. 361 13.3 Newton-Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten. 362 13.3.1 Der nichtsymmetrische Fall. Die Methode von Hyman.362 13.3.2 Das Newton-Verfahren zur Berechnung der Eigenwerte tridiago naler Matrizen. 364 13.4 Das Jacobi-Verfahren für symmetrische
Matrizen. 366 13.4.1 Approximation der Eigenwerte durch Diagonaleinträge.366 13.4.2 Givensrotationen zur Reduktion der Nichtdiagonaleinträge . . . 367 13.4.3 Zwei spezielle Jacobi-Verfahren. 370 13.5 Das gÄ-Verfahren. 372 13.5.1 Eindeutigkeit und Stetigkeit der gR-Faktorisierungeiner Matrix 372 13.5.2 Definition des gR-Verfahrens. 375 13.5.3 Konvergenz des QR-Verfahrens für betragsmäßig einfache Ei genwerte . 377
XIV Inhaltsverzeichnis 13.5.4 Praktische Durchführung des Q R-Verfahrens für Hessenberg matrizen . 380 13.6 Das ¿/¿-Verfahren. 385 13.7 Die Vektoriteration. 385 13.7.1 Definition und Eigenschaften der Vektoriteration . 385 13.7.2 Spezielle Vektoriterationen. 387 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 388 Übungsaufgaben. 388 14 Restglieddarstellung nach Peano 391 14.1 Einführende Bemerkungen. 391 14.2 Peano-Kerne. 392 14.3 Anwendungen. 394 14.3.1 Interp olation.394 14.3.2 Numerische Integration . 395 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 395 Übungsaufgaben. 395 15 Approximationstheorie 397
15.1 Einführende Bemerkungen. 397 15.2 Existenz eines Proximums.398 15.3 Eindeutigkeit eines Proximums. 400 15.3.1 Einige Notationen; streng konvexe Mengen. 400 15.3.2 Strikt normierte Räume . 401 15.4 Approximationstheorie in Räumen mit Skalarprodukt. 403 15.4.1 Einige Grundlagen. 403 15.4.2 Proxima in linearen Unterräumen. 404 15.5 Πη-1-Proximabzgl. Maximumnormen. 406 15.6 Anwendungen des Aiternantensatzes. 409 15.6.1 Ein Beispiel. 409 15.6.2 Eine erste Anwendung des Aiternantensatzes. 410 15.6.3 Eine zweite Anwendung des Aiternantensatzes. 411 15.7 Haarsche Räume, Tschebyscheff-Systeme. 412 15.7.1 Aiternantensatz für haarsche Räume. 413 15.7.2 Eindeutigkeit des Proximums. 414 15.7.3 Untere Schranken für den
Minimalabstand . 414 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise . 415 Übungsaufgaben. 415 16 Rechnerarithmetik 417 16.1 Zahlendarstellungen. 417 16.2 Allgemeine Gleitpunkt-Zahlensysteme. 418 16.2.1 Grundlegende Begriffe. 418 16.2.2 Struktur des normalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems F . 419 16.2.3 Struktur des denormalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems í. . . 421 16.3 Gleitpunkt-Zahlensysteme in der Praxis. 422
Inhaltsverzeichnis XV 16.3.1 Die Gleitpunktzahlen des Standards IEEE 754 . 422 16.3.2 Weitere Gleitpunkt-Zahlensysteme in der Praxis. 424 16.4 Runden, Abschneiden. 425 16.4.1 Runden.425 16.4.2 Abschneiden. 427 16.5 Arithmetik in Gleitpunkt-Zahlensystemen. 428 16.5.1 Arithmetische Grundoperationen in Gleitpunkt-Zahlensystemen 429 16.5.2 Fehlerakkumulation bei der Hintereinanderausführung von Mul tiplikationen und Divisionen in Gleitpunkt-Zahlensystemen . . 429 16.5.3 Fehlerverstärkung bei der Hintereinanderausführung von Addi tionen in einem gegebenen Gleitpunkt-Zahlensystem F.431 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 433 Literaturverzeichnis 435 Index 441 |
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Inhaltsverzeichnis Vorwort Inhaltsverzeichnis 1 Polynominterpolation 1.1 Allgemeine Vorbetrachtungen. 1.2 Landausche Symbole. 1.2.1 Einführung. 1.2.2 Anwendung landauscher Symbole. 1.2.3 Rechnen mit landauschen Symbolen. 1.3 Existenz und Eindeutigkeit bei der Polynominterpolation. 1.3.1 Die lagrangesche Interpolationsformel . 1.3.2 Erste Vorgehensweise zur Berechnung des interpolierenden Poly noms . 1.4 Neville-Schema. 1.5 Die newtonsche Interpolationsformel, dividierteDifferenzen. 1.6 Fehlerdarstellungen zur Polynominterpolation. 1.7 Tschebyscheff-Polynome. Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. Übungsaufgaben. V VII 1 1 2 2 3 4 5 5 6 8 9 12 15 19 20 2 Splinefunktionen 23 2.1 Einführende
Bemerkungen. 23 2.2 Interpolierende lineare Splinefunktionen. 24 2.2.1 Die Berechnung interpolierender linearerSplinefunktionen . . . 24 2.3 Minimaleigenschaften kubischer Splinefunktionen . 25 2.4 Die Berechnung interpolierender kubischer Splinefunktionen. 27 2.4.1 Vorüberlegungen. 27 2.4.2 Natürliche Randbedingungen. 30 2.4.3 Vollständige Randbedingungen. 30 2.4.4 Periodische Randbedingungen . 31 2.4.5 Existenz und Eindeutigkeit der betrachteten interpolierenden kubischen Splines. 31 2.5 Fehlerabschätzungen für interpolierende kubische Splines. 32 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 37 Übungsaufgaben. 38 3 Diskrete Fouriertransformation und Anwendungen 3.1 Diskrete Fouriertransformation. 3.2 Anwendungen der diskreten Fouriertransformation. 3.2.1 Fourierreihen. 41 41 42 43
VIH Inhaltsverzeichnis 3.3 3.2.2 Zusammenhang zwischen komplexen Fourierkoeffizienten und der diskreten Fouriertransformation. 44 3.2.3 Trigonometrische Interpolation, Teil 1. 3.2.4 Trigonometrische Interpolation, Teil 2. 3.2.5 Trigonometrische Interpolation, Teil 3. 3.2.6 Interpolierende reelle trigonometrische Polynome. Schnelle Fouriertransformation (FFT). 3.3.1 Einführende Bemerkungen. 3.3.2 Der grundlegende Zusammenhang. 3.3.3 Bit-Umkehr. 3.3.4 Der FFT-Algorithmus in der Situation N = 2q . 3.3.5 Aufwandsbetrachtungen für den FFT-Algorithmus. 3.3.6 Pseudocode für den FFT-Algorithmus in der Situation A = 29 . Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. Übungsaufgaben. 45 46 46 48 50 50 50 52 53 55 56 56 57 4 Lösung linearer Gleichungssysteme 61 4.1 Gestaffelte lineare Gleichungssysteme. 62 4.1.1 Obere gestaffelte Gleichungssysteme. 63 4.1.2 Untere gestaffelte
Gleichungssysteme. 63 4.2 Der Gauß-Algorithmus. 64 4.2.1 Einführende Bemerkungen. 64 4.2.2 Gauß-Algorithmus mit Pivotsuche . 67 4.3 Die Faktorisierung PA = LR. 68 4.3.1 Permutationsmatrix. 68 4.3.2 Eliminationsmatrizen. 70 4.3.3 Die Faktorisierung PA = LR . 72 4.4 AÄ-Faktorisierung. 75 4.5 Cholesky-Faktorisierung positiv definiter Matrizen . 76 4.5.1 Grundbegriffe. 76 4.5.2 Die Berechnung einer Faktorisierung A — LLT für positiv defi nite Matrizen А є B^^. 79 4.5.3 Eine Klasse positiv definiter Matrizen. 80 4.6 Bandmatrizen. 81 4.7 Normen und Fehlerabschätzungen . 82 4.7.1
Normen. 83 4.7.2 Spezielle Matrixnormen. 86 4.7.3 Die Konditionszahl einer Matrix. 90 4.7.4 Störungsresultate für Matrizen. 90 4.7.5 Fehlerabschätzungen für fehlerbehaftete Gleichungssysteme . 92 4.8 Orthogonalisierungsverfahren. 93 4.8.1 Elementare Eigenschaften orthogonaler Matrizen . 93 4.8.2 Die Faktorisierung A = QR mittels Gram-Schmidt-Orthogonalisierung. 94
Inhaltsverzeichnis IX 4.8.3 Die Faktorisierung A — QS mittels Householder-Transforma tionen . 95 4.8.4 Anwendung 1: Stabile Lösung schlecht konditionierter Gleichungs systeme Ax — b . 99 4.8.5 Anwendung 2: Lineare Ausgleichsrechnung . 99 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 102 Übungsaufgaben. 103 5 Iterative Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme 109 5.1 Vorbemerkungen. 109 5.2 Der eindimensionale Fall. 111 5.2.1 Ein allgemeines Resultat. 111 5.2.2 Das Newton-Verfahren im eindimensionalen Fall. 112 5.3 Der banachsche Fixpunktsatz. 115 5.4 Das Newton-Verfabren im mehrdimensionalen Fall. 118 5.4.1 Einige Begriffe aus der Analysis. 118 5.4.2 Das Newton-Verfahren und seine Konvergenz . 120 5.4.3 Nullstellenbestimmung bei Polynomen. 122 Weitere Bemerkungen und
Literaturhinweise. 126 Übungsaufgaben. 127 6 Numerische Integration von Funktionen 131 6.1 Interpolatorische Quadraturformeln. 132 6.2 Spezielle interpolatorische Quadraturformeln. 133 6.2.1 Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln. 133 6.2.2 Andere interpolatorische Quadraturformeln. 135 6.3 Der Fehler bei der interpolatorischen Quadratur. 136 6.4 Genauigkeit abgeschlossener Newton-Cotes-Formeln. 139 6.4.1 Der Beweis von Lemma 6.16. 141 6.5 Summierte Quadraturformeln. 143 6.5.1 Summierte Rechteckregeln. 144 6.5.2 Summierte Trapezregel. 145 6.5.3 Summierte Simpson-Regel. 145 6.6 Asymptotik der summierten Trapezregel. 147 6.6.1 Die Asymptotik. 147 6.7 Extrapolationsverfahren . 147 6.7.1
Grundidee.147 6.7.2 Neville-Schema . 148 6.7.3 Verfahrensfehler bei der Extrapolation. 149 6.8 Gaußsche Quadraturformeln. 151 6.8.1 Einleitende Bemerkungen.151 6.8.2 Orthogonale Polynome. 152 6.8.3 Optimale Wahl der Stützstellen und Gewichte . 155 6.8.4 Nullstellen von orthogonalen Polynomen als Eigenwerte . 158 6.9 Beweis der Asymptotik für die summierte Trapezregel. 160 6.9.1 Bernoulli-Polynome. 160
x Inhaltsverzeichnis 6.9.2 Der Beweis von Theorem 6.24 . 161 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 163 Übungsaufgaben. 164 ľ Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme 167 7.1 Ein Existenz-und Eindeutigkeitssatz. 169 7.2 Theorie der Einschrittverfahren . 171 7.2.1 Ein elementares Resultat zur Fehlerakkumulation.173 7.3 Spezielle Einschrittverfahren.173 7.3.1 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p —1. 173 7.3.2 Einschrittverfahren der Konsistenz Ordnung p =2. 174 7.3.3 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p =4. 176 7.4 Rundungsfehleranalyse . 177 7.5 Asymptotische Entwicklung der Approximationen. 178 7.5.1 Einführende Bemerkungen. 178 7.5.2 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Ver fahrensfehlers, 1. Teil . 180 7.5.3 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Ver fahrensfehlers, 2. Teil
.181 7.5.4 Asymptotische Entwicklungen deslokalen Verfahrensfehlers . 184 7.6 Extrapolationsmethoden für Einschrittverfahren. . 185 7.7 Schrittweitensteuerung. 188 7.7.1 Verfahrensvorschrift. 188 7.7.2 Problemstellung. 188 7.7.3 Vorgehensweise bei gegebener Testschrittweite A(^. 189 7.7.4 Bestimmung einer neuen Testschrittweite h^^ im Fall 0® ε 190 7.7.5 Pseudocode zur Schrittweitensteuerung. 191 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 192 Übungsaufgaben. 192 8 Mehr schrittverfahren für Anfangswertprobleme 197 8.1 Grundlegende Begriffe. 197 8.1.1 Mehrschrittverfahren. 197 8.1.2 Konvergenz- und Konsistenzordnung. 198 8.1.3 Nullstabilität, Lipschitzbedingung. 199 8.1.4 Übersicht. 20° 8.2 Der globale Verfahrensfehler bei
Mehrschrittverfahren . 200 8.2.1 Das Konvergenztheorem . 200 8.2.2 Hilfsresultat 1: Das Lemma von Gronwall. 203 8.2.3 Beschränktheit der Matrixfolge A, A2, A3,. 205 8.2.4 Die Konsistenzordnung linearer Mehrschrittverfahren . 206 8.3 Spezielle lineare Mehrschrittverfahren ֊ Vorbereitungen. 208 8.4 Adams-Verfahren. 211 8.4.1 Der Ansatz. 211 8.4.2 Adams-Bashfort-Verfahren. 211 8.4.3 Adams-Moulton-Verfahren. 214
Inhaltsverzeichnis XI 8.5 Nyström-und Milne-Simpson-Verfahren. 216 8.5.1 Der Ansatz. 216 8.5.2 Nyström-Verfahren. 217 8.5.3 Milne-Simpson-Verfahren. 218 8.6 BDF-Verfahren.220 8.6.1 Der Ansatz. 220 8.6.2 Tabellarische Übersicht über spezielle Mehrschrittverfahren . . 222 8.7 Prädiktor-Korrektor-Verfahren. 223 8.7.1 Linearer Prädiktor/Linearer Korrektor.227 8.8 Lineare homogene Differenzengleichungen. 228 8.8.1 Die Testgleichung. 228 8.8.2 Existenz und Eindeutigkeit bei linearen homogenen Differen zengleichungen . 228 8.8.3 Die komplexwertige allgemeine Lösung der homogenenDiffe renzengleichung Lu = 0 229 8.8.4 Die reellwertige allgemeine Lösung der homogenen Differenzen gleichung Lu = 0. 233 8.8.5 Eine spezielle Differenzengleichung. 234 8.9
Steife Differenzialgleichungen .237 8.9.1 Einführende Bemerkungen. 237 8.9.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung bei Anfangswertproble men für Differenzialgleichungen mit oberer Lipschitzeigenschaft239 8.9.3 Das implizite Euler-Verfahren für steife Differenzialgleichungen 242 8.9.4 Steife Differenzialgleichungen in den Anwendungen. 244 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 245 Übungsaufgaben. 246 9 Randwertprobleme 253 9.1 Problemstellung, Existenz, Eindeutigkeit . 253 9.1.1 Problemstellung. 253 9.1.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung. 255 9.2 Differenzenverfahren. 256 9.2.1 Numerische Differenziation. 256 9.2.2 Der Ansatz für Differenzenverfahren . 257 9.2.3 Das Konvergenzresultat für Differenzenverfahren.259 9.2.4 Vorbereitungen für den Beweis von Teil a) desTheorems9.11 . 260 9.2.5 Nachweis der Aussage in Teil a) von Theorem 9.11. 265 9.3 Gaierkin-Verfahren
. 265 9.3.1 Einführende Bemerkungen. 266 9.3.2 Eigenschaften des Differenzialoperators Lu = —u" + ru . . . . 266 9.3.3 Gaierkin-Verfahren - ein allgemeiner Ansatz.269 9.3.4 Systemmatrix. 272 9.3.5 Finite-Elemente-Methode . 273 9.3.6 Anwendungen. 275 9.3.7 Das Energiefunktional . 277
XII 9.4 Inhaltsverzeichnis Einfachschießverfahren. . 9.4.1 Numerische Realisierung des Einfachschießverfahrens mit dem Newton-Verfahren. 9.4.2 Numerische Realisierung des Einfachschießverfahrens mit ei ner Fixpunktiteration. Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 280 Übungsaufgaben. 28i 10 Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren 287 10.1 Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme.287 10.1.1 Hintergrund zum Einsatz iterativer Verfahren bei linearen Glei chungssystemen .287 10.2 Lineare Fixpunktiteration. 288 10.2.1 Ein Modellbeispiel. 290 10.3 Einige spezielle Klassen von Matrizen. 292 10.3.1 Irreduzible Matrizen. 292 10.4 Das Gesamtschrittverfahren. 294 10.5 Das Einzelschrittverfahren . 296 10.5.1 Der Betrag einer
Matrix. 297 10.5.2 Konvergenzergebnisse für das Einzelschrittverfahren. 298 10.6 Das Relaxationsverfahren und erste Konvergenzresultate. 300 10.6.1 M-Matrizen. 302 10.7 Relaxationsverfahren für konsistent geordnete Matrizen. 304 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 309 Übungsaufgaben. 310 11 CG- und GMRES-Verfahren 315 11.1 Vorbetrachtungen. 315 11.1.1 Ausblick.316 11.2 Der Ansatz des orthogonalen Residuums. 316 11.2.1 Existenz, Eindeutigkeit und Minimaleigenschaft.317 11.2.2 Der Ansatz des orthogonalen Residuums (11.2) für gegebene Akonjugierte Basen. 318 11.3 Das CG-Verfahren für positiv definite Matrizen. 320 11.3.1 Einleitende Bemerkungen. 320 11.3.2 Die Berechnung Λ-konjugierter Suchrichtungen in Kn(A, h) . . 320 11.3.3 Der Algorithmus zum CG-
Verfahren. 322 11.4 Die Konvergenzgeschwindigkeit des CG-Verfahrens. 323 11.5 Das CG-Verfahren für die Normalgleichungen. 326 11.6 Arnoldi-Prozess. 327 11.6.1 Vorbetrachtungen zum GMRES-Verfahren . 327 11.6.2 Arnoldi-Prozess. 328 11.7 GMRES auf der Basis des Arnoldi-Prozesses. 331 11.7.1 Einführende Bemerkungen. 331 11.7.2 Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung des betrachteten Minimierungsproblems. 332
Inhaltsverzeichnis XIII 11.7.3 Detailherte Beschreibung der Vorgehensweise zur Lösung des betrachteten Minimierungsproblems . 333 11.7.4 MATLAB-Programm für GMRES . 335 11.8 Konvergenzgeschwindigkeit des GMRES-Verfahrens. 336 11.9 Nachtrag 1: Krylovräume . 337 11.10 N achtrag 2 : Programmsysteme mit Multifunktionalität. 338 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 339 Übungsaufgaben.339 12 Eigenwertprobleme 341 12.1 Einleitung. 341 12.2 Störungstheorie für Eigenwertprobleme. 342 12.2.1 Diagonalisierbare Matrizen . 342 12.2.2 Der allgemeine Fall. 344 12.3 Lokahsierung von Eigenwerten. 346 12.4 Variationssätze für symmetrische Eigenwertprobleme . 348 12.5 Störungsresultate für Eigenwerte symmetrischer Matrizen.350 12.6 Nachtrag: Faktorisierungen von Matrizen. 351 12.6.1 Symmetrische
Matrizen . 351 12.6.2 Diagonalisierbare Matrizen . 352 12.6.3 Schur-Faktorisierung.352 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise.352 Übungsaufgaben. 352 13 Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme 357 13.1 Einführende Bemerkungen. 357 13.1.1 Ähnlichkeitstransformationen. 357 13.1.2 Vektoriteration. 358 13.2 Transformation auf Hessenbergform . 359 13.2.1 Householder-Ähnlichkeitstransformationen zur Gewinnung von Hessenbergmatrizen . 359 13.2.2 Der symmetrische Fall. 361 13.3 Newton-Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten. 362 13.3.1 Der nichtsymmetrische Fall. Die Methode von Hyman.362 13.3.2 Das Newton-Verfahren zur Berechnung der Eigenwerte tridiago naler Matrizen. 364 13.4 Das Jacobi-Verfahren für symmetrische
Matrizen. 366 13.4.1 Approximation der Eigenwerte durch Diagonaleinträge.366 13.4.2 Givensrotationen zur Reduktion der Nichtdiagonaleinträge . . . 367 13.4.3 Zwei spezielle Jacobi-Verfahren. 370 13.5 Das gÄ-Verfahren. 372 13.5.1 Eindeutigkeit und Stetigkeit der gR-Faktorisierungeiner Matrix 372 13.5.2 Definition des gR-Verfahrens. 375 13.5.3 Konvergenz des QR-Verfahrens für betragsmäßig einfache Ei genwerte . 377
XIV Inhaltsverzeichnis 13.5.4 Praktische Durchführung des Q R-Verfahrens für Hessenberg matrizen . 380 13.6 Das ¿/¿-Verfahren. 385 13.7 Die Vektoriteration. 385 13.7.1 Definition und Eigenschaften der Vektoriteration . 385 13.7.2 Spezielle Vektoriterationen. 387 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 388 Übungsaufgaben. 388 14 Restglieddarstellung nach Peano 391 14.1 Einführende Bemerkungen. 391 14.2 Peano-Kerne. 392 14.3 Anwendungen. 394 14.3.1 Interp olation.394 14.3.2 Numerische Integration . 395 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 395 Übungsaufgaben. 395 15 Approximationstheorie 397
15.1 Einführende Bemerkungen. 397 15.2 Existenz eines Proximums.398 15.3 Eindeutigkeit eines Proximums. 400 15.3.1 Einige Notationen; streng konvexe Mengen. 400 15.3.2 Strikt normierte Räume . 401 15.4 Approximationstheorie in Räumen mit Skalarprodukt. 403 15.4.1 Einige Grundlagen. 403 15.4.2 Proxima in linearen Unterräumen. 404 15.5 Πη-1-Proximabzgl. Maximumnormen. 406 15.6 Anwendungen des Aiternantensatzes. 409 15.6.1 Ein Beispiel. 409 15.6.2 Eine erste Anwendung des Aiternantensatzes. 410 15.6.3 Eine zweite Anwendung des Aiternantensatzes. 411 15.7 Haarsche Räume, Tschebyscheff-Systeme. 412 15.7.1 Aiternantensatz für haarsche Räume. 413 15.7.2 Eindeutigkeit des Proximums. 414 15.7.3 Untere Schranken für den
Minimalabstand . 414 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise . 415 Übungsaufgaben. 415 16 Rechnerarithmetik 417 16.1 Zahlendarstellungen. 417 16.2 Allgemeine Gleitpunkt-Zahlensysteme. 418 16.2.1 Grundlegende Begriffe. 418 16.2.2 Struktur des normalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems F . 419 16.2.3 Struktur des denormalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems í. . . 421 16.3 Gleitpunkt-Zahlensysteme in der Praxis. 422
Inhaltsverzeichnis XV 16.3.1 Die Gleitpunktzahlen des Standards IEEE 754 . 422 16.3.2 Weitere Gleitpunkt-Zahlensysteme in der Praxis. 424 16.4 Runden, Abschneiden. 425 16.4.1 Runden.425 16.4.2 Abschneiden. 427 16.5 Arithmetik in Gleitpunkt-Zahlensystemen. 428 16.5.1 Arithmetische Grundoperationen in Gleitpunkt-Zahlensystemen 429 16.5.2 Fehlerakkumulation bei der Hintereinanderausführung von Mul tiplikationen und Divisionen in Gleitpunkt-Zahlensystemen . . 429 16.5.3 Fehlerverstärkung bei der Hintereinanderausführung von Addi tionen in einem gegebenen Gleitpunkt-Zahlensystem F.431 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 433 Literaturverzeichnis 435 Index 441 |
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