Algebra: Gruppen - Ringe - Körper
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Springer Spektrum
[2021]
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| Ausgabe: | 5. Auflage |
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XXVI, 497 Seiten |
| ISBN: | 9783662619513 |
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Inhaltsverzeichnis Teil I Gruppen 1 Halbgruppen. 1.1 Definitionen. 1.2 Unterhalbgruppen. 1.3 Invertierbare Elemente. 1.4 Allgemeines Assoziativ-und Kommutativgesetz. 1.5 Potenzen und Vielfache. 1.6 Homomorphismen, Isomorphismen. 1.7 Direkte Produkte. Aufgaben. 3 3 7 7 9 10 11 14 15 2 Gruppen. 2.1 Eigenschaften und Beispiele von Gruppen. 2.2 Untergruppen. 2.3 Homomorphismen. Aufgaben. 17 17 22 26 30 3
Untergruppen. 3.1 Erzeugendensysteme. Elementordnungen . 3.2 Nebenklassen. 3.3 Der Satz von Lagrange. Aufgaben. 33 33 40 42 47 4 Normalteiler und Faktorgruppen. 4.1 Normalteiler. 4.2 Normalisatoren. 4.3 Faktorgruppen. 4.4 Der Homomorphiesatz. 4.5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe *. 4.6 Isomorphiesätze. Aufgaben. 49 49 52 54 59 61 62 66 XXI
XXII Inhaltsverzeichnis 5 Zyklische Gruppen. 5.1 Der Untergruppenverband zyklischer Gruppen. 5.2 Klassifikation der zyklischen Gruppen. 5.3 Anwendungen in der Zahlentheorie. 5.4 Die Automorphismengruppen zyklischer Gruppen *. Aufgaben. 69 69 71 72 79 80 6 Direkte und semidirekte Produkte. 6.1 Äußere direkte Produkte. 6.2 Innere direkte Produkte. 6.3 Anwendung in der Zahlentheorie. 6.4 Semidirekte Produkte. Aufgaben. 83 83 84 88 95 101 7 Gruppenoperationen. 7.1 Bahnen und Stabilisatoren. 7.2 Der Fixpunktsatz. 7.3 Die
Klassengleichung. Aufgaben. 103 103 109 110 113 8 Die Sätze von Sylow. 8.1 Der erste Satz von Sylow. 8.2 Der zweite Satz von Sylow. 8.3 Gruppen kleiner Ordnung. 8.4 Einfache Gruppen. Aufgaben. 115 115 119 122 125 128 9 Symmetrische und alternierende Gruppen. 9.1 Kanonische Zerlegung in Zyklen. 9.2 Alternierende Gruppen. 9.3 Zur Einfachheit der alternierenden Gruppen. Aufgaben. 131 131 136 138 140 10 Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen. 10.1 Der
Hauptsatz. 10.2 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen. 10.3 Die zweiteVersion des Hauptsatzes *. Aufgaben. 143 143 146 148 149 11 Auflösbare Gruppen. 11.1 Normalreihen und Kompositionsreihen. 11.2 Kommutatorgruppen. 11.3 Auflösbare Gruppen. 151 151 156 159
Inhaltsverzeichnis 12 _ XXIII 11.4 Untergruppen, Faktorgruppen und Produkte auflösbarer Gruppen. 11.5 Klassen auflösbarer Gruppen. Aufgaben. 160 162 163 Freie Gruppen *. 12.1 Existenz und Eindeutigkeit freier Gruppen. 12.2 Definierende Relationen. 12.3 Beispiele. Aufgaben. 165 166 175 178 179 Teil II Ringe 13 Grundbegriffe der Ringtheorie. 13.1 Definition und Beispiele. 13.2 Teilringe. 13.3 Die Einheitengruppe. 13.4 Homomorphismen. 13.5 Integritätsbereiche. 13.6 Charakteristik eines Ringes mit
1. 13.7 Körper und Schiefkörper. 13.8 Quotientenkörper. Aufgaben. 183 183 186 187 188 190 191 193 194 197 14 Polynomringe. 14.1 Motivation. 14.2 Konstruktion des Ringes R[Nq]. 14.3 Polynome in einer Unbestimmten. 14.4 Prime Restklassengruppen *. 14.5 Polynome in mehreren Unbestimmten. Aufgaben. 201 202 202 204 214 216 219 15 Ideale. 15.1 Definitionen und Beispiele. 15.2 Erzeugung von Idealen. 15.3 Einfache
Ringe. 15.4 Idealoperationen. 15.5 Faktorringe. 15.6 Isomorphiesätze. 15.7 Primideale. 15.8 Maximale Ideale. Aufgaben. 221 221 223 225 227 228 230 231 233 236
XXIV Inhaltsverzeichnis 16 Teilbarkeit in Integritätsbereichen. 16.1 Teilbarkeit. 16.2 Idealtheoretische Interpretation. Aufgaben. 241 241 246 247 17 Faktorielle Ringe. 17.1 Kennzeichnungen faktorieller Ringe. 17.2 Der nichtfaktorielle Ring Z[a/=5] *. Aufgaben. 249 249 253 255 18 Hauptidealringe. Euklidische Ringe. 18.1 Hauptidealringe. 18.2 Euklidische Ringe. 18.3 Der euklidische Ring Z[i] *. 18.4 Weitere Ringe der Form Z[V¿/] *. Aufgaben. 257 257 260 263 265 269 19 Zerlegbarkeit in Polynomringen und
noethersche Ringe. 19.1 Der Satz von Gauß. 19.2 Irreduzibilität. 19.3 Noethersche Ringe *. Aufgaben. 273 273 278 286 289 Teil ІП Körper 20 Grundlagen der Körpertheorie. 20.1 Körpererweiterungen. 20.2 Ring-und Körperadjunktion . 20.3 Algebraische Elemente. Minimalpolynome. Aufgaben. 295 295 301 303 305 21 Einfache und algebraische Körpererweiterungen. 21.1 Einfache Körpererweiterungen. 21.2 Fortsetzung von Isomorphismen auf einfache Erweiterungen. 21.3 Algebraische Körpererweiterungen. Aufgaben. 309 309 312 314 318 22 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
*. 22.1 Konstruierbarkeit. 22.2 Die drei klassischen Probleme. Aufgaben. 321 321 328 330 23 Transzendente Körpererweiterungen *. 23.1 Transzendenzbasen. 23.2 Der Transzendenzgrad . Aufgaben. 331 331 335 336
Inhaltsverzeichnis 24 Algebraischer Abschluss. Zerfällungskörper. 24.1 Der algebraische Abschluss eines Körpers. 24.2 Zerfällungskörper. 24.3 Normale Körpererweiterungen. Aufgaben. 337 338 344 349 351 25 Separable Körpererweiterungen. 25.1 Ableitung. Mehrfache Wurzeln. 25.2 Separabilität. 25.3 Vollkommene Körper. 25.4 Der Satz vom primitiven Element. 25.5 Der separable Abschluss. Aufgaben. 355 355 358 360 361 364 368 26 Endliche Körper. 26.1 Existenz und Eindeutigkeit. 26.2 Der Verband der
Teilkörper. 26.3 Automorphismen. Aufgaben. 371 371 374 376 376 27 Die Galoiskorrespondenz. 27.1 K-Automorphismen. 27.2 Die allgemeine Galoiskorrespondenz. 27.3 Algebraische Galoiserweiterungen. 27.4 Hauptsatz der endlichen Galoistheorie. 27.5 Ergänzungen. Aufgaben. 379 380 383 388 390 393 396 28 Der Zwischenkörperverband einer Galoiserweiterung *. 28.1 NormundSpur. 28.2 Hinweise zur Ermittlung des Fixkörpers ΤΑΔ). 28.3 Hinweise zur Ermittlung von Г = V(L/K). 28.4 Beispiele. 28.5 Die Galoisgruppe eines
Polynoms. Aufgaben. 399 399 400 402 403 405 409 29 Kreisteilungskörper. 29.1 Einheitswurzeln. Kreisteilungskörper. 29.2 Kreisteilungspolynome. 29.3 Die Galoisgruppe von Kn¡K. 29.4 Konstruktion regulärer Vielecke *. Aufgaben. 413 414 416 421 423 427
XXVI Inhaltsverzeichnis 30 Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale. 429 30.1 Zyklische Körpererweiterungen. 430 30.2 Auflösbarkeit. 434 30.3 Das Auflösbarkeitskriterium. 435 Aufgaben. 439 31 Die allgemeine Gleichung. 31.1 Symmetrische Funktionen. 31.2 Das allgemeine Polynom. 31.3 Die Diskriminante eines Polynoms *. 31.4 Die allgemeine Gleichung vom Grad 3 *. 31.5 Die allgemeine Gleichung vom Grad 4 *. Aufgaben. 441 441 444 447 449 452 454 Teil IV Moduln Moduln*. 32.1 Links- und Rechtsmoduln. 32.2
Untermoduln. 32.3 Direkte Produkte und direkte Summen von Moduln. 32.4 Faktormoduln. 32.5 Freie Moduln. 32.6 Moduln über Hauptidealringen. Aufgaben. 457 457 460 461 462 466 470 478 Hilfsmittel. 481 Literatur. 489 Stichwortverzeichnis 491 32 |
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Inhaltsverzeichnis Teil I Gruppen 1 Halbgruppen. 1.1 Definitionen. 1.2 Unterhalbgruppen. 1.3 Invertierbare Elemente. 1.4 Allgemeines Assoziativ-und Kommutativgesetz. 1.5 Potenzen und Vielfache. 1.6 Homomorphismen, Isomorphismen. 1.7 Direkte Produkte. Aufgaben. 3 3 7 7 9 10 11 14 15 2 Gruppen. 2.1 Eigenschaften und Beispiele von Gruppen. 2.2 Untergruppen. 2.3 Homomorphismen. Aufgaben. 17 17 22 26 30 3
Untergruppen. 3.1 Erzeugendensysteme. Elementordnungen . 3.2 Nebenklassen. 3.3 Der Satz von Lagrange. Aufgaben. 33 33 40 42 47 4 Normalteiler und Faktorgruppen. 4.1 Normalteiler. 4.2 Normalisatoren. 4.3 Faktorgruppen. 4.4 Der Homomorphiesatz. 4.5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe *. 4.6 Isomorphiesätze. Aufgaben. 49 49 52 54 59 61 62 66 XXI
XXII Inhaltsverzeichnis 5 Zyklische Gruppen. 5.1 Der Untergruppenverband zyklischer Gruppen. 5.2 Klassifikation der zyklischen Gruppen. 5.3 Anwendungen in der Zahlentheorie. 5.4 Die Automorphismengruppen zyklischer Gruppen *. Aufgaben. 69 69 71 72 79 80 6 Direkte und semidirekte Produkte. 6.1 Äußere direkte Produkte. 6.2 Innere direkte Produkte. 6.3 Anwendung in der Zahlentheorie. 6.4 Semidirekte Produkte. Aufgaben. 83 83 84 88 95 101 7 Gruppenoperationen. 7.1 Bahnen und Stabilisatoren. 7.2 Der Fixpunktsatz. 7.3 Die
Klassengleichung. Aufgaben. 103 103 109 110 113 8 Die Sätze von Sylow. 8.1 Der erste Satz von Sylow. 8.2 Der zweite Satz von Sylow. 8.3 Gruppen kleiner Ordnung. 8.4 Einfache Gruppen. Aufgaben. 115 115 119 122 125 128 9 Symmetrische und alternierende Gruppen. 9.1 Kanonische Zerlegung in Zyklen. 9.2 Alternierende Gruppen. 9.3 Zur Einfachheit der alternierenden Gruppen. Aufgaben. 131 131 136 138 140 10 Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen. 10.1 Der
Hauptsatz. 10.2 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen. 10.3 Die zweiteVersion des Hauptsatzes *. Aufgaben. 143 143 146 148 149 11 Auflösbare Gruppen. 11.1 Normalreihen und Kompositionsreihen. 11.2 Kommutatorgruppen. 11.3 Auflösbare Gruppen. 151 151 156 159
Inhaltsverzeichnis 12 _ XXIII 11.4 Untergruppen, Faktorgruppen und Produkte auflösbarer Gruppen. 11.5 Klassen auflösbarer Gruppen. Aufgaben. 160 162 163 Freie Gruppen *. 12.1 Existenz und Eindeutigkeit freier Gruppen. 12.2 Definierende Relationen. 12.3 Beispiele. Aufgaben. 165 166 175 178 179 Teil II Ringe 13 Grundbegriffe der Ringtheorie. 13.1 Definition und Beispiele. 13.2 Teilringe. 13.3 Die Einheitengruppe. 13.4 Homomorphismen. 13.5 Integritätsbereiche. 13.6 Charakteristik eines Ringes mit
1. 13.7 Körper und Schiefkörper. 13.8 Quotientenkörper. Aufgaben. 183 183 186 187 188 190 191 193 194 197 14 Polynomringe. 14.1 Motivation. 14.2 Konstruktion des Ringes R[Nq]. 14.3 Polynome in einer Unbestimmten. 14.4 Prime Restklassengruppen *. 14.5 Polynome in mehreren Unbestimmten. Aufgaben. 201 202 202 204 214 216 219 15 Ideale. 15.1 Definitionen und Beispiele. 15.2 Erzeugung von Idealen. 15.3 Einfache
Ringe. 15.4 Idealoperationen. 15.5 Faktorringe. 15.6 Isomorphiesätze. 15.7 Primideale. 15.8 Maximale Ideale. Aufgaben. 221 221 223 225 227 228 230 231 233 236
XXIV Inhaltsverzeichnis 16 Teilbarkeit in Integritätsbereichen. 16.1 Teilbarkeit. 16.2 Idealtheoretische Interpretation. Aufgaben. 241 241 246 247 17 Faktorielle Ringe. 17.1 Kennzeichnungen faktorieller Ringe. 17.2 Der nichtfaktorielle Ring Z[a/=5] *. Aufgaben. 249 249 253 255 18 Hauptidealringe. Euklidische Ringe. 18.1 Hauptidealringe. 18.2 Euklidische Ringe. 18.3 Der euklidische Ring Z[i] *. 18.4 Weitere Ringe der Form Z[V¿/] *. Aufgaben. 257 257 260 263 265 269 19 Zerlegbarkeit in Polynomringen und
noethersche Ringe. 19.1 Der Satz von Gauß. 19.2 Irreduzibilität. 19.3 Noethersche Ringe *. Aufgaben. 273 273 278 286 289 Teil ІП Körper 20 Grundlagen der Körpertheorie. 20.1 Körpererweiterungen. 20.2 Ring-und Körperadjunktion . 20.3 Algebraische Elemente. Minimalpolynome. Aufgaben. 295 295 301 303 305 21 Einfache und algebraische Körpererweiterungen. 21.1 Einfache Körpererweiterungen. 21.2 Fortsetzung von Isomorphismen auf einfache Erweiterungen. 21.3 Algebraische Körpererweiterungen. Aufgaben. 309 309 312 314 318 22 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
*. 22.1 Konstruierbarkeit. 22.2 Die drei klassischen Probleme. Aufgaben. 321 321 328 330 23 Transzendente Körpererweiterungen *. 23.1 Transzendenzbasen. 23.2 Der Transzendenzgrad . Aufgaben. 331 331 335 336
Inhaltsverzeichnis 24 Algebraischer Abschluss. Zerfällungskörper. 24.1 Der algebraische Abschluss eines Körpers. 24.2 Zerfällungskörper. 24.3 Normale Körpererweiterungen. Aufgaben. 337 338 344 349 351 25 Separable Körpererweiterungen. 25.1 Ableitung. Mehrfache Wurzeln. 25.2 Separabilität. 25.3 Vollkommene Körper. 25.4 Der Satz vom primitiven Element. 25.5 Der separable Abschluss. Aufgaben. 355 355 358 360 361 364 368 26 Endliche Körper. 26.1 Existenz und Eindeutigkeit. 26.2 Der Verband der
Teilkörper. 26.3 Automorphismen. Aufgaben. 371 371 374 376 376 27 Die Galoiskorrespondenz. 27.1 K-Automorphismen. 27.2 Die allgemeine Galoiskorrespondenz. 27.3 Algebraische Galoiserweiterungen. 27.4 Hauptsatz der endlichen Galoistheorie. 27.5 Ergänzungen. Aufgaben. 379 380 383 388 390 393 396 28 Der Zwischenkörperverband einer Galoiserweiterung *. 28.1 NormundSpur. 28.2 Hinweise zur Ermittlung des Fixkörpers ΤΑΔ). 28.3 Hinweise zur Ermittlung von Г = V(L/K). 28.4 Beispiele. 28.5 Die Galoisgruppe eines
Polynoms. Aufgaben. 399 399 400 402 403 405 409 29 Kreisteilungskörper. 29.1 Einheitswurzeln. Kreisteilungskörper. 29.2 Kreisteilungspolynome. 29.3 Die Galoisgruppe von Kn¡K. 29.4 Konstruktion regulärer Vielecke *. Aufgaben. 413 414 416 421 423 427
XXVI Inhaltsverzeichnis 30 Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale. 429 30.1 Zyklische Körpererweiterungen. 430 30.2 Auflösbarkeit. 434 30.3 Das Auflösbarkeitskriterium. 435 Aufgaben. 439 31 Die allgemeine Gleichung. 31.1 Symmetrische Funktionen. 31.2 Das allgemeine Polynom. 31.3 Die Diskriminante eines Polynoms *. 31.4 Die allgemeine Gleichung vom Grad 3 *. 31.5 Die allgemeine Gleichung vom Grad 4 *. Aufgaben. 441 441 444 447 449 452 454 Teil IV Moduln Moduln*. 32.1 Links- und Rechtsmoduln. 32.2
Untermoduln. 32.3 Direkte Produkte und direkte Summen von Moduln. 32.4 Faktormoduln. 32.5 Freie Moduln. 32.6 Moduln über Hauptidealringen. Aufgaben. 457 457 460 461 462 466 470 478 Hilfsmittel. 481 Literatur. 489 Stichwortverzeichnis 491 32 |
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