Übungsbuch zur Analysis:
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| Veröffentlicht: |
Berlin
Springer Spektrum
[2021]
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| Schriftenreihe: | Lehrbuch
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| Beschreibung: | 283 Seiten Illustrationen, Diagramme 24 cm x 16.8 cm |
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Inhaltsverzeichnis I Aufgaben 1 Grundlagen 1.1 Aussagen. 1.2 Mengen. 1.3 Abbildungen. 1.4 Vollständige Induktion. 13 13 14 15 16 2 Die reellen Zahlen 2.1 Körper. 2.2 Anordnung . 2.3 Intervalle und beschränkte Mengen . 2.4 Dedekind-Vollständigkeit. 21 21 22 23 24 3 Folgen und Reihen 3.1 Konvergenz. 3.2 Reihen. 27 27 32 4 Funktionen und Stetigkeit 4.1 Stetige Funktionen. 4.2 Monotone Funktionen. 4.3 Die Exponentialfunktion . 4.4 Anwendungen. 4.5 Komplexe Zahlen. 35 35 38 39 40 41 5 Differentialrechnung 5.1 Differenzierbarkeit. 5.2 Lokale
Extrema, Mittelwertsatz. 5.3 Die Regeln von de l’Hospital . 43 43 44 47 6 Integralrechnung 6.1 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. 6.2 Uneigentliche Integrale. 49 49 50 7 Funktionenfolgen 53 7
8 INHALTSVERZEICHNIS 7.1 Gleichmäßige Konvergenz. 7.2 Potenzreihen. 7.3 Fourier-Reihen. 53 55 56 8 Metrische Räume 8.1 Metrik und Vollständigkeit . 8.2 Metrische Topologie . 8.3 Stetigkeit. 8.4 Zusammenhang. 8.5 Kompaktheit. 8.6 Normierte Vektorräume. 59 59 60 62 63 64 66 9 Mehrdimensionale Differentialrechnung 9.1 Partielle Ableitungen. 9.2 Totale Differenzierbarkeit. 9.3 Kurven. 9.4 Taylor-Formel und lokale Extrema. 9.5 Lokale Umkehrfunktionen. 69 69 69 70 71 72 10 Mehrdimensionale Integralrechnung 10.1 Parameterabhängige Integrale. 10.2 Stetige Funktionen mit kompakten Trägern. 10.3 Die Transformationsformel . 73 73 74 75 11 Gewöhnliche Differentialgleichungen 11.1
Existenz und Eindeutigkeit . 11.2 Lineare Differentialgleichungen. 11.3 Trennung der Variablen . 79 79 82 83 12 Allgemeine Topologie 12.1 Abstrakte Topologie . 12.2 Stetigkeit. 12.3 Kompaktheit und das Lemma von Urysohn. 12.4 Erzeuger. 12.5 Der Satz von Stone-Weierstraß . 12.6 Die Sätze von Baire und Tietze . 12.7 Netze. 85 85 86 86 88 88 89 89 13 Maßtheorie 13.1 Sigma-Algebren. 13.2 Messbare Abbildungen. 13.3 Maße. 13.4 Das Lebesgue-Maß. 91 91 94 95 97
1NHALTSVERZEICHNIS 9 14 Integration 101 14.1 Integrierbarkeit und Konvergenzsätze. 101 14.2 Parameter und Riemann-Integrale. 104 14.3 Der Rieszsche Darstellungssatz. 105 15 Räume integrierbarer Funktionen 107 15.1 Hilbert-Räume. 107 15.2 Vollständigkeit. 109 15.3 Der Satz von Lebesgue-Radon-Nikodym . HO 16 Produktintegral 113 16.1 Produktmaße . 113 16.2 Der Satz von Fubini.114 17 Differentialformen 117 17.1 Mannigfaltigkeiten . 117 17.2 Derivationen.118 17.3 Vektorfelder. 118 17.4 Multilineare Algebra und Differentialformen. 119 18 Der Satz von Stokes 123 18.1 Orientierung. 123 18.2 Integration. 124 18.3 Der Fixpunktsatz von Brouwer. 124 19
Holomorphe Funktionen 127 19.1 Komplexe Differenzierbarkeit. 127 19.2 Potenzreihen. 128 19.3 Wegintegrale. ■ 129 19.4 Der Satz von Cauchy.129 19.5 Homotopie. 130 19.6 Cauchys Integralformel . 131 19.7 Potenzreihen-Entwicklung . 132 19.8 Lokal-gleichmäßige Konvergenz. 133 19.9 Der Residuensatz.135 20 Abbildungssätze 137 20.1 Produkte und Reihen. 137 20.2 Riemanns Abbildungssatz. 140 20.3 Einfacher Zusammenhang. 142
10 INHALTSVERZEICHNIS II Lösungsvorschläge 21 Lösungen zu Kapitel 1 147 22 Lösungen zu Kapitel 2 155 23 Lösungen zu Kapitel 3 159 24 Lösungen zu Kapitel 4 167 25 Lösungen zu Kapitel 5 175 26 Lösungen zu Kapitel 6 179 27 Lösungen zu Kapitel 7 185 28 Lösungen zu Kapitel 8 191 29 Lösungen zu Kapitel 9 201 30 Lösungen zu Kapitel 10 207 31 Lösungen zu Kapitel 11 213 32 Lösungen zu Kapitel 12 221 33 Lösungen zu Kapitel 13 229 34 Lösungen zu Kapitel 14 237 35 Lösungen zu Kapitel 15 243 36 Lösungen zu Kapitel 16 249 37 Lösungen zu Kapitel 17 255 38 Lösungen zu Kapitel 18 259 39 Lösungen zu Kapitel 19 263 40 Lösungen zu Kapitel 20 275 A Statistik 281 |
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