Mathematik mit 2x2-Matrizen: ein Lehrbuch mit Beispielen und Übungsaufgaben
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
München
Hanser
[2021]
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| adam_text | ■ Inhalt Q Matrizen: Grundlagen......................................................................... 11 1.1 Lineare Räume........................................................................................................ 11 1.2 Quadratische Matrizen.......................................................................................... 13 1.2.1 Determinante, Spur und Inverse................................................................ 15 1.2.2 Matrizen und lineare Abbildungen............................................................ 17 1.2.3 Blockmatrizen............................................................................................. 18 1.3 Eigenwerte und Eigenvektoren.............................................................................. 21 1.3.1 Orthogonale Systeme von Eigenvektoren.................................................. 25 1.3.2 Rechte und linke Eigenvektoren................................................................ 26 1.4 Lösungen der Aufgaben......................................................................................... 30 Q Transformationen, Matrixfunktionenund Metrik............................ 37 2.1 Ähnlichkeitstransformation und Singulärwertzerlegung.................................... 37 2.1.1 Transformation auf Diagonalform............................................................. 38 2.1.2 Singulärwertzerlegung............................................................................... 40 2.1.3 Die Jordan-Normalform..............................................................................
42 2.1.4 Die Jordan-Arnold kanonische Form......................................................... 44 2.2 Matrixfunktionen.................................................................................................... 46 2.2.1 Elementare Matrixfunktionen.................................................................... 48 2.2.2 Matrixfunktionen und SN-Zerlegung........................................................ 52 2.2.3 Matrixfunktionen und Jordan-Normalform.............................................. 54 2.3 Metrik und Matrixnorm......................................................................................... 55 2.3.1 Norm, Matrixnorm und Operatornorm..................................................... 56 2.3.2 Koordinatensysteme und ihre Metrik....................................................... 57 2.4 Lösungen der Aufgaben......................................................................................... 61 Q Spezielle Matrizen und Matrixgruppen............................................ 67 3.1 Hermitesche Matrizen............................................................................................ 67 3.1.1 Eigenwerte und Eigenvektoren................................................................... 68 3.1.2 Berry-Phasen................................................................................................ 70 3.2 Komplexe symmetrische Matrizen........................................................................ 72
3.3 Unitäre Matrizen.................................................................................................... 72 3.3.1 Orthogonale Matrizen................................................................................ 74 3.3.2 Eigenwerte und Eigenvektoren................................................................... 76 3.4 Normale Matrizen.................................................................................................. 77 3.5 Symplektische Matrizen......................................................................................... 77 3.5.1 Reelle symplektische Matrizen................................................................... 79 3.5.2 Pseudounitäre Matrizen.............................................................................. 80 3.5.3 Pseudoorthogonale Matrizen..................................................................... 82 3.6 Matrixgruppen........................................................................................................ 83 3.6.1 Matrix-Lie-Gruppen................................................................................... 85 3.6.2 Lie-Gruppen und Lie-Algebren ................................................................. 89 3.6.3 Lie-Algebren................................................................................................ 90 3.7 Positive Matrizen.................................................................................................... 92 3.8 Lösungen der Aufgaben.........................................................................................
93 Q Matrizen als lineare Abbildungen..................................................... 97 4.1 Abbildung durch eine Defektmatrix..................................................................... 98 4.2 Abbildung durch eine invertierbare Matrix.......................................................... 99 4.2.1 Spezielle einfache Abbildungen................................................................. 103 4.2.2 Translationen und affine Abbildungen...................................................... 107 4.2.3 Abbildungen und Singulärwertzerlegung:................................................. 108 4.2.4 Invariante Mengen...................................................................................... 109 4.2.5 Homogene Darstellung............................................................................... HO 4.3 Der Wertebereich.................................................................................................... 111 4.4 Lösungen der Aufgaben......................................................................................... 114 Q| Komplexe Zahlen und Quaternionen............................................... 119 5.1 Komplexe Zahlen.................................................................................................... 120 5.2 Pseudokomplexe Zahlen....................................................................................... 123 5.3 Quaternionen Co.................................................................................................. 126 5.3.1
Quaternionen.............................................................................................. 126 5.3.2 Koquaternionen.......................................................................................... 132 5.3.3 Bikomplexe Zahlen...................................................................................... 134 5.3.4 Biquaternionen........................................................................................... 136 5.3.5 Oktonionen................................................................................................. 138 5.4 Pseudokomplexe und quaternionische Matrizen................................................. 138 5.4.1 Komplexe und pseudokomplexe Matrizen............................................... 138 5.4.2 Quaternionische und koquaternionische Matrizen................................. 140 5.5 Lösungen der Aufgaben......................................................................................... 144
Q Matrix-Algebren und üe-Algebren.................................................. 149 6.1 Algebren.................................................................................................................. 149 6.2 Lie-Algebren............................................................................................................ 151 6.2.1 Die Gruppe SU(2) und die Algebra su{2).................................................. 153 6.2.2 Die Gruppe SU(1,1) und die AlgebrasuQ, 1)........................................... 154 6.2.3 Kanonische Ähnlichkeitstransformationen.............................................. 155 6.2.4 Exponentielle Operatorprodukte............................................................... 156 6.3 Geometrisches Produkt und die Geometrische Algebra...................................... 157 6.3.1 Die geometrische Algebra der Ebene......................................................... 159 6.3.2 Die geometrische Algebra des Raumes...................................................... 161 6.3.3 Die Isometrien des R3................................................................................. 167 6.3.4 Matrixdarstellung der geometrischen Algebra.......................................... 168 6.4 Lösungen der Aufgaben......................................................................................... 170 Q Vermischtes..........................................................................................175 A.l Quadratische Formen............................................................................................ 175 A.2
Das Kronecker-Produkt......................................................................................... 176 A.2.1 Quadratische Matrizen............................................................................... 178 A.2.2 Matrix-Vektor-Transformation................................................................... 179 A.3 Gauß-Integrale....................................................................................................... 180 A.4 Lösungen der Aufgaben........................................................................................ 181 Index 183
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■ Inhalt Q Matrizen: Grundlagen. 11 1.1 Lineare Räume. 11 1.2 Quadratische Matrizen. 13 1.2.1 Determinante, Spur und Inverse. 15 1.2.2 Matrizen und lineare Abbildungen. 17 1.2.3 Blockmatrizen. 18 1.3 Eigenwerte und Eigenvektoren. 21 1.3.1 Orthogonale Systeme von Eigenvektoren. 25 1.3.2 Rechte und linke Eigenvektoren. 26 1.4 Lösungen der Aufgaben. 30 Q Transformationen, Matrixfunktionenund Metrik. 37 2.1 Ähnlichkeitstransformation und Singulärwertzerlegung. 37 2.1.1 Transformation auf Diagonalform. 38 2.1.2 Singulärwertzerlegung. 40 2.1.3 Die Jordan-Normalform.
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93 Q Matrizen als lineare Abbildungen. 97 4.1 Abbildung durch eine Defektmatrix. 98 4.2 Abbildung durch eine invertierbare Matrix. 99 4.2.1 Spezielle einfache Abbildungen. 103 4.2.2 Translationen und affine Abbildungen. 107 4.2.3 Abbildungen und Singulärwertzerlegung:. 108 4.2.4 Invariante Mengen. 109 4.2.5 Homogene Darstellung. HO 4.3 Der Wertebereich. 111 4.4 Lösungen der Aufgaben. 114 Q| Komplexe Zahlen und Quaternionen. 119 5.1 Komplexe Zahlen. 120 5.2 Pseudokomplexe Zahlen. 123 5.3 Quaternionen Co. 126 5.3.1
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Q Matrix-Algebren und üe-Algebren. 149 6.1 Algebren. 149 6.2 Lie-Algebren. 151 6.2.1 Die Gruppe SU(2) und die Algebra su{2). 153 6.2.2 Die Gruppe SU(1,1) und die AlgebrasuQ, 1). 154 6.2.3 Kanonische Ähnlichkeitstransformationen. 155 6.2.4 Exponentielle Operatorprodukte. 156 6.3 Geometrisches Produkt und die Geometrische Algebra. 157 6.3.1 Die geometrische Algebra der Ebene. 159 6.3.2 Die geometrische Algebra des Raumes. 161 6.3.3 Die Isometrien des R3. 167 6.3.4 Matrixdarstellung der geometrischen Algebra. 168 6.4 Lösungen der Aufgaben. 170 Q Vermischtes.175 A.l Quadratische Formen. 175 A.2
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