Laplace-, Fourier- und z-Transformation:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
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Berlin ; Offenbach
VDE VERLAG GMBH
[2021]
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| Ausgabe: | 11., überarbeitete Auflage |
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| adam_text | Inhalt 1 Einführung der Laplace-Transformation................................................. 1 2 Anwendung der Laplace-Transformation auf gewöhnliche Differenzialgleichungen..............................................................................13 2.1 Häufig auftretender Typ von Differenzialgleichungen...............................13 2.2 Differenziationsregel für die Originalfunktion........................................... 17 2.3 Rechnen mit б-Funktionen........................................................................... 22 2.4 Laplace-Transformation einer linearen Differenzialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.......................................................28 2.5 Erinnerung an die Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen............ 31 2.6 Rücktransformation der Partialbrüche mittels Integrations- und Dämpfungsregel der Laplace-Transformation.............................................37 2.7 Lösung einer Differenzialgleichung 3. Ordnung.........................................40 2.8 Sprungantwort einer Differenzialgleichung ո-ter Ordnung bei einfachen und von Null verschiedenen Polen.............................................43 2.9 Sprungantwort einer Differenzialgleichung ո-ter Ordnung beim Auftreten mehrfacher Pole........................................................................... 50 2.10 Sprungantwort einer Differenzialgleichung 2. Ordnung.............................51 2.11 Faltungsregel der Laplace-Transformation.................................................58 2.12 Zusammenfassung über die Lösung der
Differenzialgleichung n-ter Ordnung..........................................................................................................65 2.13 Grenzwertsätze der Laplace-Transformation und ihre Anwendung auf Differenzialgleichungen......................................................................... 67 2.13.1 Endwertsatz............................................................ 67 2.13.2 Anfangswertsatz........................................................................................... 69 2.14 Systeme von Differenzialgleichungen................ 71 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Lösung von Differenzengleichungen mit der LaplaceTransformation ........................................................................................... 77 Auftreten und Form von Differenzengleichungen.......................................77 Verschiebungsregeln der Laplace-Transformation.....................................80 Lösung einer Differenzengleichung 1. Ordnung mit Vorgeschichte........ 83 Rücktransformation einer rationalen Funktion von e TS.............................84 Lösung der allgemeinen Differenzengleichung ohne Vorgeschichte .... 86
XII 4 4.1 4.2 Inhalt Lösung von Differenzendifferenzialgleichungen mit der LaplaceTransformation........................................................................................... 93 Auftreten von Differenzendifferenzialgleichungen: Totzeitsysteme ... .93 Bestimmung der Ausgangsgröße eines Totzeitsystems durch Laplace-Transformation.................................................................................98 5 Zusammenstellung von Rechenregeln und Korrespondenzen der Laplace-Transformation ..................................................................103 6 Laplace-Transformation und Übertragungsverhalten dynamischer Systeme...............................................................................109 Allgemeiner Begriff des Übertragungsglieds............................................ 109 Übertragungsfunktion................................................................................. 111 Gewichtsfunktion (Impulsantwort)........................................................... 113 Charakterisierung der Übertragungsglieder mit Y(s) = G(s)U(s)..........116 Frequenzgang..............................................................................................125 Zwei Aspekte der Laplace-Transformation.............................................. 131 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 7 7.1 7.2 7.3 7.4 Etwas Funktionentheorie........................................................................ 133 Laurententwicklung. ................... 133 Residuum und Residuensatz................................ 138 Laurententwicklung und
Partialbruchzerlegung........................................ 143 Zwei Beispiele zur Partialbruchentwicklung einer meromorphen Funktion...................................................................................................... 146 8 8.1 8.2 8.3 8.4 Komplexe Umkehrformel der Laplace-Transformation .................. 151 Herleitung der komplexen Umkehrformel.................................................. 151 Herleitung der Multiplikationsregel für Zeitfunktionen........................... 157 Berechnung des Umkehrintegrals mittels des Residuensatzes................ 158 Berechnung der Originalfunktion zu e~z^*...............................................163 9 Anwendung der Laplace-Transformation auf partielle Differenzialgleichungen .......................................................................... 171 Prinzipielles Vorgehen.................................................................................. 171 Lösung der Wärmeleitungsgleichung unter alleiniger Einwirkung der Randbedingungen.................................................................................177 Spezialfall: Randwertproblem beim einseitig begrenzten Wärmeleiter.................................................................................................. 180 Eine andere Darstellung der Gewichtsfunktion........................................ 183 Lösung der Wärmeleitungsgleichung unter alleiniger Einwirkung der Quellenfunktion. ....................................................................................185 Lösung der Wärmeleitungsgleichung unter alleiniger Einwirkung
der Anfangsbedingung und allgemeine Lösung........................................ 191 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6
Inhalt XIII 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 Zweiseitige Laplace-Transformation und Fourier-Transformation 193 Zweiseitige Laplace-Transformation.........................................................193 Definition der Fourier-Transformation.......................................................196 Eigenschaften der Fourier-Transformation..............................................205 Rechenregeln der Fourier-Transformation................................................209 Korrespondenzen der Fourier-Transformation..........................................215 Tabellen zur Fourier-Transformation........................................................ 223 11 Fourier-Transformation von Funktionen endlicher Breite und Abtasttheoreme................................................................................ 231 Komplexe Darstellung der Fourierreihe einer periodischen Funktion ..231 Reihenentwicklung einer Zeitfunktion mit endlicher Bandbreite......... 234 Reihenentwicklung einer Spektraldichte zu einer Zeitfunktion von endlicher Dauer.................................................................................. 237 11.1 11.2 11.3 12 Fourier-Transformation kausaler Funktionen und HilbertTransformation .........................................................................................239 13 13.1 z-Transformation .....................................................................................247 Definition der z-Transformation und ihr Zusammenhang mit der Laplace-Transformation..............................................................................
247 Einige Beispiele........................................................................................... 253 Durchführbarkeit der z-Transformation.................................................... 256 Dämpfungsregel und Differenziationsregel für die Bildfunktion............258 Anwendung der Dämpfungsregel und der Differenziationsregel für die Bildfunktion: z-Transformation rationaler Funktionen von s............262 Ein allgemeiner Zusammenhang zwischen F(s) und Fz(z) .................... 266 Verschiebungsregeln der z-Transformation..............................................268 Anwendung der Verschiebungsregeln der z-Transformation auf Differenzengleichungen für Zahlenfolgen................................................ 270 Rücktransformation einer rationalen Funktion Gz(z) .............................273 Die Faltungsregel der z-Transformation.................................................. 276 Grenzwertsätze der z-Transformation...................................................... 280 Rücktransformation (Umkehrung der z-Transformation)........................ 282 Anwendung der z-Transformation auf dynamische Systeme..................289 Zusammenstellung von Rechenregeln und Korrespondenzen der z-Transformation.........................................................................................299 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 13.10 13.11 13.12 13.13 13.14 Übungsaufgaben....................................................................................................303 Lösungen der
Übungsaufgaben..........................................................................327 Literaturverzeichnis............................................................................................. 413 SachWörterverzeichnis.........................................................................................417
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Inhalt 1 Einführung der Laplace-Transformation. 1 2 Anwendung der Laplace-Transformation auf gewöhnliche Differenzialgleichungen.13 2.1 Häufig auftretender Typ von Differenzialgleichungen.13 2.2 Differenziationsregel für die Originalfunktion. 17 2.3 Rechnen mit б-Funktionen. 22 2.4 Laplace-Transformation einer linearen Differenzialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.28 2.5 Erinnerung an die Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen. 31 2.6 Rücktransformation der Partialbrüche mittels Integrations- und Dämpfungsregel der Laplace-Transformation.37 2.7 Lösung einer Differenzialgleichung 3. Ordnung.40 2.8 Sprungantwort einer Differenzialgleichung ո-ter Ordnung bei einfachen und von Null verschiedenen Polen.43 2.9 Sprungantwort einer Differenzialgleichung ո-ter Ordnung beim Auftreten mehrfacher Pole. 50 2.10 Sprungantwort einer Differenzialgleichung 2. Ordnung.51 2.11 Faltungsregel der Laplace-Transformation.58 2.12 Zusammenfassung über die Lösung der
Differenzialgleichung n-ter Ordnung.65 2.13 Grenzwertsätze der Laplace-Transformation und ihre Anwendung auf Differenzialgleichungen. 67 2.13.1 Endwertsatz. 67 2.13.2 Anfangswertsatz. 69 2.14 Systeme von Differenzialgleichungen. 71 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Lösung von Differenzengleichungen mit der LaplaceTransformation . 77 Auftreten und Form von Differenzengleichungen.77 Verschiebungsregeln der Laplace-Transformation.80 Lösung einer Differenzengleichung 1. Ordnung mit Vorgeschichte. 83 Rücktransformation einer rationalen Funktion von e TS.84 Lösung der allgemeinen Differenzengleichung ohne Vorgeschichte . 86
XII 4 4.1 4.2 Inhalt Lösung von Differenzendifferenzialgleichungen mit der LaplaceTransformation. 93 Auftreten von Differenzendifferenzialgleichungen: Totzeitsysteme . .93 Bestimmung der Ausgangsgröße eines Totzeitsystems durch Laplace-Transformation.98 5 Zusammenstellung von Rechenregeln und Korrespondenzen der Laplace-Transformation .103 6 Laplace-Transformation und Übertragungsverhalten dynamischer Systeme.109 Allgemeiner Begriff des Übertragungsglieds. 109 Übertragungsfunktion. 111 Gewichtsfunktion (Impulsantwort). 113 Charakterisierung der Übertragungsglieder mit Y(s) = G(s)U(s).116 Frequenzgang.125 Zwei Aspekte der Laplace-Transformation. 131 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 7 7.1 7.2 7.3 7.4 Etwas Funktionentheorie. 133 Laurententwicklung. . 133 Residuum und Residuensatz. 138 Laurententwicklung und
Partialbruchzerlegung. 143 Zwei Beispiele zur Partialbruchentwicklung einer meromorphen Funktion. 146 8 8.1 8.2 8.3 8.4 Komplexe Umkehrformel der Laplace-Transformation . 151 Herleitung der komplexen Umkehrformel. 151 Herleitung der Multiplikationsregel für Zeitfunktionen. 157 Berechnung des Umkehrintegrals mittels des Residuensatzes. 158 Berechnung der Originalfunktion zu e~z^*.163 9 Anwendung der Laplace-Transformation auf partielle Differenzialgleichungen . 171 Prinzipielles Vorgehen. 171 Lösung der Wärmeleitungsgleichung unter alleiniger Einwirkung der Randbedingungen.177 Spezialfall: Randwertproblem beim einseitig begrenzten Wärmeleiter. 180 Eine andere Darstellung der Gewichtsfunktion. 183 Lösung der Wärmeleitungsgleichung unter alleiniger Einwirkung der Quellenfunktion. .185 Lösung der Wärmeleitungsgleichung unter alleiniger Einwirkung
der Anfangsbedingung und allgemeine Lösung. 191 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6
Inhalt XIII 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 Zweiseitige Laplace-Transformation und Fourier-Transformation 193 Zweiseitige Laplace-Transformation.193 Definition der Fourier-Transformation.196 Eigenschaften der Fourier-Transformation.205 Rechenregeln der Fourier-Transformation.209 Korrespondenzen der Fourier-Transformation.215 Tabellen zur Fourier-Transformation. 223 11 Fourier-Transformation von Funktionen endlicher Breite und Abtasttheoreme. 231 Komplexe Darstellung der Fourierreihe einer periodischen Funktion .231 Reihenentwicklung einer Zeitfunktion mit endlicher Bandbreite. 234 Reihenentwicklung einer Spektraldichte zu einer Zeitfunktion von endlicher Dauer. 237 11.1 11.2 11.3 12 Fourier-Transformation kausaler Funktionen und HilbertTransformation .239 13 13.1 z-Transformation .247 Definition der z-Transformation und ihr Zusammenhang mit der Laplace-Transformation.
247 Einige Beispiele. 253 Durchführbarkeit der z-Transformation. 256 Dämpfungsregel und Differenziationsregel für die Bildfunktion.258 Anwendung der Dämpfungsregel und der Differenziationsregel für die Bildfunktion: z-Transformation rationaler Funktionen von s.262 Ein allgemeiner Zusammenhang zwischen F(s) und Fz(z) . 266 Verschiebungsregeln der z-Transformation.268 Anwendung der Verschiebungsregeln der z-Transformation auf Differenzengleichungen für Zahlenfolgen. 270 Rücktransformation einer rationalen Funktion Gz(z) .273 Die Faltungsregel der z-Transformation. 276 Grenzwertsätze der z-Transformation. 280 Rücktransformation (Umkehrung der z-Transformation). 282 Anwendung der z-Transformation auf dynamische Systeme.289 Zusammenstellung von Rechenregeln und Korrespondenzen der z-Transformation.299 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 13.10 13.11 13.12 13.13 13.14 Übungsaufgaben.303 Lösungen der
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