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Algebra: für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Hauptverfasser:	Wüstholz, Gisbert 1948- (VerfasserIn), Fuchs, Clemens 1976- (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	German
Veröffentlicht:	Wiesbaden Springer Spektrum [2020]
Ausgabe:	3., überarbeitete und ergänzte Auflage
Schriftenreihe:	Springer Studium Mathematik - Bachelor Lehrbuch
Schlagworte:	Studium Algebra Sylow abelsche Gruppen Körper Tensor-Produkte Gruppen Algebren und Moduln Ringe Legendre-Symbol Jordan-Hölder Galoistheorie Lehrbuch
Online-Zugang:	Inhaltsverzeichnis
Beschreibung:	xvi, 312 Seiten Illustrationen 24 cm x 16.8 cm
ISBN:	9783658312633 3658312637

Internformat

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Datensatz im Suchindex

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adam_text	INHALT PROLOG DIE ENTSTEHUNG DER ALGEBRA .......................................................................... 1 DAS ERBE DER GRIECHEN .......................................................................................... 1 DIE RENAISSANCE IN ITALIEN ..................................................................................... 2 AUF DEM WEG ZUR MODERNEN ALGEBRA ................................................................. 2 SYMMETRIEN ........................................................................................................ 3 TRANSFORMATIONEN .................................................................................................... 3 AFFINE UND EUKLIDISCHE RAEUME .............................................................................. 3 DIE BEWEGUNGSGRUPPE IN DER EUKLIDISCHEN EBENE ............................................ 5 SYMMETRIE VON OBJEKTEN ...................................................................................... 6 UEBER DAS LOESEN VON GLEICHUNGEN ................................................................ 9 LINEARE GLEICHUNGEN .............................................................................................. 9 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN ..................................................................................... 9 KUBISCHE GLEICHUNGEN ............................................................................................ 9 QUARTISCHC GLEICHUNGEN ....................................................................................... 10 SPEZIELLE GLEICHUNGEN HOEHEREN GRADES ............................................................. 12 TEIL I GRUPPEN 1 GRUPPEN ........................................................................................................ 13 1.1 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE .................................................................................. 13 1.2 UNTERGRUPPEN UND HOMOMORPHISMEN ....................................................... 19 1.3 DIREKTE PRODUKTE UND SUMMEN ................................................................. 22 1.4 NORMALTEILER UND FAKTORGRUPPEN ............................................................... 23 1.5 ZYKLISCHE GRUPPEN ........................................................................................ 27 1.6 AKTIONEN .......................................................................................................... 28 1.7 ANHANG: DER EUKLIDISCHE ALGORITHMUS ...................................................... 35 UEBUNGSAUFGABEN ................................................................................................... 37 2 DIE SAETZE VON SYLOW ................................................................................. 41 2.1 DIE KLASSENGLEICHUNG .................................................................................... 41 2.2 EXPONENTEN ..................................................................................................... 42 2.3 P-SYLOW-UNTERGRUPPEN ................................................................................. 43 XI UEBUNGSAUFGABEN ................................................................................................... 45 3 DER SATZ VON JORDAN-HOLDER .................................................................. 46 3.1 AUFLOESBARE UND EINFACHE GRUPPEN ............................................................. 46 3.2 VERFEINERUNG VON NORMALREIHEN .................................................................. 48 UEBUNGSAUFGABEN ................................................................................................... 51 4 SYMMETRIE .................................................................................................... 52 4.1 PERMUTATIONSGRUPPEN ................................................................................... 52 4.2 BEISPIELE .......................................................................................................... 55 4.2.1 DIE GRUPPE S^3 ............................................................................... 55 4.2.2 DIE GRUPPE MI ............................................................................... 55 4.2.3 DIE GRUPPE 6^4 ............................................................................... 56 4.2.4 DIE GRUPPE 5^5 ............................................................................... 56 UEBUNGSAUFGABEN ................................................................................................... 57 5 PLATONISCHE KOERPER ................................................................................... 59 5.1 POLYTOPE UND POLYEDER ................................................................................. 59 5.2 DAS TETRAEDER ................................................................................................. 62 5.3 DER WUERFEL UND DAS OKTAEDER .................................................................... 63 5.4 DAS DODEKAEDER UND DAS IKOSAEDER ........................................................... 63 6 UNIVERSELLE KONSTRUKTIONEN ....................................................................65 6.1 PRODUKTE UND KOPRODUKTE VON MENGEN .................................................. 65 6.2 PRODUKTE UND KOPRODUKTE VON GRUPPEN ................................................. 66 6.3 SEMIDIREKTE PRODUKTE ................................................................................... 68 6.4 LIMITES UND KOLIMITES .................................................................................. 72 6.5 FREIE GRUPPEN ................................................................................................ 73 6.6 BEISPIELE .......................................................................................................... 76 UEBUNGSAUFGABEN ................................................................................................... 78 7 ENDLICH ERZEUGTE ABELSCHE GRUPPEN ..................................................... 80 7.1 FREIE ABELSCHE GRUPPEN ............................................................................... 80 7.2 TORSION IN GRUPPEN ...................................................................................... 82 7.3 STRUKTUR ENDLICHER ABELSCHER GRUPPEN ...................................................... 84 UEBUNGSAUFGABEN ................................................................................................... 87 XII TEIL II RINGTHEORIE 8 RINGE ..............................................................................................................88 8.1 GRUNDLAGEN ..................................................................................................... 88 8.2 UNTERRINGE UND HOMOMORPHISMEN ............................................................. 90 8.3 PRODUKTE VON RINGEN ................................................................................... 92 8.4 IDEALE UND FAKTORENRINGE ............................................................................. 93 8.5 IDEALE IN KOMMUTATIVEN RINGEN ................................................................. 96 8.6 DER CHINESISCHE RESTSATZ .............................................................................. 98 UEBUNGSAUFGABEN .................................................................................................. 101 9 LOKALISIERUNG ............................................................................................. 104 9.1 LOKALISIERUNG VON RINGEN .......................................................................... 104 9.2 IDEALE UND LOKALISIERUNG ............................................................................ 106 UEBUNGSAUFGABEN .................................................................................................. 108 10 HAUPTIDEALRINGE UND FAKTORIELLE RINGE ...............................................109 10.1 FAKTORIELLE RINGE ....................................................................................... 109 10.2 EUKLIDISCHE RINGE ...................................................................................... 112 UEBUNGSAUFGABEN ................................................................................................. 113 11 QUADRATISCHE ZAHLRINGE .......................................................................... 114 11.1 ZAHLRINGE ...................................................................................................... 114 11.2 EINHEITEN ..................................................................................................... 115 11.3 DIE PELLSCHE GLEICHUNG .............................................................................. 117 11.4 DER EULER-LAGRANGESCHE SATZ ................................................................... 120 11.5 PRIMELEMENTE IM GAUSSSCHEN ZAHLRING ................................................... 122 UEBUNGSAUFGABEN .................................................................................................. 124 12 POLYNOMRINGE ............................................................................................125 12.1 POLYNOME ..................................................................................................... 125 12.2 POLYNOME IN MEHREREN VARIABLEN ........................................................... 126 12.3 AUSWERTEN VON POLYNOMEN ...................................................................... 128 12.4 POTENZREIHEN ............................................................................................... 129 12.5 DERIVATIONEN ................................................................................................ 130 12.6 SYMMETRISCHE FUNKTIONEN ........................................................................ 132 12.7 RESULTANTE UND DISKRIMINANTE ................................................................ 135 12.8 EINDEUTIGE PRIMFAKTORZERLEGUNG ............................................................. 139 12.9 IRREDUZIBILITAET .............................................................................................. 141 XIII UEBUNGSAUFGABEN .................................................................................................. 144 TEIL III ABRISS DER KOERPERTHEORIE 13 GRUNDLAGEN DER KOERPERTHEORIE ............................................................ 147 13.1 KOERPER UND PRIMKOERPER ............................................................................ 147 13.2 KOERPERERWEITERUNGEN ................................................................................. 148 13.3 ALGEBRAISCHE KOERPERERWEITERUNGEN ........................................................ 150 13.4 ALGEBRAISCH ABGESCHLOSSENE ERWEITERUNGEN .......................................... 152 13.5 KONJUGIERTE ERWEITERUNGEN ...................................................................... 154 UEBUNGSAUFGABEN ................................................................................................. 157 14 THEORIE DER KOERPERERWEITERUNGEN .......................................................158 14.1 SEPARABILITAET ................................................................................................ 158 14.2 INSEPARABILITAET ............................................................................................ 164 14.3 NORMALE ERWEITERUNGEN ............................................................................ 165 UEBUNGSAUFGABEN ................................................................................................. 168 TEIL IV GALOIS-THEORIE 15 DIE GALOIS-KORRESPONDENZ ....................................................................170 15.1 GALOIS-ERWEITERUNGEN ............................................................................... 170 15.2 HAUPTSATZ DER GALOIS-THEORIE ................................................................. 172 15.3 EIN BEISPIEL ................................................................................................ 176 15.4 EIN ZWEITES BEISPIEL ................................................................................... 177 15.5 UNENDLICHE GALOISCRWEITERUNGEN ............................................................. 178 15.6 ANWENDUNGEN DER GALOIS-THEORIE .......................................................... 181 UEBUNGSAUFGABEN ................................................................................................. 184 16 KREISTEILUNGSKOERPER .................................................................................186 16.1 EINHEITSWURZELN .......................................................................................... 186 16.2 IRREDUZIBILITAET DES KREISTEILUNGSPOLYNOMS ........................................... 190 16.3 ENDLICHE KOERPER ........................................................................................ 193 UEBUNGSAUFGABEN ................................................................................................. 196 17 DAS QUADRATISCHE REZIPROZITAETSGESETZ ................................................. 197 17.1 QUADRATISCHE ERWEITERUNGEN ................................................................... 197 17.2 GAUSSSCHE SUMMEN ................................................................................... 199 XIV 17.3 DAS QUADRATISCHE REZIPROZITAETSGESETZ .................................................. 200 UEBUNGSAUFGABEN .................................................................................................. 203 18 AUFLOESUNG DURCH RADIKALE ..................................................................... 204 18.1 DER SATZ VON SPEISER 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20.1 DARSTELLUNGEN .............................................................................................. 220 20.2 GRUNDLEGENDE BEISPIELE ............................................................................ 221 20.3 PROJEKTOREN ................................................................................................. 225 20.4 IRREDUZIBLE DARSTELLUNGEN ........................................................................227 20.5 DIE INDUZIERTE DARSTELLUNG ...................................................................... 231 20.6 ADJUNGIERTE FUNKTOREN ............................................................................. 234 UEBUNGSAUFGABEN ................................................................................................. 236 21 CHARAKTERE ................................................................................................. 238 21.1 DER CHARAKTER EINER DARSTELLUNG ........................................................... 238 21.2 ORTHOGONALITAETSRELATIONEN ........................................................................ 240 21.3 ZERLEGUNG DER REGULAEREN DARSTELLUNG ..................................................... 243 21.4 ANZAHL DER IRREDUZIBLEN DARSTELLUNGEN ................................................. 244 21.5 BEISPIELE ....................................................................................................... 246 21.5.1 DIE GRUPPE % ............................................................................ 246 21.5.2 ZYKLISCHE GRUPPEN ...................................................................... 246 21.5.3 DIE GRUPPE 6^3 ............................................................................ 246 21.5.4 DIE GRUPPE ............................................................................247 21.5.5 DIE GRUPPE Y 4 ............................................................................ 248 UEBUNGSAUFGABEN ................................................................................................. 250 XV TEIL VI MODULN UND ALGEBREN 22 MODULN UND ALGEBREN ............................................................................ 251 22.1 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE .............................................................................. 251 22.2 HOMOMORPHISMEN UND FREIE MODULN .................................................... 253 22.3 VOLLSTAENDIG REDUZIBLE MODULN ................................................................. 255 22.4 DER SATZ VON WEDDERBURN ....................................................................... 258 22.5 QUATERNIONENALGEBREN .............................................................................. 260 UEBUNGSAUFGABEN ................................................................................................ 263 23 TENSORPRODUKTE .......................................... ; ............................................ 264 23.1 TENSORPRODUKT VON MODULN .................................................................... 264 23.2 ASSOZIATIVITAET DES TENSORPRODUKTS ......................................................... 266 23.3 HOMOMORPHISMEN UND DIREKTE SUMMEN .............................................. 267 23.4 TENSORPRODUKT VON ALGEBREN .................................................................. 269 23.5 DIE TENSORALGEBRA ..................................................................................... 270 23.6 DIE SYMMETRISCHE ALGEBRA ...................................................................... 272 23.7 DIE CLIFFORD-ALGEBRA ................................................................................. 273 TEIL VII CODIERUNGSTHEORIE 24 EINFUEHRUNG ................................................................................................ 274 24.1 MOTIVATION UND EINLEITUNG ...................................................................... 274 24.2 HAMMINGGEWICHT UND -DISTANZ ............................................................... 275 24.3 FEHLERERKENNUNG UND -KORREKTUR ............................................................. 276 24.4 LINEARE CODES ............................................................................................ 278 UEBUNGSAUFGABEN ................................................................................................. 286 25 BCH- UND RS-CODES ............................................................................... 288 25.1 ZYKLISCHE LINEARE CODES ........................................................................... 288 25.2 BCH-CODES ................................................................................................. 290 25.3 RS-CODES ..................................................................................................... 295 UEBUNGSAUFGABEN ................................................................................................. 298 LITERATURVERZEICHNIS ..................................................................................... 299 LISTE DER SYMBOLE ........................................................................................301 XVI INDEX ................................................................................................................ 303
adam_txt	INHALT PROLOG DIE ENTSTEHUNG DER ALGEBRA . 1 DAS ERBE DER GRIECHEN . 1 DIE RENAISSANCE IN ITALIEN . 2 AUF DEM WEG ZUR MODERNEN ALGEBRA . 2 SYMMETRIEN . 3 TRANSFORMATIONEN . 3 AFFINE UND EUKLIDISCHE RAEUME . 3 DIE BEWEGUNGSGRUPPE IN DER EUKLIDISCHEN EBENE . 5 SYMMETRIE VON OBJEKTEN . 6 UEBER DAS LOESEN VON GLEICHUNGEN . 9 LINEARE GLEICHUNGEN . 9 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN . 9 KUBISCHE GLEICHUNGEN . 9 QUARTISCHC GLEICHUNGEN . 10 SPEZIELLE GLEICHUNGEN HOEHEREN GRADES . 12 TEIL I GRUPPEN 1 GRUPPEN . 13 1.1 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE . 13 1.2 UNTERGRUPPEN UND HOMOMORPHISMEN . 19 1.3 DIREKTE PRODUKTE UND SUMMEN . 22 1.4 NORMALTEILER UND FAKTORGRUPPEN . 23 1.5 ZYKLISCHE GRUPPEN . 27 1.6 AKTIONEN . 28 1.7 ANHANG: DER EUKLIDISCHE ALGORITHMUS . 35 UEBUNGSAUFGABEN . 37 2 DIE SAETZE VON SYLOW . 41 2.1 DIE KLASSENGLEICHUNG . 41 2.2 EXPONENTEN . 42 2.3 P-SYLOW-UNTERGRUPPEN . 43 XI UEBUNGSAUFGABEN . 45 3 DER SATZ VON JORDAN-HOLDER . 46 3.1 AUFLOESBARE UND EINFACHE GRUPPEN . 46 3.2 VERFEINERUNG VON NORMALREIHEN . 48 UEBUNGSAUFGABEN . 51 4 SYMMETRIE . 52 4.1 PERMUTATIONSGRUPPEN . 52 4.2 BEISPIELE . 55 4.2.1 DIE GRUPPE S^3 . 55 4.2.2 DIE GRUPPE MI . 55 4.2.3 DIE GRUPPE 6^4 . 56 4.2.4 DIE GRUPPE 5^5 . 56 UEBUNGSAUFGABEN . 57 5 PLATONISCHE KOERPER . 59 5.1 POLYTOPE UND POLYEDER . 59 5.2 DAS TETRAEDER . 62 5.3 DER WUERFEL UND DAS OKTAEDER . 63 5.4 DAS DODEKAEDER UND DAS IKOSAEDER . 63 6 UNIVERSELLE KONSTRUKTIONEN .65 6.1 PRODUKTE UND KOPRODUKTE VON MENGEN . 65 6.2 PRODUKTE UND KOPRODUKTE VON GRUPPEN . 66 6.3 SEMIDIREKTE PRODUKTE . 68 6.4 LIMITES UND KOLIMITES . 72 6.5 FREIE GRUPPEN . 73 6.6 BEISPIELE . 76 UEBUNGSAUFGABEN . 78 7 ENDLICH ERZEUGTE ABELSCHE GRUPPEN . 80 7.1 FREIE ABELSCHE GRUPPEN . 80 7.2 TORSION IN GRUPPEN . 82 7.3 STRUKTUR ENDLICHER ABELSCHER GRUPPEN . 84 UEBUNGSAUFGABEN . 87 XII TEIL II RINGTHEORIE 8 RINGE .88 8.1 GRUNDLAGEN . 88 8.2 UNTERRINGE UND HOMOMORPHISMEN . 90 8.3 PRODUKTE VON RINGEN . 92 8.4 IDEALE UND FAKTORENRINGE . 93 8.5 IDEALE IN KOMMUTATIVEN RINGEN . 96 8.6 DER CHINESISCHE RESTSATZ . 98 UEBUNGSAUFGABEN . 101 9 LOKALISIERUNG . 104 9.1 LOKALISIERUNG VON RINGEN . 104 9.2 IDEALE UND LOKALISIERUNG . 106 UEBUNGSAUFGABEN . 108 10 HAUPTIDEALRINGE UND FAKTORIELLE RINGE .109 10.1 FAKTORIELLE RINGE . 109 10.2 EUKLIDISCHE RINGE . 112 UEBUNGSAUFGABEN . 113 11 QUADRATISCHE ZAHLRINGE . 114 11.1 ZAHLRINGE . 114 11.2 EINHEITEN . 115 11.3 DIE PELLSCHE GLEICHUNG . 117 11.4 DER EULER-LAGRANGESCHE SATZ . 120 11.5 PRIMELEMENTE IM GAUSSSCHEN ZAHLRING . 122 UEBUNGSAUFGABEN . 124 12 POLYNOMRINGE .125 12.1 POLYNOME . 125 12.2 POLYNOME IN MEHREREN VARIABLEN . 126 12.3 AUSWERTEN VON POLYNOMEN . 128 12.4 POTENZREIHEN . 129 12.5 DERIVATIONEN . 130 12.6 SYMMETRISCHE FUNKTIONEN . 132 12.7 RESULTANTE UND DISKRIMINANTE . 135 12.8 EINDEUTIGE PRIMFAKTORZERLEGUNG . 139 12.9 IRREDUZIBILITAET . 141 XIII UEBUNGSAUFGABEN . 144 TEIL III ABRISS DER KOERPERTHEORIE 13 GRUNDLAGEN DER KOERPERTHEORIE . 147 13.1 KOERPER UND PRIMKOERPER . 147 13.2 KOERPERERWEITERUNGEN . 148 13.3 ALGEBRAISCHE KOERPERERWEITERUNGEN . 150 13.4 ALGEBRAISCH ABGESCHLOSSENE ERWEITERUNGEN . 152 13.5 KONJUGIERTE ERWEITERUNGEN . 154 UEBUNGSAUFGABEN . 157 14 THEORIE DER KOERPERERWEITERUNGEN .158 14.1 SEPARABILITAET . 158 14.2 INSEPARABILITAET . 164 14.3 NORMALE ERWEITERUNGEN . 165 UEBUNGSAUFGABEN . 168 TEIL IV GALOIS-THEORIE 15 DIE GALOIS-KORRESPONDENZ .170 15.1 GALOIS-ERWEITERUNGEN . 170 15.2 HAUPTSATZ DER GALOIS-THEORIE . 172 15.3 EIN BEISPIEL . 176 15.4 EIN ZWEITES BEISPIEL . 177 15.5 UNENDLICHE GALOISCRWEITERUNGEN . 178 15.6 ANWENDUNGEN DER GALOIS-THEORIE . 181 UEBUNGSAUFGABEN . 184 16 KREISTEILUNGSKOERPER .186 16.1 EINHEITSWURZELN . 186 16.2 IRREDUZIBILITAET DES KREISTEILUNGSPOLYNOMS . 190 16.3 ENDLICHE KOERPER . 193 UEBUNGSAUFGABEN . 196 17 DAS QUADRATISCHE REZIPROZITAETSGESETZ . 197 17.1 QUADRATISCHE ERWEITERUNGEN . 197 17.2 GAUSSSCHE SUMMEN . 199 XIV 17.3 DAS QUADRATISCHE REZIPROZITAETSGESETZ . 200 UEBUNGSAUFGABEN . 203 18 AUFLOESUNG DURCH RADIKALE . 204 18.1 DER SATZ VON SPEISER . 204 18.2 KUMMER-THEORIE . 206 18.3 ARTIN-SCHREIER-THEORIE . 209 18.4 ZYKLISCHE ERWEITERUNGEN . 210 18.5 DER HAUPTSATZ . 211 18.6 KUBISCHE GLEICHUNGEN . 213 18.7 QUARTISCHE GLEICHUNGEN . 215 19 KONSTRUKTIONEN MIT ZIRKEL UND LINEAL . 217 TEIL V DARSTELLUNGEN VON ENDLICHEN GRUPPEN 20 GRUNDLAGEN . 220 20.1 DARSTELLUNGEN . 220 20.2 GRUNDLEGENDE BEISPIELE . 221 20.3 PROJEKTOREN . 225 20.4 IRREDUZIBLE DARSTELLUNGEN .227 20.5 DIE INDUZIERTE DARSTELLUNG . 231 20.6 ADJUNGIERTE FUNKTOREN . 234 UEBUNGSAUFGABEN . 236 21 CHARAKTERE . 238 21.1 DER CHARAKTER EINER DARSTELLUNG . 238 21.2 ORTHOGONALITAETSRELATIONEN . 240 21.3 ZERLEGUNG DER REGULAEREN DARSTELLUNG . 243 21.4 ANZAHL DER IRREDUZIBLEN DARSTELLUNGEN . 244 21.5 BEISPIELE . 246 21.5.1 DIE GRUPPE % . 246 21.5.2 ZYKLISCHE GRUPPEN . 246 21.5.3 DIE GRUPPE 6^3 . 246 21.5.4 DIE GRUPPE .247 21.5.5 DIE GRUPPE Y 4 . 248 UEBUNGSAUFGABEN . 250 XV TEIL VI MODULN UND ALGEBREN 22 MODULN UND ALGEBREN . 251 22.1 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE . 251 22.2 HOMOMORPHISMEN UND FREIE MODULN . 253 22.3 VOLLSTAENDIG REDUZIBLE MODULN . 255 22.4 DER SATZ VON WEDDERBURN . 258 22.5 QUATERNIONENALGEBREN . 260 UEBUNGSAUFGABEN . 263 23 TENSORPRODUKTE . ; . 264 23.1 TENSORPRODUKT VON MODULN . 264 23.2 ASSOZIATIVITAET DES TENSORPRODUKTS . 266 23.3 HOMOMORPHISMEN UND DIREKTE SUMMEN . 267 23.4 TENSORPRODUKT VON ALGEBREN . 269 23.5 DIE TENSORALGEBRA . 270 23.6 DIE SYMMETRISCHE ALGEBRA . 272 23.7 DIE CLIFFORD-ALGEBRA . 273 TEIL VII CODIERUNGSTHEORIE 24 EINFUEHRUNG . 274 24.1 MOTIVATION UND EINLEITUNG . 274 24.2 HAMMINGGEWICHT UND -DISTANZ . 275 24.3 FEHLERERKENNUNG UND -KORREKTUR . 276 24.4 LINEARE CODES . 278 UEBUNGSAUFGABEN . 286 25 BCH- UND RS-CODES . 288 25.1 ZYKLISCHE LINEARE CODES . 288 25.2 BCH-CODES . 290 25.3 RS-CODES . 295 UEBUNGSAUFGABEN . 298 LITERATURVERZEICHNIS . 299 LISTE DER SYMBOLE .301 XVI INDEX . 303
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