Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme:
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Inhaltsverzeichnis Teil I Gewöhnliche Differentialgleichungen 1 Einführung. 1.1 Erste Beispiele. 1.2 Systeme von Differentialgleichungen. 1.3 Fragestellungen der Theorie. 1.4 Linienelement und Richtungsfeld. 1.5 Trennung der Variablen. 1.6 Lineare Differentialgleichungen. 1.7 Die Phasenebene. 3 4 11 12 14 16 19 22 2 Existenz und Eindeutigkeit. 2.1 Lipschitz-Eigenschaft und Eindeutigkeit. 2.2 Existenz von Lösungen. 2.3 Fortsetzbarkeit und maximales Existenzintervall. 2.4 Differential- und Integralungleichungen. 2.5 Globale Existenz. 31 31 35 38 40 43 3 Lineare
Systeme. 3.1 Homogene Systeme. 3.2 Inhomogene Systeme. 3.3 Bestimmung von Fundamentalsystemen. 3.3.1 Die d’Alembert-Reduktion. 3.3.2 Systeme mit konstanten Koeffizienten. 3.4 Lineare Gleichungen höherer Ordnung. 3.4.1 Die d’Alembert-Reduktionfür Gleichungen höherer Ordnung. 3.4.2 Variation der Konstanten. 3.4.3 Konstante Koeffizienten. 51 51 54 55 55 57 66 67 70 72 XIII
XIV Inhaltsverzeichnis 4 Stetige und differenzierbare Abhängigkeit. 4.1 Stetige Abhängigkeit. 4.2 Anwendungen. 4.2.1 Differentialungleichungen . 4.2.2 Positivität von Lösungen. 4.2.3 Periodische Lösungen. 4.3 Differenzierbarkeit der Lösungen nach Daten. 4.3.1 Autonome Systeme. 4.3.2 Nichtautonome Systeme. 4.4 Dynamische Systeme. 79 79 82 82 83 85 88 88 90 93 5 Elementare Stabilitätstheorie. 5.1 Stabilitätsdefinitionen. 5.2 Ebene lineare autonome Systeme. 5.3 Stabilität linearer Systeme. 5.4 Das Prinzip der linearisierten Stabilität. 5.5 Ljapunov-
Funktionen. 5.6 Dynamik von Viren. 99 99 102 109 111 121 129 Teil II Dynamische Systeme 6 Existenz und Eindeutigkeit II. 139 6.1 Der Existenzsatz von Peano. 139 6.2 Nichtfortsetzbare Lösungen. 140 6.3 Stetige Abhängigkeit. 141 6.4 Differentialungleichungen. 144 6.5 Eindeutigkeit. 147 6.6 Anwendungen. 148 7 Invarianz. 7.1 Invariante Mengen. 7.2 Invarianzkriterien. 7.3 Konvexe invariante Mengen. 7.4 Positiv homogene autonome Systeme. 7.5 Differentialungleichungen und
Quasimonotonie. 7.6 Autonome quasimonotone Systeme. 7.7 Ein Klassenmodell für Epidemien. 153 153 159 161 165 170 174 177 8 Ljapunov-Funktionen und Stabilität. 8.1 Ljapunov-Funktionen. 8.2 Stabilität. 8.3 Ljapunovs direkte Methode. 183 183 188 191
Inhaltsverzeichnis 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 XV Limesmengen und das Invarianzprinzip. Mathematische Genetik. Gradientenartige Systeme. Chemische Reaktionssysteme. Die Methode von Lojasiewicz. Ljapunov-Funktionen und Konvergenzraten. 194 199 201 203 209 216 9 Ebene autonome Systeme. 9.1 Transversalen. 9.2 Poincaré-Bendixson-Theorie. 9.3 Periodische Lösungen. 9.4 Lienard-Gleichung. 9.5 Biochemische Oszillationen. 9.6 Der Index isolierter Equilibria. 225 225 229 234 236 240 243 10 Linearisierung und invariante Mannigfaltigkeiten. 10.1 Sattelpunkte autonomer
Systeme. 10.2 Ebene Wellen für Reaktions-Diffusionsgleichungen. 10.3 Das Hartman-Grobman Theorem. 10.4 Normal stabile Equilibria. 10.5 Normal hyperbolische Equilibria. 10.6 Teilchen im Potentialfeld mit Dämpfung . 10.7 Die stabile und die instabile Faserung. 251 251 256 259 266 273 279 282 11 Periodische Lösungen. 11.1 Der Funktionalkalkül. 11.2 Floquet-Theorie. 11.3 Lineare periodische Gleichungen. 11.4 Stabilität periodischer Lösungen. 11.5 Parameterabhängigkeit periodischer Lösungen. 291 291 294 300 303 312 12 Verzweigungstheorie. 12.1 Umkehrpunkte. 12.2 Pitchfork-
Verzweigung. 12.3 Hopf-Verzweigung. 12.4 Periodische Lösungen Hamiltonscher Systeme. 12.5 Stabilität bei Hopf-Verzweigung. 12.6 Chemische Reaktionstechnik. 12.7 Verzweigung und Symmetrien. 319 319 325 331 337 338 342 348
XVI Inhaltsverzeichnis 13 Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten. 13.1 Mannigfaltigkeiten im R”. 13.2 Wohlgestelltheit. 13.3 Linearisierung. 13.4 Zwangsbedingungen. 13.5 Geodätische. 13.6 Das Zweikörperproblem. 357 357 361 363 364 368 373 14 Weitere Anwendungen. 14.1 Das FitzHugh-Nagumo System. 14.2 Wellenzüge für das FitzHugh-Nagumo System mit Diffusion. 14.3 Konvexe Funktionen. 14.3.1 Konvexe Funktionen. 14.3.2 Subdifferentiale. 14.4 Subdifferentialgleichungen. 14.4.1 Differential-
Inklusionen. 14.4.2 Differential-Variationsungleichungen. 14.4.3 Asymptotisches Verhalten. 381 381 386 394 394 397 404 405 409 415 Epilog. 419 Literatur. 425 Stichwortverzeichnis. 429 |
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