Verfügbarkeit: Bruchrechnung begreifen durch Begreifen

Bruchrechnung begreifen durch Begreifen:

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Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser:	Kramer, Martin (VerfasserIn)
Format:	Abschlussarbeit Buch
Sprache:	German
Veröffentlicht:	Kassel Kassel University Press [2019]
Schlagworte:	Mathematik Bruchrechnung Bruchrechnen Ketten und Zahnräder Unterricht Zusammenspiel Geist und Körper handlungsorientiert radikaler Konstruktivismus Hochschulschrift
Online-Zugang:	Inhaltstext Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis
Beschreibung:	X, 264 Seiten Illustrationen 21 cm, 370 g
ISBN:	9783737606387 3737606382

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adam_text	INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS..............................................................................................................................................................I ZUSAMMENFASSUNG............................................................................................................................................................1 EINFUEHRUNG......................................................................................................................................................................... 3 TEIL I KONSTRUKTIVISMUS UND SYSTEMTHEORIE IM UNTERRICHTLICHEN KONTEXT..............................................................9 KAPITEL 1 KONSTRUKTION VON WISSEN.......................................................................................................................... 11 1.1 FRUEHERE VORSTELLUNGEN VON LERNEN UND LEHREN............................................................................................. 11 1.1.1 MATERIELLE VORSTELLUNG VON LERNEN UND LEHREN..................................................................................11 1.1.2 ABBILDENDES LERNVERSTAENDNIS................................................................................................................13 1.2 TRIVIALE UND NICHT-TRIVIALE MASCHINEN............................................................................................................. 15 1.2.1 TRIVIALE UND NICHT-TRIVIALE MASCHINEN...................................................................................................15 1.2.2 NICHT-TRIVIALE MASCHINEN.......................................................................................................................16 1.2.3 DER SCHUELER ALS NICHTTRIVIALE MASCHINE.................................................................................................17 1.3 DAS BEWUSSTSEIN DES LERNENDEN ALS AUTOPOIETISCHES SYSTEM...................................................................... 19 1.3.1 SYSTEME...................................................................................................................................................19 1.3.2 SYSTEM UND U M W ELT.............................................................................................................................. 21 1.3.2.1 AUTOPOIETISCHE SYSTEME................................................................................................................... 21 1.3.2.2 UMWELT AUTOPOIETISCHER SYSTEME.................................................................................................. 22 1.3.3 INFORM ATION............................................................................................................................................ 23 1.3.4 BEWUSSTSEINSSYSTEME............................................................................................................................ 23 1.3.5 BIOLOGISCHE UND PSYCHISCHE SYSTEME...................................................................................................24 1.3.5.1 KOERPER(SYSTEM) UND BEWUSSTSEINSSYSTEM.......................................................................................24 1.3.5.2 WISSENSVERMITTLUNG AUF GEISTIGER UND KOERPERLICHER EBENE.......................................................... 25 1.3.6 STRUKTURELLE KOPPLUNG, KOEVOLUTION.....................................................................................................25 1.4 PARALLELITAETSTHESE: KOERPERLICHE UND GEISTIGE NAHRUNG...................................................................................27 1.4.1 NAHRUNG ALS UMWELT DES SYSTEMS........................................................................................................28 1.4.1.1 NAHRUNG ALS UMWELT DES SYSTEMS.................................................................................................. 29 1.4.1.2 STRUKTURDETERMINIERTHEIT, NICHT-EXISTENZ DIREKTER VERM ITTLUNG .................................................. 29 1.4.1.3 DIE BEDEUTUNG DES INHALTES............................................................................................................. 31 1.4.1.4 BILDUNGS- UND NAHRUNGSANGEBOT, BILDUNG ALS AKTIVER PROZESS......................................................33 1.4.1.5 BESCHRAENKTES W ACHSTUM................................................................................................................. 33 1.4.1.6 BILDUNG UND NACHHALTIGKEIT, VERDAUUNGSPROZESSE........................................................................34 1.4.1.7 ESS- UND LERNSTOERUNGEN................................................................................................................... 35 1.4.2 UNBELEBTE, ZEITLICHE UND MATERIELLE UMGEBUNG DER NAHRUNG...........................................................35 1.4.2.1 DER EINFLUSS DER UMGEBUNG - DIE UMWELT VON UNTERRICHT........................................................... 35 1.4.2.2 AESTHETIK UND ZWECKHAFTIGKEIT..........................................................................................................36 1.4.2.3 ZEITLICHE UMGEBUNG: PAUSEN UND SCHLAF........................................................................................37 1.4.3 SOZIALE UMGEBUNG DER NAHRUNG...........................................................................................................38 1.4.3.1 GEMEINSAMES ESSEN, LEBENDIGE UMWELTEN.................................................................................... 38 1.4.4 GENESE DER NAHRUNG ALS BEZIEHUNGSARBEIT..........................................................................................39 1.4.4.1 VERANTWORTUNG DELEGIEREN, GUTER UNTERRICHT..............................................................................39 1.4.4.2 UNTERRICHTSMATERIAL UND HEFTAUFSCHRIEB........................................................................................ 40 1.5 MODELLE FUE R DAS LERNEN UND LEHREN AUS EINER SYSTEMISCH-KONSTRUKTIVISTISCHEN SICHT................................40 1.5.1 DAS GEHIRN ALS PFLANZE........................................................................................................................... 41 1.5.2 DAS LANDSCHAFTSMODELL.......................................................................................................................... 44 1.5.2.1 DOPPELTE PASSGENAUIGKEIT VON U NTERRICHT.....................................................................................44 1.5.2.2 STIMMIGKEIT ZWISCHEN STOFFGEBIET UND MENSCH.............................................................................. 45 1.5.2.3 LERNEN HEISST LANDKARTEN E NTW E RFEN .............................................................................................. 49 1.5.2.4 LEHRGAENGE UND LANDKARTEN - BEZUG ZU MARTIN WAGENSCHEIN.......................................................52 1.5.2.5 RICHTIG UND FALSCH - EIN TYPISCHES LANDKARTENPHAENOMEN ......................................................... 54 1.6 KARTOGRAFIE UND WISSENSKONSTRUKTION.............................................................................................................55 1.6.1 STRUKTURBILDUNG, INTERNE LANDKARTEN ENTWICKELN................................................................................55 1.6.1.1 UNTERSCHEIDUNGEN.............................................................................................................................55 1.6.1.2 ANSCHLUSSFAEHIGKEIT............................................................................................................................. 56 1.6.1.3 ERSCHLIESSUNG EINES WISSENSGEBIETS..................................................................................................56 1.6.1.4 BEISPIEL ZUR STRUKTURBILDUNG/AUSDIFFERENZIERUNG.......................................................................... 59 1.6.1.5 KONSTRUKTIVE DISKUSSION = LANDKARTEN VERGLEICHEN.......................................................................61 1.6.2 UEBERTRAGUNG VON LANDKARTEN................................................................................................................ 63 1.6.2.1 ERFOLGREICHE UEBERTRAGUNGEN, VERALLGEMEINERUNG IM LANDSCHAFTSMODELL...................................63 1.6.2.2 BEISPIELE FUER UEBERTRAGUNGEN........................................................................................................... 65 1.6.2.3 UNGLUECKLICHE UEBERTRAGUNGEN: VERWECHSLUNG VON LANDKARTE UND LANDSCHAFT ............................ 66 1.6.3 VERNETZUNG VON WISSENSKONSTRUKTIONEN IM LANDKARTENMODELL.......................................................68 1.6.3.1 BEGINN DER ERFORSCHUNG EINES UNBEKANNTEN WISSENSGEBIETS.......................................................68 1.6.3.2 VERNETZUNG ZWEIER WISSENSGEBIETE............................................................................................... 69 1.6.4 FAECHER UND FAECHERUEBERGREIFENDES LERNEN........................................................................................... 70 1.6.4.1 LAENDER UND GEBIETSEINTEILUNGEN..................................................................................................... 70 1.6.4.2 FAECHEREINTEILUNG UND REDUKTION DER KOMPLEXITAET......................................................................... 72 1.6.4.3 DIE LANDSCHAFT IST PRINZIPIELL FAECHERUEBERGREIFEND........................................................................... 72 1.6.4.4 BEISPIELE FUER DIE FAECHERUEBERGREIFENDE EIGENSCHAFT DES MATERIALS ................................................ 74 1.6.4.5 EINE GROSSE SCHULISCHE GEFAHR: DIE LANDKARTE DES LEHRERS LERNEN? .............................................. 78 1.7 FAZIT................................................................................................................................................................... 80 KAPITEL 2 UNTERRICHTLICHE KOMMUNIKATION.............................................................................................................. 81 2.1 KOMMUNIKATIONSVORGANG ALS EMERGENZ......................................................................................................... 81 2.1.1 UNTERRICHT ALS EMERGENTES EREIGNIS - OHNE UEBERTRAGUNG VON WISSEN .............................................. 81 2.1.2 UNTERRICHT OHNE GERADLINIGE URSACHE-WIRKUNGS-BEZIEHUNG .............................................................. 81 2.1.3 BEZUG ZUR RESONANZPAEDAGOGIK............................................................................................................. 82 2.2 KONSTRUKTION ALS EIGENLEISTUNG DES SYSTEMS (SCHUELER) ..................................................................................83 2.2.1 MACHT DES SENDERS.................................................................................................................................83 2.2.2 MACHT DES EMPFAENGERS.......................................................................................................................... 83 2.2.3 NEUES ROLLENVERSTAENDNIS FUER DEN LEHRER............................................................................................. 84 2.3 KOMMUNIKATION NACH NIKLAS LUHMANN 85 2.3.1 UNUEBERTRAGBARKEIT VON INFORM ATION/W ISSEN......................................................................................85 2.3.2 KOMMUNIKATION ALS DREITEILIGER SELEKTIONSPROZESS .................... 85 2.3.2.1 SELEKTION EINER INFORMATION............................................................................................................. 85 2.3.2.2 SELEKTION DER M ITTEILUNG................................................................................................................... 86 2.3.2.3 SELEKTION DES EMPFAENGERS, VERSTEHEN EINER MITTEILUNGSABSICHT .................................................. 86 2.3.3 BEDEUTUNG DES MATERIALS IM KOMMUNIKATIONSPROZESS......................................................................86 2.3.3.1 BEISPIEL 1: MATERIAL PAPIER............................................................................................................... 87 2.3.3.2 BEISPIEL 2: MATERIAL ROBOTER............................................................................................................. 87 2.4 EXPERIMENT ZUR DEMONSTRATION SUBJEKTIVER KONSTRUKTIONEN.......................................................................88 2.4.1 DAS GEHIRN ALS DATENGENERATOR............................................................................................................ 88 2.4.2 EINFLUSS DER UMGEBUNG, VERBORGENE PARAMETER BEI DER WISSENSKONSTRUKTION .............................. 89 2.5 GRUNDIEGENDE KOMMUNIKATIONSMODELLE ZUR GESTALTUNG VON UNTERRICHT .................................................. 91 2.5.1 QUADRATUR VON NACHRICHTEN (SCHULZ VON THUN)...................................................................................91 2.5.2 DUALE DIDAKTIK........................................................................................................................................92 2.5.2.1 NACHRICHTENQUADRAT ALS LANDSCHAFT..................................................................................................92 2.5.2.2 WERTEQUADRAT UND PARADOXIEENTFALTUNG......................................................................................... 93 2.5.2.3 DAS HERZ DER SACHE ......................................................................................................................... 93 2.5.2.4 FREIHEIT UND STRUKTUR........................................................................................................................93 2.5.3 NACHRICHTENQUADRAT UND ROLLENDEFINITION..........................................................................................94 2.5.3.1 ROLLE DES SCHUELERS............................................................................................................................. 95 2.5.3.2 ROLLE DES LEHRERS................................................................................................................................95 2.5.4 DAS KOMMUNIKATIONSMODELL VON RIEMANN-THOMANN........................................................................96 2.5.4.1 DAUER- UND WECHSELSTREBEN IM UNTERRICHT, FLOW.......................................................................... 96 2.5.4.2 NAEHE- UND DISTANZSTREBEN IM U NTERRICHT........................................................................................ 97 2.5.5 RIEMANN-THOMANN ALS DIAGNOSEINSTRUMENT FUER LERNUMGEBUNGEN ................................................. 98 2.5.6 DIDAKTISCHE ANWENDUNG DES RIEMANN-THOMANN-MODELLS: INDIVIDUELLE BEISPIELE, DIE REGEL DURCH DIE GRUPPE............................................................................................................................................................. 99 2.5.6.1 STRUKTURBILDUNG DURCH BEISPIELE........................... 99 2.5.6.2 VERALLGEMEINERUNG MIT RIEMANN-THOMANN..................................................................................100 2.5.6.3 KONSEQUENZEN FUER DEN UNTERRICHT: KONKRETE BEISPIELE VS. ALLGEMEINE MERKSAETZE ................... 102 2.5.6.4 MUSTERERKENNUNG BEI NEGATIVER ERFAHRUNG................................................................................... 103 2.6 FAZIT................................................................................................................................................................ 104 TEIL II GESTALTUNG VON LERNUMGEBUNGEN................................................................................................................. 105 KAPITEL 3 ROLLE UND BUEHNE........................................................................................................................................107 3.1 ROLLE UND BUEHNE ALS UMGEBUNG EINER AEUSSERUNG.......................................................................................107 3.1.1 GLEICHZEITIGKEIT VON ROLLE UND BUEHNE................................................................................................ 108 3.1.2 IMPLIZITE UND EXPLIZITE ROLLEN UND BUEHNEN........................................................................................ 108 3.2 DIE BUEHNE ALS UMWELT DES LERNENDEN.......................................................................................................... 109 3.2.1 PAEDAGOGISCHE BUEHNE........................................................................................................................... 109 3.2.1.1 ZERSTOERUNG DER BUEHNENWIRKUNG.....................................................................................................109 3.2.1.2 BUEHNE ALS SCHUTZRAUM....................................................................................................................110 3.2.2 DIDAKTISCHE BUEHNE............................................................................................................................... 110 3.2.2.1 DIDAKTISCHE REDUKTION..................................................................................................................... 110 3.2.2.2 EXPERIMENT ZUR DIDAKTISCHEN REDUKTION........................................................................................ 111 3.3 GRAMMATIK DER BUEHNE GESTALTPSYCHOLOGIE IM U NTERRICHT......................................................................112 3.3.1 GESETZ DER AE HNLICHKEIT........................................................................................................................ 113 3.3.1.1 AEHNLICHKEIT BEI DINGEN..................................................................................................................... 113 3.3.1.2 AEHNLICHKEIT BEI MENSCHEN..............................................................................................................114 3.3.2 GESETZ DER NAEHE................................................................................................................................... 114 3.3.2.1 UNTERSCHIEDLICHE NAEHE, NOCH MEHR GESTALTUNG .......................................................................... 116 3.3.2.2 VERWENDUNG IN DER SPRACHE........................................................................................................... 116 3.3.23 SCHUELEREXPERIMENTE....................................................................................................................... 117 33.2.4 SCHULISCHE W ELT UND W IRKLICHKEIT...................................................................................................117 3.3.3 GESETZ DER GLEICHZEITIGKEIT..................................................................................................................118 3.33.1 GLEICHZEITIGKEIT VON THEM EN......................................................................................................... 118 3.3.4 WEITERE GESTALTGESETZE....................................................................................................................... 118 3.4 ROLLE UND ROLLENBELEGUNG..............................................................................................................................119 3.4.1 PAEDAGOGISCHE ROILENBELEGUNG.............................................................................................................119 3.4.1.1 DIREKTE UND INDIREKTE INTERVENTIONEN.......................................................................................... 119 3.4.1.2 BEISPIEL ZUR DIREKTE INTERVENTION - ROLLENZUWEISUNG..................................................................120 3.4.13 VERBINDLICHKEIT DURCH ROLLEN.......................................................................................................... 120 3.4.1.4 EIGENSTAENDIGE ROLLENBELEGUNG UND -KLAERUNG................................................................................121 3.4.2 DIDAKTISCHE ROLLENBELEGUNG................................................................................................................121 3.4.2.1 VERSCHIEDENE SICHTWEISEN DURCH VERSCHIEDENE ROLLEN: ............................................................... 122 3.4.2.2 DIDAKTISCHE BEDEUTUNG DER VERSCHIEDENEN SICHTWEISEN ............................................................. 123 3.4.23 VERSCHIEDENE ROLLEN VON MATERIAL UND BEGRIFFEN........................................................................ 123 3.4.2.4 THEATRALE MOEGLICHKEITEN DIDAKTISCHER ROLLEN...............................................................................123 3.5 FAZIT.................................................................................................................................................................125 KAPITEL 4 NONVERBALE KOMMUNIKATIONSSYSTEME UND STILLE FEEDBACKSCHLEIFEN . .......................................... 127 4.1 UNTERRICHT ALS SOZIALES SYSTEM........................................................................................................................ 127 4.1.1 NONVERBALE FEEDBACKSCHLEIFEN.......................................................................................................... 127 4.1.2 INFORMATION IM SYSTEM - ALLE SEHEN ALLES.......................................................................................... 128 4.1.3 DREI MOEGLICHKEITEN VON NONVERBALITAET...............................................................................................129 4.2 AEUSSERUNGEN UEBER DEN KOERPER........................................................................................................................ 129 4.2.1 JA-NEIN-AEUSSERUNGEN............................................................................................................................ 129 4.2.2 ZAHLEN UND SKALEN................................................................................................................................131 4.2.3 UEBER DARSTELLENDES SPIEL.....................................................................................................................132 4.2.4 ZERSTOERUNG DER BUEHNE...................................................................................................................... 133 4.3 AEUSSERUNGEN UEBER DEN ORT (2)........................................................................................................................ 134 4.3.1 BEISPIEL EINER AUFSTELLUNGSARBEIT IM KLASSENZIMMER: EINFUEHRUNG DER M ULTIPLIKATION ................... 134 4.3.2 SPIELFELDER............................................................................................................................................ 135 4.3.3 SKALEN.................................................................................................................................................... 136 4.33.1 LINEARE SKALEN..................................................................................................................................136 4.33.2 LOGARITHMISCHE SKALEN....................................................................................................................136 4.3.4 ZEITSTRAHL UND KALENDER....................................................................................................................... 137 4.3.5 RAUMHOEHE............................................................................................................................................ 138 4.3.6 RUND- UND LEHRGAENGE.......................................................................................................................... 138 4.4 AEUSSERUNGEN UEBER DAS MATERIAL (3 ).............................................................................................................139 4.5 SYSTEMISCHER BLICK A UF NONVERBALE KOMMUNIKATIONSSYSTEME .................................................................. 139 4.6 FAZIT.................................................................................................................................................................140 KAPITEL 5 MATERIAL IN LEMUMGEBUNGEN................................................................................................................. 141 5.1 LERNEN M IT KOERPER UND GEIST........................................................................................................................141 5.1.1 ELS-PRINZIP............................................................................................................................................. 141 5.1.2 VERSCHRAENKUNG VON KOERPERLICHEM UND GEISTIGEM LERNEN............................................................... 141 5.1.2.1 REIHENFOLGE DER REPRAESENTATIONSFORMEN IN DER VERM ITTLUNG ..................................................... 142 5.1.3 4D-LERNEN .............. 143 5.1.3.1 GLEICHZEITIGKEIT VERSCHIEDENER REPRAESENTATIONSEBENEN (4D-LERNEN).......................................143 5.1.3.2 WEITERE BEISPIELE FUER VIELKANALIGES LERNEN..................................................................................144 5.1.3.3 VIELDIMENSIONALES LERNEN.............................................................................................................. 145 5.2 WIRKUNG DES M ATERIALS...................................................................................................................................145 5.2.1 AEUSSERUNG DES MATERIALS...................................................................................................................145 5.2.1.1 DENKEN ALS ABHAENGIGKEIT VON DER INDIVIDUELLEN VORGESCHICHTE .................................................. 145 5.2.1.2 UNEINDEUTIGKEIT DER ASSOZIATION DURCH VORERFAHRUNG.................................................................146 5.2.2 SELBSTBEWERTUNG DURCH DAS SELBSTERSCHAFFENE BAUWERK ................................................................ 147 5.2.3 PAEDAGOGISCHE WIRKUNG DES MATERIALS SPIELZEUG ........................................................................... 147 5.3 DIDAKTISCHE WIRKUNG DES M ATERIALS............................................................................................................. 148 5.3.1 FAECHERUEBERGREIFENDE W IRKUNG........................................................................................................... 148 5.3.2 BINNENDIFFERENZIERENDE W IRKUNG.......................................................................................................148 5.3.3 M IT MATERIAL LASSEN SICH DATEN ERZEUGEN.......................................................................................... 149 5.3.3.1 BEISPIEL ZUR DATENGENERIERUNG......................................................................................................149 5.4 GESTALTUNG VON LERNUMGEBUNGEN DURCH MATERIAL....................................................................................... 150 5.4.1 APPELLCHARAKTER DES M ATERIALS........................................................................................................... 150 5.4.2 GESTALTUNG VON LERNUMGEBUNGEN......................................................................................................151 5.5 FAZIT................................................................................................ 152 TEIL III BRUCHRECHNEN MIT KETTEN UND ZAHNRAEDERN..................................................................................................153 KAPITEL 6 TYPISCHE SCHWIERIGKEITEN IN DER BRUCHRECHNUNG................................................................................155 6.1 BESTANDSAUFNAHME........................................................................................................................................155 6.1.1 PROBLEME UND TYPISCHE SCHUELERFEHLER............................................................................................... 155 6.2 WARUM FAE LLT SCHUELERN BRUCHRECHNEN SCHWER?............................................................................................. 155 6.2.1 ERSTER GRUND: AUSSERHALB DER M ATHEM ATIK........................................................................................155 6.2.2 ZWEITER GRUND: INNERHALB DER M ATHEMATIK.......................................................................................156 6.2.3 DRITTER GRUND: UNSICHTBARE MATHEMATIK, GESTALTPSYCHOLOGISCHES GESETZ DER NAEHE ..................... 157 6.2.3.1 GESTALTPSYCHOLOGIE.......................................................................................................................... 157 6.2.4 VIERTER GRUND: GELERNTE KONZEPTE LASSEN SICH NICHT UEBERTRAGEN....................................................157 6.3 AUSWEG: MODELLBILDUNG UND ANSCHAULICHKEIT.............................................................................................159 6.3.1 VIER GESICHTER EINES BRUCHES UND DEREN MATERIELLE VEREINIGUNG IN UEBERSETZUNGEN ..................... 160 6.4 FAZIT................................................................................................................................................................. 160 KAPITEL 7 KONZEPTION BRUCHRECHNEN ALS ABENTEUER ........................................................................................163 7.1 FLAECHEN- VS. OPERATOR- BEZ. MASCHINENKONZEPT .......................................................................................... 163 7.1.1 KRITIK AM OPERATORKONZEPT..................................................................................................................164 7.2 REIHENFOLGE IM LEHRGANG: MULTIPLIKATION VOR ADDITION?.............................................................................165 7.2.1 VORBEMERKUNG: LAESST SICH WISSENSVERMITTLUNG OHNE KONKRETE BETEILIGTE PERSONEN DENKEN?... 166 7.2.2 GRUENDE FUER DIE MULTIPLIKATION VOR DER A DDITION................................................................................166 7.2.2.1 DER BRUCH IST EIN MULTIPLIKATIVES KONZEPT ............................................................. 166 7.2.22 HANDLUNGSORIENTIERUNG................................................................................................................... 167 7.2.23 INNERMATHEMATISCHE GRUENDE........................................................................................................ 167 7.2.2.4 DIE MULTIPLIKATION IN DER LEBENSWELT DER SCHUELER....................................................................... 167 7.3 KETTEN UND ZAHNRAEDER - EIN NEUES KONZEPT?...............................................................................................168 7.3.1 KETTEN UND ZAHNRAEDER IN DER LITERATUR...............................................................................................168 7.3.1.1 RAEDER UND GETRIEBE IN MATHE LIVE, SCHUELERBUCH 7 ....................................................................... 168 7.3.1.2 MULTIPLIKATION VON BRUECHEN ALS UEBERTRAGUNGSKETTE IN MATHEMATIK LEHREN .............................. 171 7.3.2 BRUCHRECHNEN ALS ABENTEUER - EIN NEUES KONZEPT!......................................................................... 171 7.3.2.1 KONZEPT DER HANDLUNGS- UND DENKORIENTIERUNG: HANDELN UND DENKEN.....................................171 7.3.2.2 STOFFLICHE INHALTE............................................................................................................................. 172 7.3.23 ANORDNUNG DES STOFFES DURCH DAS M ATERIAL..................................................................................172 7.4 ISOMORPHISMUS ZWISCHEN DER MULTIPLIKATIVEN GRUPPE DER POSITIVEN BRUECHE Q + , * UND DER MULTIPLIKATIVEN GRUPPE DER UEBERSETZUNGEN..........................................................................................................173 7.4.1 DIE MULTIPLIKATIVE GRUPPE DER UEBERSETZUNGEN..................................................................................173 7.4.2 WEITERE STRUKTURELLE KOPPLUNGEN ZWISCHEN GETRIEBEN UND BRUECHEN ............................................ 174 7.5 FAZIT.................................................................................................................................................................175 KAPITEL 8 BRUCHRECHNUNG ALS ABENTEUER: MODELLBILDUNG MIT KETTEN UND ZAHNRAEDERN..................................177 8.1 UEBERSICHT UND MATERIELLE VORAUSSETZUNG......................................................................................................177 8.1.1 DARSTELLUNG VON BRUECHEN..................................................................................................................... 177 8.1.2 BAUKASTEN UND MATERIELL BESCHRAENKTER ZAHLENRAUM........................................................................ 177 8.1.2.1 INHALTE DES GETRIEBEBAUKASTENSYSTEMS........................................................................................ 177 8.1.2.2 DAS MATERIAL IM KASTEN ERZEUGT KEINE MULTIPLIKATIVE GRUPPE.....................................................178 8.1.3 KONKRETE M ODELLIERUNG.........................................................................................................................179 8.1.3.1 ANATOMIE EINES BRUCH-OPERATORS.................................................................................................. 182 8.1.3.2 DIE VERSCHIEDENEN ZAHLENBEREICHE UND IHRE M ODELLIERUNG....................................................... 183 8.1.3.3 GRENZFAELLE DER UEBERSETZUNG: DIE NULL IM BRUCH ........................................................................... 186 8.2 MODELLIERUNG RATIONALER UND IRRATIONALER VERHAELTNISSE .............................................................................. 187 8.2.1.1 HAPTISCHE DEUTUNG DER POTENZ......................................................................................................187 8.2.2 RATIONALE UND IRRATIONALE W URZELN.......................................................................................................187 8.2.3 IRRATIONALE VERHAELTNISSE UND DER ZAHLENKOERPER R ............................................................................ 188 8.2.4 EINBETTUNG VON Q IN R ....................................................................................................................... 188 8.2.5 Q, IST NULLMENGE IN R ............................................................................................................................189 8.2.6 NEGATIVE IRRATIONALE ZAHLEN.................................................................................................................189 8.3 MODELLIERUNG VON BRUCHZAHL, AEQUIVALENZKLASSE, DES KUERZENS UND ERWEITERN..........................................190 8.3.1 BRUCHZAHL UND AEQUIVALENZKLASSE........................................................................................................ 190 8.3.2 EXKURS: ABZAEHLBARKEIT ....................................... 190 8.3.3 KUERZEN UND ERWEITERN.......................................................................................................................... 192 8.3.4 INTERPRETATION VON 0 :0 , PROPAEDEUTISCHE ANNAEHERUNG AN DIE DIFFERENTIALRECHNUNG.................192 8.4 MODELLIERUNG DER MULTIPLIKATION VON BRUECHEN...........................................................................................193 8.4.1 MULTIPLIZIEREN ALS HINTEREINANDERSCHALTUNG ZWEIER UEBERSETZUNGEN .............................................. 193 8.4.2 HAPTISCHES NACHVOLLZIEHEN DER RECHENREGEL ZAEHLER MAL ZAEHLER, NENNER MAL N ENNER ............. 194 8.4.2.1 AUFBAU VON GLEICHUNGEN BZW. DOPPELGETRIEBEN (INNERHALB DER MULTIPLIKATIVEN GRUPPE) ...... 194 8.4.2.2 AUFBAU DER GLEICHUNG 2 :3 = 2 /3 , TEILEN DURCH GANZE ZAHLEN ................................................... 194 8.4.2.3 ZERLEGUNG DES TERMS AB * C D ........................................................................................................ 195 8.5 EXKURS I: MODELLIERUNG VON POTENZEN UND EXPONENTIELLEM WACHSTUM....................................................196 8.5.1 POTENZIEREN.......................................................................................................................................... 196 8.5.2 VERANSCHAULICHUNG DER NULLTEN POTENZ UND NEGATIVE HOCHZAHLEN..................................................197 8.5.3 POTENZGESETZE...................................................................................................................................... 198 8.5.4 EXPONENTIELLER ZERFALL, GRENZWERTE....................................................................................................198 8.6 MODELLIERUNG DER DIVISION VON BRUECHEN............................................................... . .....................................199 8.6.1 DIVISION MITTELS INVERSEM ELEMENT.....................................................................................................199 8.6.1.1 ANWENDUNG: UMKEHRBRUCH........................................................................................................... 200 8.7 MODELLIERUNG NEGATIVE BRUECHE, ROLLE DES MINUS ALS VORZEICHEN UND OPERATOR ..................................... 200 8.7.1 DARSTELLUNG NEGATIVER BRUECHEN........................................................................................................... 200 8.7.2 UNTERSCHEIDUNG: VORZEICHEN BEI ZAHL UND OPERATOR........................................................................201 8.7.3 RICHTUNGSKODIERUNG, ROLLENKLARHEIT...................................................................................................202 8.7.4 MINUS MAL MINUS (OPERATOR MAL OPERATOR)......................................................................................202 8.7.5 MINUS MAL MINUS: MINUS IM OPERATOR UND VORZEICHENMINUS IM VERGLEICH ................................. 203 8.7.6 AUFBAU DER OPERATOREN: + 2 /+ 1 = - 2 / - 1 = + 2 /1 UND + 2 / - 1 = - 2 / + 1 = - 2 / 1 ........... 204 8.8 EXKURS II: MODELLIERUNG LINEARER FUNKTIONEN..............................................................................................204 8.8.1 MODELLIERUNG LINEARER FUNKTIONEN ALS LINEARE MASCHINEN .............................................................. 204 8.8.1.1 BEMERKUNG: MINUS ALS OPERATOR UND VORZEICHENMINUS...............................................................205 8.8.2 SPEZIELLE REALISIERBARE MASCHINEN......................................................................................................205 8.8.3 MODELLIERUNG AFFIN-LINEARE FUNKTIONEN............................................................................................. 206 8.8.4 MODELLIERUNG DER STEIGUNG ALS UEBERSETZUNGSVERHAELTNIS .................................................................. 207 8.8.5 MODELLIERUNG VON FUNKTION UND UMKEHRFUNKTIONEN.......................................................................208 8.8.6 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN LINEAREN UND EXPONENTIELLEN FUNKTIONEN ............................................. 208 8.9 BRUECHE VERGLEICHEN, KLEINSTES GEMEINSAMES VIELFACHES IM MODELL..........................................................209 8.9.1 GROESSER- UND KLEINERRELATION............................................................................................................... 209 8.9.2 KLEINSTES GEMEINSAMES VIELFACHES (KGV)...........................................................................................210 8.10 MODELLIERUNG DER ADDITION..................................................................................................................... 211 8.10.1 ADDITION GANZER ZAHLEN................................................................................................................... 211 8.10.2 ADDITION VON BRUECHEN..................................................................................................................... 212 8.10.2.1 HAPTISCHE DURCHFUEHRUNG DER A D D ITIO N ......................................................................................... 212 8.10.2.2 ZWEI WEITERE BEISPIELE....................................................................................................................213 8.11 FAZIT..............................................................................................................................................................214 KAPITEL 9 UMSETZUNG IN KLASSE 6...............................................................................................................................215 9.1 DURCHGEFUEHRTER LEHRGANG IM UEBERBLICK....................................................................................................... 215 9.2 EINFUEHRUNG DES MODELLS - EIN ERSTES PRODUKT...............................................................................................216 9.2.1 ERSTE BEGEGNUNG M IT EINEM GETRIEBE................................................................................................217 9.2.2 MATERIAL ALS DATENGENERATOR.............................................................................................................. 217 9.2.3 DIE AUFLOESUNG: DAS GETRIEBE ALS MODELL FUER 2 * 4 ...............................................................................219 9.3 TEAMTRAINING: EXPONENTIELLES WACHSTUM....................................................................................................219 9.3.1 PHASE I: DER SCHUELER WIRD ZUM OPERATOR ** 1 / 2 ............................................................................. 220 9.3.2 PHASE II: AUFGABENSTELLUNG..................................................................................................................221 9.3.2.1 KONKRETE AUFGABENSTELLUNG........................................................................................................... 221 9.3.2.2 PAEDAGOGISCHE BEMERKUNG: BESSER ALS MAN SELBST........................................................................223 9.3.2.3 MOEGLICHE H ILFE N ............................................................................................................................... 224 9.3.2.4 MOEGLICHE H ILFE N ............................................................................................................................... 224 9.3.3 PHASE III: DAS EXPERIMENT.................................................................................................................... 226 9.3.3.1 ERGAENZUNG: REFLEXION DES TEAMGEISTES, PRUEFUNG DER ARBEITSFAEHIGKEIT ........................................ 227 9.3.3.2 EINFUEHLUNG IN EXPONENTIELLES WACHSTUM BZW. ZERFALL...................................................................228 9.3.3.3 ZUSATZ ZU PHASE II: EIN RAETSEL......................................................................................................... 228 9.4 FAZIT.................................................................................................................................................................230 KAPITEL 10 KRITISCHE REFLEXION UND AUSBLICK........................................................................................................231 10.1 ERFAHRUNGSBEZOGENER ANSATZ...................................................................................................................231 10.2 WEITERFUEHRENDE FORSCHUNGSFRAGEN......................................................................................................... 231 10.2.1 BEZIEHUNG ZWISCHEN MENSCH UND M ATHEMATIK........................................................................... 232 10.2.2 MATHEMATIK ALS ERLEBNIS.................................................................................................................232 10.2.3 TRANSFERVERMOEGEN.......................................................................................................................... 232 10.2.4 NACHHALTIGKEIT DER FACHLICHKEIT.....................................................................................................233 10.3 EMPIRISCHEN SCHWIERIGKEITEN....................................................................................................................233 10.3.1 SUBJEKTIVE DIDAKTIK......................................................................................................................... 233 10.3.2 REDUKTIONISMUS VS. HOLISMUS........................................................................................................233 10.3.2.1 LEITFADENGESTUETZTES INTERVIEW.......................................................................................................234 10.3.3 GRENZEN DER EMPIRISCHEN FORSCHUNG............................................................................................ 234 10.4 ZWEI VORSCHLAEGE FUE R EMPIRISCHE UNTERSUCHUNGEN...................................................................................235 10.4.1 FORSCHUNGSFRAGEN........................................................................................................................... 236 10.4.2 RANDOMISIERUNG, KONTROLLGRUPPEN................................................................................................236 10.4.3 (1) UNTERSUCHUNG DER INDIVIDUELLEN BEZIEHUNG ZUR MATHEMATIK UND DEREN KORRELATION ZUR FACHLICHEN LEISTUNG............................................................................................................................................ 236 KAPITEL 11 ANHAENGE.............................................................................................................................................. 239 11.1 ERSTELLTE ARBEITSBLAETTER............................................................................................................................. 239 11.2 EXEMPLARISCHE RUECKMELDUNG....................................................................................................................241 11.3 KONKRETER ANSATZ EINES LEITFADENGESTUETZTEN INTERVIEWS.......................................................................241 11.3.1 ENTWICKLUNG DER FRAGEN..................................................................................................................242 11.3.1.1 ENTWICKLUNG DER INTERVIEWFRAGEN................................................................................................. 242 11.3.2 DESIGN DES INTERVIEWS: EXPLIZITE UND IMPLIZITE FRAGESTELLUNGEN................................................... 244 11.3.2.1 FINALE FRAGEN............................................................................................................................ 245 11.3.2.2 REIHENFOLGE DER FINALEN FRAGEN.....................................................................................................247 DANK UND UNTERRICHTLICHE UMSETZUNG........................................................................................................................249 ABBILDUNGSVERZEICHNIS..................................................................................................................................................251 LITERATUR......................................................................................................................................................................... 257
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