Verfügbarkeit: (Hoch)Schulmathematik

(Hoch)Schulmathematik: ein Sprungbrett vom Gymnasium an die Uni = Hochschulmathematik

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Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser:	Glosauer, Tobias (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	German
Veröffentlicht:	Wiesbaden, Germany Springer Spektrum [2019]
Ausgabe:	3. Auflage
Schriftenreihe:	Lehrbuch
Schlagworte:	Schulmathematik PB ; BISAC Subject Heading Brückenkurs Mathematik Mathematik Studienbeginn Studienanfänger Mathematik Vorkurs Mathematik Übergang Schule Hochschule A ; Springer Nature Marketing Classification PB ; BIC subject category Lehrbuch
Online-Zugang:	Inhaltstext Inhaltsverzeichnis
Beschreibung:	xiii, 478 Seiten Diagramme 24 cm x 17 cm
ISBN:	9783658245733 3658245735

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adam_text	INHALT I FORMALES FUNDAMENT 1 1 EIN WENIG LOGIK.................................................................................. 3 1.1 A USSAGENLOGIK................................................................................................ 3 1.1.1 AUSSAGEN............................................................................................. 3 1.1.2 J U N K TO R E N .......................................................................................... 5 1.1.3 NICHT ................................................................................................ 6 1.1.4 UND .......................................................................... 7 1.1.5 (ENTWEDER) ODER ............................................................................. 7 1.1.6 WENN ..., DANN ... ....................................................................... 7 1.1.7 ... GENAU DANN, WENN ... ........................................................... 8 1.1.8 AUSSAGENLOGISCHE F O RM E LN .............................................................. 9 1.1.9 AUSSAGENLOGISCHE AEQUIVALENZ........................................................... 10 1.2 AUSBLICK AUF DIE PRAEDIKATENLOGIK..................................................................... 14 1.2.1 PRAEDIKATE UND IN D IV ID U E N .................................................................. 14 1.2.2 DER A LLQ U A N TO R ................................................................................ 15 1.2.3 DER E X ISTEN ZQ U AN TO R....................................................................... 16 2 B EW EISM ETHODEN..................................................................................19 2.1 EXKURS: GRUNDWISSEN UEBER Z A H LE N ............................................................. 19 2.2 DIREKTER B E W E IS ................................................................................ 21 2.3 INDIREKTER B E W E IS ............................................................................................. 25 2.3.1 K O N TRA P O SITIO N .................................................................................... 25 2.3.2 WIDERSPRUCHSBEWEIS ........................................................................... 27 2.4 BEWEIS DURCH VOLLSTAENDIGE INDUKTION...............................................................30 3 MENGEN UND A BB ILDU NGEN.................................................................37 3.1 M ENGEN................................................................................................................ 37 3.1.1 DER M ENGENBEGRIFF.............................................. 37 3.1.2 TEILMENGEN UND M ENGENOPERATIONEN ............................................... 39 3.2 A BBILDUNGEN.......................................................................................................44 3.2.1 DER A BBILDUNGSBEGRIFF........................................................................45 3.2.2 BILD- UND U RBILDM ENGE........................................................................46 3.2.3 IN-, SUR- UND B IJEKTIVITAET.....................................................................49 3.2.4 VERKETTUNG UND UMKEHRABBILDUNG ..................................................... 51 3.2.5 MAECHTIGKEITSVERGLEICHE UNENDLICHER MENGEN ...................................56 3.2.6 AUSBLICK: MAECHTIG UND UEBERM AECHTIG .................................................. 65 II ANFAENGE DER ANALYSIS 69 4 GRENZWERTE VON FOLGEN UND R E IH E N ................................................ 71 4.1 FOLGEN .................................................................................................................71 4.1.1 DER GRENZWERT BE G RIFF ................................................................. ... . 71 4.1.2 DIE G RENZW ERTSAETZE...............................................................................79 4.1.3 EXKURS: DIE VOLLSTAENDIGKEIT VON R ..................... 82 4.1.4 AUSBLICK: CAUCHYFOLGEN ....................................................... 84 4.1.5 MONOTONE F O LG E N ................................................................................. 85 4.1.6 REKURSIVE F O LG E N ................................................................................. 87 4.2 R E IH E N ...................................................................................... 93 4.2.1 REIHEN ALS SPEZIELLE F O LG E N .................................................................. 93 4.2.2 DIE GEOMETRISCHE R E IH E ........................................................................ 96 4.2.3 DIE EULERSCHE ZAHL .............................................................................101 4.2.4 KONVERGENZKRITERIEN FUER R E IH E N .......................................................105 4.2.5 AUSBLICK: P OTENZREIHEN ...................................................................... 108 4.2.6 AUSBLICK: E-FUNKTION UND NATUERLICHER LOGARITHM US ........................ 112 5 GRUNDWISSEN DIFFERENZIALRECHNUNG ............................................... .117 5.1 DIE ABLEITUNG . ..................................................................................................117 5.1.1 DIE STEIGUNG EINER K U RV E................................................................... 117 5.1.2 DER GRENZWERT DER SEKANTENSTEIGUNGEN .......................................... 119 5.1.3 DIE TANGENTENGLEICHUNG ................................................................... 123 5.1.4 LINEARE A PPROXIM ATION ...................................................................... 125 5.1.5 DIFFERENZIERBARKEIT .............................................................................126 5.2 ABLEITUNGSREGELN ............................................................. 132 5.2.1 FAKTOR- UND SUM M ENREGEL ................................................................ 132 5.2.2 DIE P OTENZREGEL...................................................................................133 5.2.3 DIE ABLEITUNG VON SINUS UND C OSINUS..............................................134 5.2.4 DIE P RO D U K TRE G E L................................................................................137 5.2.5 DIE K ETTEN REG EL...................................................................................139 5.2.6 ABLEITUNG DER UMKEHRFUNKTION ..................................... 143 5.2.7 DIE QUOTIENTENREGEL.............................................................................146 5.2.8 VERMISCHTE UE B U N G E N ........................ 147 5.3 AUSBLICK: ABLEITEN VON POTENZREIHEN............................................................. 148 5.4 AUSBLICK: T A Y LO RRE IH E N ...................................................................................149 6 GRUNDWISSEN INTEGRALRECHNUNG.......................................................155 6.1 STAM M FUNKTIONEN................................................................................... 155 6.2 DAS BESTIMMTE IN TE G RA L ....................................................... 159 6.2.1 DIE S TREIFEN M ETH O D E ......................................................................... 159 6.2.2 DAS DARBOUX-INTEGRAL ......................................................................... 164 6.2.3 DAS RIEMANN-INTEGRAL . ......................................................................168 6.2.4 INTEGRAL UND F LAE C H E .............................................................................173 6.3 DER HAUPTSATZ DER DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG .............................. 175 6.4 UNEIGENTLICHE I N TE G R A LE ............... 180 I NHALT XI III RECHENFERTIGKEITEN 183 7 LOESEN VON (UN)GLEICHUNGEN . ..................................................... 185 7.1 POLYNOM (UN)GLEICHUNGEN ............................... ........................................ ... . 185 7.1.1 LINEARE UND QUADRATISCHE G LEICH U N G EN .......................................... 185 7.1.2 GLEICHUNGEN HOEHEREN GRADES . . . ................................................. 186 7.1.3 POLYNOMUNGLEICHUNGEN ............... 189 7.2 BRUCH(UN)GLEICHUNGEN......................................................................................193 7.2.1 BRUCHGLEICHUNGEN........................................ 193 7.2.2 BRUCHUNGLEICHUNGEN ............................................................................ 194 7.3 W URZEL(UN)GLEICHUNGEN .................................................................................. 198 7.3.1 W URZELGLEICHUNGEN ....................................................... 198 7.3.2 W URZELUNGLEICHUNGEN........................................ 199 7.4 BETRAGS(UN)GLEICHUNGEN .................................................... 200 7.4.1 BETRAGSGLEICHUNGEN UND BETRAGSFUNKTIONEN .................................... 200 7.4.2 BETRAGSUNGLEICHUNGEN........................................... 204 7.5 EXPONENTIAL(UN)GLEICHUNGEN . ........................ 205 7.5.1 EXPONENTIALGLEICHUNGEN. . . .................................... 205 7.5.2 EXPONENTIALUNGLEICHUNGEN . . .......................................... 208 7.6 ANHANG: POLYNOM DIVISON............................................................................... 209 8 DIE KUNST DES INTEGRIERENS.................................. 213 8.1 P RO D U K TIN TEG RA TIO N ........................................................................................ 213 8.2 INTEGRATION DURCH S U B STITU TIO N ...................................................................... 218 8.2.1 DIE S UB STITU TIO N SREG EL.............................................. 218 8.2.2 TRIGONOMETRISCHE S U B STITU TIO N .................. 221 8.2.3 HYPERBOLISCHE SUBSTITUTION................................................................229 8.3 INTEGRATION DURCH PARTIALBRUCHZERLEGUNG . . ................................................232 8.4 VERMISCHTE UEBUNGEN ........................................... 236 IV ABSTRAKTE ALGEBRA 237 9 KOMPLEXE ZAHLEN................................................................... .239 9.1 UEBERBLICK UEBER DIE BEKANNTEN ZAHLBEREICHE ................................................ 239 9.2 EINFUEHRUNG DER KOMPLEXEN ZAHLEN C ..............................................................240 9.2.1 KONSTRUKTION VON C ........................ 240 9.2.2 RECHNEN MIT KOMPLEXEN Z A H LE N ...................................................... 244 9.2.3 KOMPLEXE KONJUGATION UND B E T R A G ................................................ 247 9.3 DER KOERPER DER KOMPLEXEN ZAHLEN . ............................................................... 252 9.3.1 WAS IST EIN K OERPER?.................................................... 252 9.3.2 UNMOEGLICHKEIT DER ANORDNUNG VON C ...............................................257 9.3.3 AUSBLICK: DER QUATERNIONENSCHIEFKOERPER....................................... 258 9.4 POLARFORM KOMPLEXER Z A H LE N .........................................................................260 9.4.1 POLAR KO O RD IN A TEN ....................................................... 260 9.4.2 EULERS I D E N TITAE T.................................................................................. 262 9.4.3 MULTIPLIKATION IN P O LA RFO RM ............................................................. 264 9.4.4 KOMPLEXE Q UADRATW URZELN................................................................ 265 9.4.5 EXKURS: BEWEIS TRIGONOMETRISCHER I D E N T I TAE TE N .............................. 269 9.5 ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN IN C ....................................................................... 270 9.5.1 QUADRATISCHE G LEICHUNGEN................................................................ 270 9.5.2 DIE KREISTEILUNGSGLEICHUNG................................................................ 272 9.5.3 AUSBLICK: DER FUNDAMENTALSATZ DER A LG E B RA ................................. 276 10 GRUNDZUEGE DER LINEAREN A LGEBRA.....................................................279 10.1 V EKTORRAEUM E..................................................................................................... 279 10.1.1 ZWEI NUR AUF DEN ERSTEN BLICK VERSCHIEDENE B E IS P IE LE ................... 279 10.1.2 DIE VEKTORRAUM AXIOM E...................................................................... 281 10.1.3 BEISPIELE FUER V EK TO RRAE U M E ................................................................ 283 10.1.4 UNTERVEKTORRAEUME ............................................................................... 288 10.1.5 BASIS UND DIM ENSION.......................................................................... 291 10.2 LINEARE A B B ILD U N G E N ......................................................................................299 10.2.1 DEFINITION UND BEISPIELE LINEARER A BBILD U N G EN ..............................300 10.2.2 KERN UND BILD EINER LINEAREN A B B ILD U N G ....................................... 304 10.2.3 ISOM ORPHIE................................................................. 310 10.3 M A TRIZ E N ........................................................................................................... 314 10.3.1 DIE MATRIX EINER LINEAREN A B B ILD U N G ............................................. 314 10.3.2 DAS M A TRIX P RO D U K T ............................................................................ 323 10.4 AUSBLICK: LGS UND DETERM INANTEN..................................................................328 10.4.1 HOMOGENE L G S ...................................................................................328 10.4.2 DIE D ETERM INANTE ........................ 332 10.4.3 INHOMOGENE L G S ............................................................................... 334 V ANHANG 337 EIN PAAR UE BUNGSKLAUSUREN ...................................................................... 339 KLAUSUR ZU LOGIK UND BEWEISMETHODEN ........................................... 340 KLAUSUR ZU MENGEN UND A B B ILD U N G E N ................................................................... 341 KLAUSUR ZU F O LG E N ..................................................................................................... 342 KLAUSUR ZU (U N)G LEICHUNGEN...................................................................................343 KLAUSUR ZU INTEGRATIONSM ETHODEN............................................................................ 344 KLAUSUR ZU KOMPLEXEN Z A H LEN .................................................................................. 345 KLAUSUR ZUR LINEAREN A LGEBRA .................................................................................. 346 LOESUNGEN ZU DEN UE BUNGSAUFGABEN ........................................................ 347 LOESUNGEN ZU KAPITEL 1 ............................................................................................... 347 LOESUNGEN ZU KAPITEL 2 ............................................................................................... 352 LOESUNGEN ZU KAPITEL 3 .......................................................... 365 LOESUNGEN ZU KAPITEL 4 . . . ........................................................................................ 378 LOESUNGEN ZU KAPITEL 5 .............................................. 395 LOESUNGEN ZU KAPITEL 6 ...............................................................................................400 I NHALT XIII LOESUNGEN ZU KAPITEL 7 ..............................................................................................404 LOESUNGEN ZU KAPITEL 8 ..............................................................................................420 LOESUNGEN ZU KAPITEL 9 ..............................................................................................440 LOESUNGEN ZU KAPITEL 1 0 ...........................................................................................455 STICHWORTVERZEICHNIS..................................................................................475
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