Verfügbarkeit: Höhere Mathematik für Dummies

Höhere Mathematik für Dummies:

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Bibliographische Detailangaben
Vorheriger Titel:	Räsch, Thoralf Mathematik der Physiker für Dummies
1. Verfasser:	Räsch, Thoralf 1974- (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	German
Veröffentlicht:	Weinheim Wiley 2019
Ausgabe:	1. Auflage
Schriftenreihe:	... für dummies Lernen einfach gemacht
Schlagworte:	Analysis Mathematik Lineare Algebra Differentialgleichung Mathematik / Analysis Mathematik in den Naturwissenschaften Physikstudium Lehrbuch
Online-Zugang:	Ausführliche Beschreibung Inhaltsverzeichnis
Beschreibung:	Auf dem Cover: "Die ein- und mehrdimensionale Analysis verstehen", "Hauptachsentransformation und Euklidische Vektorräume kennenlernen", "Fouriertransformationen und Differentialgleichungen meistern"
Beschreibung:	457 Seiten Illustrationen, Diagramme
ISBN:	9783527716234 3527716238

Internformat

MARC


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Datensatz im Suchindex

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adam_text	INHALTSVERZEICHNIS UEBER DEN AUTOR ............................................................................. 23 DANKSAGUNG ............................................................................................................ 23 EINLEITUNG ....................................................................................... 25 EIN LEICHT VERSTAENDLICHER EINSTIEG IN DIE HOEHERE MATHEMATIK ANHAND VON BEISPIELEN ......................................................................................................... 25 UEBERALL PRAKTISCHE BEISPIELE ................................................................................... 26 TOERICHTE ANNAHMEN UEBER DEN LESER ........................ 26 KONVENTIONEN IN DIESEM BUCH ................................................................................. 27 WIE DIESES BUCH STRUKTURIERT IST ............................................................................... 27 TEIL I: EINDIMENSIONALE ANALYSIS ..................................................................... 27 TEIL II: LINEARE ALGEBRA .................................................................................... 28 TEIL III: KOMPLEXE ANALYSIS UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ............................... 28 TEIL IV: MEHRDIMENSIONALE ANALYSIS ............................................................... 28 TEIL V: DER TOP-TEN-TEIL .................................................................................... 29 DIE SYMBOLE IN DIESEM BUCH ........................................................................ 29 DEN MODULAREN AUFBAU FUER SICH NUTZEN ................................................................ 29 TEIL I EINDIMENSIONALE ANALYSIS ..................................................... 31 KAPITEL 1 GRUNDLAGEN DER ANALYSIS ............................................................. 33 WAS FUNKTIONEN EIGENTLICH SIND ............................................................................... 33 GRAPHISCHE DARSTELLUNG VON FUNKTIONEN ................................................................. 35 POLYNOME EINFACH VERSTEHEN .................................................................................... 36 BRUCHRECHNUNG: RATIONALE FUNKTIONEN .................................................................... 39 RASCH WACHSENDE EXPONENTIALFUNKTIONEN .............................................................. 40 UMGEKEHRT BETRACHTET: LOGARITHMUSFUNKTIONEN ..................................................... 41 VON UMKEHR- UND INVERSEN FUNKTIONEN ................................................................... 43 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN .................................................................................. 44 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN ZEICHNEN ......................................................... 45 IDENTIFIKATION MIT TRIGONOMETRISCHEN IDENTITAETEN ........................................... 46 GRENZWERTE EINER FUNKTION VERSTEHEN ..................................................................... 46 DREI FUNKTIONEN ERKLAEREN DEN GRENZWERTBEGRIFF ............................................. 47 LINKS- UND RECHTSSEITIGE GRENZWERTE ............................................................... 48 DIE FORMALE DEFINITION EINES GRENZWERTES - WIE ERWARTET! .......................... 48 UNENDLICHE GRENZWERTE UND VERTIKALE ASYMPTOTEN ....................................... 49 GRENZWERTE FUER X GEGEN UNENDLICH .................................................................. 50 GRENZWERTE UND STETIGKEIT VON FUNKTIONEN ............................................................. 50 EINFACHE GRENZWERTE AUSWERTEN ............................................................................ 53 EINFACHSTE METHODE: EINSETZEN UND AUSWERTEN ...................................................... 53 14 INHALTSVERZEICHNIS ECHTE AUFGABENSTELLUNGEN MIT GRENZWERTEN ......................................................... 54 METHODE 1: FAKTORISIEREN ............................................................................... 54 METHODE 2: KONJUGIERTE MULTIPLIKATION .......................................................... 54 METHODE 3: EINFACHE ALGEBRAISCHE UMFORMUNGEN ....................................... 55 METHODE 4: DAS GRENZWERT-SANDWICH ........................................................... 56 GRENZWERTE BEI UNENDLICH AUSWERTEN .................................................................... 57 GRENZWERTE BEI UNENDLICH UND HORIZONTALE ASYMPTOTEN ............................. 58 ALGEBRAISCHE TRICKS FUER GRENZWERTE BEI UNENDLICH VERWENDEN .................... 59 KAPITEL 2 DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN EINER VERAENDERLICHEN ........... 61 ERSTE SCHRITTE DES ABLEITENS .................................................................................... 62 SEIN ODER NICHT SEIN? DREI FAELLE, IN DENEN DIE ABLEITUNG NICHT EXISTIERT ................ 62 GRUNDLEGENDE REGELN DER DIFFERENTIATION ............................................................. 64 DIE KONSTANTENREGEL ....................................................................................... 64 DIE POTENZREGEL ............................................................................................... 64 DIE KOEFFIZIENTENREGEL .................................................................................... 65 DIE SUMMENREGEL - UND DIE KENNEN SIE SCHON ............................................ 65 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN DIFFERENZIEREN ............................................... 65 EXPONENTIELLE UND LOGARITHMISCHE FUNKTIONEN DIFFERENZIEREN ..................... 66 FORTGESCHRITTENE REGELN DER DIFFERENTIATION .......................................................... 67 DIE PRODUKTREGEL ............................................................................................ 67 DIE QUOTIENTENREGEL ...................................................................................... 67 DIE KETTENREGEL .............................................................................................. 68 IMPLIZITE DIFFERENTIATION .......................................................................................... 71 LOGARITHMISCHE DIFFERENTIATION .............................................................................. 72 DIFFERENTIATION VON UMKEHRFUNKTIONEN .................................................................. 73 KEINE ANGST VOR HOEHEREN ABLEITUNGEN ................................................................... 75 KURVENDISKUSSION: EXTREM-, WENDE- UND SATTELPUNKTE ........................................ 76 BERG UND TAL: POSITIVE UND NEGATIVE STEIGUNGEN ........................................... 76 BAUCHGEFUEHLE: KONVEXITAET UND WENDEPUNKTE .............................................. 77 AM TIEFPUNKT ANGELANGT: EIN LOKALES MINIMUM ............................................ 77 ATEMBERAUBENDER BLICK: DAS GLOBALE MAXIMUM ......................................... 78 ACHTUNG - NICHT AUF DER SPITZE STECKEN BLEIBEN ........................................... 78 HALTEN SIE SICH FEST - NUN GEHT S BERGAB! ...................................................... 78 JETZT WIRD S KRITISCH AN DEN PUNKTEN! .............................................................. 78 LOKALE EXTREMWERTE FINDEN .................................................................................... 79 DIE KRITISCHEN WERTE SUCHEN .......................................................................... 80 DER TEST MIT DER ERSTEN ABLEITUNG - WACHSEND ODER FALLEND? ...................... 81 DER TEST MIT DER ZWEITEN ABLEITUNG - KRUEMMUNGSVERHALTEN! ...................... 82 GLOBALE EXTREMWERTE FINDEN .................................................................................. 83 KONVEXITAET UND WENDEPUNKTE PRAKTISCH BESTIMMEN ............................................ 85 DIE GRAPHEN VON ABLEITUNGEN - JETZT WIRD GEZEICHNET! ......................................... 87 DER ZWISCHENWERTSATZ - ES GEHT NICHTS VERLOREN ................................................... 90 DER MITTELWERTSATZ - ES BLEIBT IHNEN NICHT(S) ERSPART! ........................................... 92 DAS NUETZLICHE TAYLORPOLYNOM ......................................................................... 93 INHALTSVERZEICHNIS 15 DIE REGEL VON L HOSPITAL ......................................................................................... 96 NICHT AKZEPTABLE FORMEN IN FORM BRINGEN ................................................... 98 KOMBINIEREN DER METHODEN - NUR GEDULD! ................................................... 98 KAPITEL 3 VON FOLGEN UND REIHEN ................................................................. 101 FOLGEN UND REIHEN: WORUM ES EIGENTLICH GEHT ...................................................... 101 FOLGEN ANEINANDERREIHEN ....................................................................................... 102 KONVERGENZ UND DIVERGENZ VON FOLGEN ................................................................. 103 GRENZWERTE MIT HILFE DER REGEL VON L HOSPITAL BESTIMMEN .................................. 104 REIHEN SUMMIEREN .................................................................................................. 105 PARTIALSUMMEN .............................................................................................. 105 KONVERGENZ ODER DIVERGENZ EINER REIHE ...................................................... 105 KONVERGENZ ODER DIVERGENZ? DAS IST HIER DIE FRAGE! ..................................... 107 DAS EINFACHSTE KRITERIUM AUF DIVERGENZ: EINE NOTWENDIGE BEDINGUNG ................ 107 DREI GRUNDLEGENDE REIHEN UND DIE ZUGEHOERIGEN PRUEFUNGEN AUF KONVERGENZ BEZIEHUNGSWEISE DIVERGENZ .............................................................. 108 GEOMETRISCHE REIHEN .................................................................................... 108 HARMONISCHE REIHE ....................................................................................... 109 TELESKOP-REIHEN ............................................................................................. 110 DREI VERGLEICHSKRITERIEN FUER KONVERGENZ BEZIEHUNGSWEISE DIVERGENZ ................. 111 DER DIREKTE VERGLEICH - MINORANTENVMAJORANTENKRITERIUM ......................... 111 DAS GRENZWERTKRITERIUM ................................................................................ 112 QUOTIENTEN- UND WURZELKRITERIUM ......................................................................... 114 DAS QUOTIENTENKRITERIUM .............................................................................. 114 DAS WURZEL-KRITERIUM .................................................................................... 115 ALTERNIERENDE REIHEN ..................................................................................... 116 ABSOLUTE ODER NORMALE KONVERGENZ - DAS IST DIE FRAGE! ...................................... 116 LEIBNIZ UND DAS KRITERIUM FUER ALTERNIERENDE REIHEN ............................................. 117 ABLEITUNGEN UND INTEGRALE FUER GRENZPROZESSE NUTZEN ................................. 120 EINE ERSTE SPEZIELLE REIHENART, DIE POTENZREIHEN ......................................... 122 POTENZREIHEN (ER)KENNEN ....................................................................................... 122 KONVERGENZBEREICH VON POTENZREIHEN ................................................................... 123 RECHNEN SIE MIT POTENZREIHEN ............................................................................... 124 EINE ZWEITE SPEZIELLE REIHENART, DIE TAYLORREIHEN ......................................... 125 KAPITEL 4 EINDIMENSIONALE INTEGRATION ....................................................... 127 DAS BESTIMMTE INTEGRAL - FLAECHEN BERECHNEN ...................................................... 127 STAMMFUNKTIONEN SUCHEN - RUECKWAERTS ABLEITEN .................................................. 129 FLAECHENFUNKTIONEN BESCHREIBEN ............................................................................. 130 ACHTUNG TUSCH: DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG ............... 131 DER ANDERE HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG ............................. 132 STAMMFUNKTIONEN FINDEN - DREI GRUNDLEGENDE TECHNIKEN .................................. 135 UMKEHRREGELN FUER STAMMFUNKTIONEN ............................................................ 135 UMKEHRREGELN ZUM AUFWAERMEN .................................................................... 135 DIE UMGEKEHRTE POTENZREGEL .......................................................................... 135 16 INHALTSVERZEICHNIS GENIAL EINFACH: RATEN UND PRUEFEN .......................................................................... 136 DIE SUBSTITUTIONSMETHODE ..................................................................................... 137 FLAECHEN MITHILFE VON SUBSTITUTIONSAUFGABEN BESTIMMEN ..................................... 140 PARTIELLE INTEGRATION: TEILE UND HERRSCHE! .............................................................. 141 WAEHLEN SIE WEISE! ................................................................................................... 143 PARTIELLE INTEGRATION: IMMER WIEDER DASSELBE! ...................................................... 144 IM KREIS GELAUFEN UND DOCH AM ZIEL ...................................................................... 145 INTEGRALE MIT SINUS UND KOSINUS ............................................................................ 146 FALL 1: DIE POTENZ VOM SINUS IST UNGERADE UND POSITIV ................................ 146 FALL 2: DIE POTENZ VOM KOSINUS IST UNGERADE UND POSITIV ............................. 147 FALL 3: DIE POTENZEN VON SINUS UND KOSINUS SIND GERADE ABER NICHT NEGATIV ................................................................................................... 147 INTEGRIEREN MIT DEM A-B-C DER PARTIALBRUECHE ....................................................... 148 FALL 1: DER NENNER ENTHAELT NUR LINEARE FAKTOREN ........................................... 149 FALL 2: DER NENNER ENTHAELT NICHT ZU KUERZENDE QUADRATISCHE FAKTOREN ......... 150 FALL 3: DER NENNER ENTHAELT LINEARE ODER QUADRATISCHE FAKTOREN IN HOEHERER POTENZ ........................................................................................... 151 BONUSRUNDE - DER KOEFFIZIENTENVERGLEICH .................................................... 152 INTEGRALE RATIONALER FUNKTIONEN VON SINUS UND KOSINUS ....................................... 153 GRAU IST ALLE THEORIE - PRAKTISCHE INTEGRALE! .......................................................... 153 DIE FLAECHE ZWISCHEN ZWEI FUNKTIONEN BERECHNEN ........................................ 154 BOGENLAENGEN BESTIMMEN .............................................................................. 156 OBERFLAECHEN VON EINFACHEN ROTATIONSKOERPERN BESTIMMEN ........................... 158 TEIL II LINEARE ALGEBRA .......................................................................... 161 KAPITEL 5 DIE GRUNDLAGEN: VEKTORRAEUME UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME ........................................................................ 163 VEKTOREN ERLEBEN .................................................................................................... 163 VEKTOREN VERANSCHAULICHEN ............................................................................ 164 MIT VEKTOREN ANSCHAULICH RECHNEN ............................................................... 166 MIT VEKTOREN RECHNEN ............................................................................................. 167 BETRAG EINES VEKTORS BERECHNEN .................................................................... 170 DAS SKALARPRODUKT VON VEKTOREN BERECHNEN ................................................ 171 SCHOENE VEKTORRAUMTEILMENGEN: UNTERVEKTOR RAEUME BESTIMMEN ........................ 174 VEKTOREN UND IHRE KOORDINATEN BESTIMMEN .......................................................... 176 PUNKTE, GERADEN UND EBENEN IM DREIDIMENSIONALEN RAUM ................................ 179 ARTEN VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN ............................................................... 180 HOMOGENE GLEICHUNGSSYSTEME ............................................................................. 181 INHOMOGENE GLEICHUNGSSYSTEME ........................................................................... 181 UEBERBESTIMMTE GLEICHUNGSSYSTEME ..................................................................... 182 UNTERBESTIMMTE GLEICHUNGSSYSTEME .................................................................... 182 QUADRATISCHE GLEICHUNGSSYSTEME .......................................................................... 183 NICHT LOESBARE GLEICHUNGSSYSTEME .......................................................................... 184 GRAPHISCHE LOESUNGSANSAETZE FUER LG 5 ..................................................................... 184 INHALTSVERZEICHNIS 17 KAPITEL 6 UEBERLEBEN IN DER WELT DER MATRIZEN ........................................... 185 WAS MATRIZEN WIRKLICH SIND ..................................................................................... 185 ADDITION VON MATRIZEN ................................................................................... 186 SKALARMULTIPLIKATION VON MATRIZEN ................................................................ 187 MULTIPLIKATION VON MATRIZEN ........................................................................... 187 MATRIZEN IN PRODUKTIONSPROZESSEN ............................................................... 188 TRANSPONIERTE UND SYMMETRISCHE MATRIZEN ........................................................... 190 KEINE ANGST VOR INVERSEN MATRIZEN ........................................................................ 191 MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME ............................................................. 192 DAS LOESUNGSVERFAHREN: DER GAUSSSCHE ALGORITHMUS .................................... 192 DER RANG VON MATRIZEN ................................................................................. 197 MATRIZEN INVERTIEREN IN DER PRAXIS ................................................................ 198 KRITERIEN FUER DIE LOESBARKEIT VON HOMOGENEN GLEICHUNGSSYSTEMEN ............. 199 KRITERIEN FUER DIE LOESBARKEIT VON INHOMOGENEN GLEICHUNGSSYSTEMEN ......... 200 MATRIZEN UND LINEARE ABBILDUNGEN ........................................................................ 200 LINEARE ABBILDUNGEN AN BEISPIELEN .............................................................. 201 MATRIZEN ALS LINEARE ABBILDUNGEN ................................................................. 202 BILDER UND KERNE, RAENGE UND DEFEKTE - IN DER THEORIE ............................... 202 BILDER UND KERNE, RAENGE UND DEFEKTE - IN DER PRAXIS.................................. 203 LINEARE ABBILDUNGEN DURCH MATRIZEN DARSTELLEN .......................................... 205 MATRIZEN UND IHRE DETERMINANTEN ........................................................................ 207 DETERMINANTEN VON 2X2- MATRIZEN ............................................................. 207 DETERMINANTEN VON 3X3- MATRIZEN ............................................................. 207 DETERMINANTEN VON ALLGEMEINEN MATRIZEN ................................................... 208 DETERMINANTEN, MATRIZEN & LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME ............................. 210 DIE CRAMERSCHE REGEL ......... .......................................................................... 211 DIE INVERSEN MITTELS ADJUNKTENFORMEL BERECHNEN ....................................... 213 FLAECHEN UND VOLUMINA MITTELS DETERMINANTEN BERECHNEN ......................... 215 KREUZPRODUKT VON VEKTOREN .......................................................................... 216 KAPITEL 7 DAS MATRIZEN-FINALE: HAUPTACHSENTRANSFORMATIONEN UND EUKLIDISCHE VEKTORRAEUME ..................................................... 219 BASISTRANSFORMATION ............................................................................................... 220 AUF DEN MASSSTAB KOMMT ES AN! .................................................................... 220 GEBEN SIE MIR IHRE KOORDINATEN! .................................................................. 221 MATRIXDARSTELLUNG BEI UNTERSCHIEDLICHEN BASEN .......................................... 223 BASISTRANSFORMATIONSMATRIZEN ...................................................................... 225 UEBERZEUGENDE DIAGRAMME .......................................................................... 226 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN .............................................................................. 228 WAS SIND EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN? .................................................... 228 EIGENWERTE EINER MATRIX BERECHNEN .............................................................. 228 EIGENVEKTOREN EINER MATRIX BERECHNEN ........................................................ 230 EIGENRAEUME FINDEN UND ANALYSIEREN ............................................................. 231 MATRIZEN DIAGONALISIEREN ....................................................................................... 232 18 INHALTSVERZEICHNIS DREHUNGEN UND SPIEGELUNGEN ................................................................................ 236 DREHUNGEN IN DER EBENE ................................................................................ 237 BERECHNUNG DES DREHWINKELS IN DER EBENE .................................................. 239 SPIEGELUNGEN IN DER EBENE ............................................................................ 239 BERECHNUNG DER SPIEGELACHSE IN DER EBENE .................................................. 241 DREHUNGEN IM DREIDIMENSIONALEN RAUM ...................................................... 244 MIT SKALARPRODUKTEN MESSEN KOENNEN .................................................................... 247 STARTEN MIT DEM STANDARD-SKALARPRODUKT ..................................................... 248 DIE ALLGEMEINEN SKALARPRODUKTE ................................................................... 250 DIE NORM ALS LAENGENBEGRIFF VERSTEHEN ......................................................... 251 WICHTIGE EIGENSCHAFTEN DER NORM ................................................................. 251 ALLES SENKRECHT? - ORTHOGONALITAET ERWUENSCHT ....................................................... 252 DEN OEFFNUNGSWINKEL ZWISCHEN VEKTOREN (ER)KENNEN .................................... 252 ALLGEMEINE EUKLIDISCHE VEKTORRAEUME UNTERSUCHEN ...................................... 253 ORTHOGONALE VEKTOREN ALLGEMEIN BESCHREIBEN ............................................. 254 ORTHOGONALSYSTEME UND ORTHOGONALE BASEN ............................................... 254 ORTHONORMALE SYSTEME UND ORTHONORMALE BASEN ...................................... 255 TEIL III KOMPLEXE ANALYSIS, FOURIERANALYSIS UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN .............................................. 259 KAPITEL 8 NICHT REELL ABER REAL - DIE KOMPLEXEN ZAHLEN ........................... 261 WAS KOMPLEXE ZAHLEN WIRKLICH SIND ....................................................................... 261 KOMPLEXE RECHENOPERATIONEN .............................................................................. 263 DIE KOMPLEXE ADDITION ................................................................................... 263 DIE KOMPLEXE MULTIPLIKATION .......................................................................... 263 DIE KONJUGIERTE EINER KOMPLEXEN ZAHL .......................................................... 264 DIE KOMPLEXE DIVISION .................................................................................... 265 ZUSAMMENHAENGE ZWISCHEN DEN KOMPLEXEN OPERATIONEN .......................... 265 KOMPLEXE QUADRATISCHE GLEICHUNGEN ............................................................ 266 DARSTELLUNG KOMPLEXER ZAHLEN ALS PAARE REELLER ZAHLEN ............................... 267 DARSTELLUNG KOMPLEXER ZAHLEN DURCH POLARKOORDINATEN .............................. 268 KOMPLEXE POTENZEN UND WURZELN .................................................................. 271 ANWENDUNGEN KOMPLEXER ZAHLEN .................................................................. 273 KAPITEL 9 FUNKTIONENTHEORIE: KOMPLEXE FUNKTIONEN ............................... 277 TUSCH BITTE: HOLOMORPHE FUNKTIONEN .................................................................... 277 KOMPLEXE VERSUS REELLE DIFFERENZIERBARKEIT ........................................................... 281 ELEMENTARE KOMPLEXE FUNKTIONEN .......................................................................... 282 KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION .............................................................................. 282 KOMPLEXE LOGARITHMUSFUNKTION ............................................................................ 283 KOMPLEXE TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN ............................................................... 284 NICHT UEBER ISOLIERTE SINGULARITAETEN STOLPERN .......................................................... 284 NOCH MEHR REIHEN: DIE LAURENTREIHEN ................................................................... 286 INHALTSVERZEICHNIS 19 (FAST) KEINE ANGST VOR DEN RESIDUEN ..................................................................... 287 KOMPLEXE KURVENINTEGRALE BERECHNEN ................................................................... 288 INTEGRALE MITTELS PARAMETRISIERUNGEN LOESEN ......................................................... 289 INTEGRALE MITTELS STAMMFUNKTIONEN LOESEN ............................................................. 290 INTEGRALE MITTELS RESIDUENSATZ LOESEN ..................................................................... 290 INTEGRALE MITTELS CAUCHYSCHER INTEGRALFORMELN LOESEN ........................................... 291 PRAKTISCHE ANWENDUNG DER KOMPLEXEN AUF REELLE INTEGRALE ................................. 292 KAPITEL 10 FOURIERREIHEN UND -INTEGRALE ....................................................... 295 PERIODISCHE FUNKTIONEN ERKENNEN UND ERSCHAFFEN ............................................... 295 DER PERIODISCHE FALL: FOURIERREIHEN ....................................................................... 297 DIE KOMPLEXE FORM DER FOURIERREIHE ..................................................................... 301 DER NICHT-PERIODISCHE FALL: FOURIERTRANSFORMATION ............................................... 302 PRAKTISCHE BERECHNUNG DER FOURIERTRANSFORMIERTEN ............................................. 304 ANWENDUNG DER FOURIERANALYSE - KURZGEFASST ...................................................... 306 KAPITEL 11 GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ....................................... 309 EINFUEHRENDE GEDANKEN ZU DIFFERENTIALGLEICHUNGEN .............................................. 309 MIT ISOKLINEN ZUR LOESUNG ........................................................................................ 311 DIE FRAGE NACH DER EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT ..................................................... 314 EINFACHE SPEZIALFAELLE VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ................................................ 315 DER EINFACHSTE FALL: Y = F(X) .................................................................................... 315 DER FALL: Y - F(X) * G(Y) - TRENNUNG DER VARIABLEN .................................................. 315 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG ................................................... 317 HOMOGENE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG ................................ 317 INHOMOGENE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG ............................. 318 PRAKTISCHE LOESUNGSMETHODE: VARIATION DER KONSTANTEN .............................. 320 SYSTEME GEWOEHNLICHER LINEARER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG ........... 321 HOMOGENE SYSTEME MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN .............................................. 322 INHOMOGENE SYSTEME MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN ............................................ 324 GEWOEHNLICHE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN ................................................................................ 326 AEQUIVALENZ EINER DIFFERENTIALGLEICHUNG N-TER ORDNUNG MIT EINEM SYSTEM ERSTER ORDNUNG ....................................................................................................... 327 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN N-TER ORDNUNG LOESEN ........................................... 328 HOMOGENE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN N-TER ORDNUNG ................................. 328 HOMOGENE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN N-TER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN ........... ........................................................................... 329 SPEZIELLE LOESUNG EINER INHOMOGENEN LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNG N-TER ORDNUNG ........................................................................................................ 331 ANWENDUNGEN IN DER SCHWINGUNGSLEHRE ............................................................... 332 20 INHALTSVERZEICHNIS TEIL IV MEHRDIMENSIONALE ANALYSIS .................................................. 335 KAPITEL 12 DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER .............. 337 FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER GRAPHISCH DARSTELLEN ........................................... 338 MIT SCHNITTEN UND NIVEAU ZUM ERFOLG .................................................................... 341 SCHNITTE VON GRAPHEN .................................................................................... 341 HOEHEN- UND NIVEAULINIEN VON GRAPHEN ......................................................... 343 STETIGKEIT VON FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER ...................................................... 344 PARTIELLE ABLEITUNGEN - AUCH HIER EIN KINDERSPIEL .................................................. 346 UNABHAENGIGES PAERCHEN: PARTIELLE ABLEITUNGEN UND STETIGKEIT .............................. 348 TANGENTIALEBENEN ALS TANGENTEN-ALTERNATIVE ......................................................... 349 VOLLES PROGRAMM: TOTALE DIFFERENZIERBARKEIT .......................................................... 349 GEWUENSCHTE ZUGABE: TOTALES DIFFERENTIAL .............................................................. 350 RECHENREGELN DES ABLEITENS FUER FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER ......................... 351 IMPLIZITE FUNKTIONEN DIFFERENZIEREN KOENNEN .......................................................... 353 HOEHERE ABLEITUNGEN: HILFE DURCH DEN SATZ VON SCHWARZ ....................................... 354 KURVENDISKUSSION FUER FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER .......................................... 356 KRITISCHE PUNKTE VON FUNKTIONEN IN HOEHEREN DIMENSIONEN ........................ 356 HINREICHENDE KRITERIEN FUER EXTREMA UND SATTELPUNKTE ................................ 357 HINREICHENDE KRITERIEN FUER FUNKTIONEN IN ZWEI VARIABLEN ............................ 359 EXTREMWERTE UNTER NEBENBEDINGUNGEN ............................................................... 361 NEBENBEDINGUNG MITHILFE DES LAGRANGESCHEN ANSATZES LOESEN .................... 361 NEBENBEDINGUNG MITHILFE DES EINSETZVERFAHRENS LOESEN .............................. 364 KOPF AN KOPF RENNEN - BEIDE VERFAHREN IM DIREKTEN VERGLEICH .................. 365 KAPITEL 13 MEHRDIMENSIONALE INTEGRATION ................................................... 371 FLAECHENINTEGRALE - EIN EINSTIEG .............................................................................. 371 DAS PRINZIP DES CAVALIERI - VOLUMEN DER DREHKOERPER ........................................... 377 VOLUMENINTEGRALE - DER AUFSTIEG ............................................................................ 379 DAS TRAEGHEITSMOMENT EINER HOMOGENEN KUGEL .................................................... 381 VOLUMEN EINES DREIDIMENSIONALEN ROTATIONSKOERPERS ........................................... 382 DAS VOLUMEN DES TORUS AUF ZWEI ARTEN BERECHNEN ............................................... 383 PARAMETRISIERUNG DES TORUS ........................................................................... 384 VOLUMEN DES TORUS ALS ROTATIONSKOERPER ....................................................... 385 VOLUMEN DES TORUS MITHILFE DER ZWEITEN GULDINSCHEN REGEL....................... 387 INTEGRIERBARE FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER - DER GIPFEL ................................... 387 MIT FEINSTER (QUADER-)RASTERUNG ZUM ZIEL KOMMEN ..................................... 388 ENDLICH GEBIETE ERKENNEN ........... ................................................................. 389 OFFENE UND (WEG-)ZUSAMMENHAENGENDE MENGEN ........................................ 390 INTEGRALE UEBERZEUGEND DEFINIEREN UND VERSTEHEN ....................................... 391 SUBSTITUTION DURCH TRANSFORMATION ........................................................................ 393 INHALTSVERZEICHNIS 21 KAPITEL 14 VEKTORANALYSIS IN DREI DIMENSIONEN ........................................... 397 SKALAR-UND VEKTORFELDER ........................................................................................ 397 KEINE ANGST VOR DIFFERENTIALOPERATOREN ................................................................ 399 GRADIENT EINES SKALARFELDES .................................................................................... 400 DIVERGENZ EINES VEKTORFELDES ........................................................................ 400 ROTATION EINES VEKTORFELDES ........................................................................... 402 RECHENREGELN FUER GRADIENT, DIVERGENZ, ROTATION, LAPLACE UND NABLA ......... 403 DAS UEBERSICHTLICHE NABLA-KALKUEL .................................................................... 404 LANGSAM DURCH KURVEN UND IHRE INTEGRALE ............................................................ 405 KURVEN IN DER EBENE UND IM RAUM ............................................................... 406 KURVEN UND IHRE (BOGEN-)LAENGE ..................................................................... 408 MASSEN, SCHWERPUNKTE UND OBERFLAECHEN ROTIERENDER KURVEN ................... 410 DIE OBERFLAECHE DES TORUS AUF ZWEI ARTEN BERECHNEN .................................. 412 SKALARE KURVENINTEGRALE - DER LAENGE NACH INTEGRIEREN ................................ 413 VEKTORIELLE KURVENINTEGRALE - GUT FUER DIE ZIRKULATION .................................... 414 WEGUNABHAENGIGKEIT VON GRADIENTENFELDERN ................................................ 415 INTEGRALE UEBER GESCHLOSSENEN KURVEN .......................................................... 415 INTEGRABILITAETSBEDINGUNG FUER GRADIENTENFELDER ............................................. 416 OBERFLAECHLICH DURCH DEN RAUM .............................................................................. 419 FLAECHEN IM DREIDIMENSIONALEN RAUM ............................................................ 419 MASSEN UND SCHWERPUNKTE VON FLAECHEN IM RAUM ...................................... 421 FLAECHEN ORIENTIEREN - AUSSENSEITEN BESTIMMEN ............................................ 421 SKALARE OBERFLAECHENINTEGRALE - OBERFLAECHEN BERECHNEN ............................. 423 VEKTORIELLE OBERFLAECHENINTEGRALE - IM FLUSS STEHEN ..................................... 423 DEN FLUSS AM KREISKEGEL SCHRITTWEISE BERECHNEN ........................................ 425 FORMELN VON GAUSS, STOKES, GREEN UND MAXWELL .................................................... 428 GAUSSSCHER INTEGRALSATZ - DER ERSTE HOEHEPUNKT ............................................ 428 STOKESSCHER INTEGRALSATZ - DER ZWEITE HOEHEPUNKT ....................................... 429 GREENSCHE FORMELN - IN KUERZE UND WUERZE .................................................. 432 MAXWELLGLEICHUNGEN - KURZ UND KNAPP! ....................................................... 433 TEIL V DER TOP-TEN-TEIL ........................................................................... 435 KAPITEL 15 MEHR ALS ZEHN WICHTIGE FORMELN ................................................ 437 WICHTIGER GRENZWERT .............................................................................................. 437 WICHTIGER MITTELWERTSATZ ........................................................................................ 437 WICHTIGER TAYLORREIHENANSATZ ................................................................................ 438 WICHTIGER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG ............................... 438 WICHTIGER BETRAG EINES VEKTORS .............................................................................. 438 WICHTIGER DIMENSIONSSATZ FUER LINEARE ABBILDUNGEN .............................................. 438 WICHTIGES ORTHONORMALISIERUNGSVERFAHREN .......................................................... 439 WICHTIGE KOMPLEXE WURZELN ................................................................................... 439 WICHTIGER RESIDUENSATZ ......................................................................................... 439 WICHTIGE FOURIERTRANSFORMATION ............................................................................ 439 22 INHALTSVERZEICHNIS WICHTIGE LOESUNG EINER INHOMOGENEN LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNG .................. 440 WICHTIGE HESSEMATRIX ............................................................................................. 440 WICHTIGE INTEGRALE UEBER GEBIETEN .......................................................................... 440 WICHTIGE SAETZE VON GAUSS UND STOKES ..................................................................... 440 BONUSRUNDE: WICHTIGE GLEICHUNG ........................................................................... 441 KAPITEL 16 ZEHN INTERESSANTE ANSAETZE DER PHYSIK ...................................... 443 LORENTZ UND DIE RELATIVEN GESCHWINDIGKEITEN ....................................................... 443 DOPPLERS EFFEKTE ...................................................................................................... 445 KEPLERS PLANETENGESETZE ......................................................................................... 445 GALILEIS FALLGESETZ .................................................................................................... 446 NEWTONS TRAEGHEITSGESETZ ........................................................................................ 446 MAXWELL UND SEINE GLEICHUNGEN ............................................................................ 446 PLANCKS WIRKUNG ..................................................................................................... 447 SCHROEDINGERS GLEICHUNG .......................................................................................... 447 HEISENBERGSCHE UNSCHAERFE .................................................................................... 448 EINSTEINS E = MC 1 UND SEINE SPEZIELLE THEORIE ZUR RELATIVITAET ............................... 448 BONUSRUNDE: EINSTEINS ALLGEMEINE RELATIVITAETSTHEORIE ......................................... 449 STICHWORTVERZEICHNIS ..................................................................... 451
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