Lineare Algebra und diskrete Mathematik:
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Frankfurt
Analogverlag
[2018]
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| Ausgabe: | 1. Auflage |
| Schriftenreihe: | Mathematik für die Informatik / Samuel Hetterich
1 |
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 474 Seiten Illustrationen, Diagramme 25 cm |
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| adam_text | о Inhaltsverzeichnis I Grundlagen 23 1 Grundbegriffe 25 1.1 Mathematische Aussagen............................................................................................. 1.1.1 Bausteine mathematischer Aussagen............................................................... 1.1.2 Ein Wort zu logischen Operatoren.................................................................. 1.1.3 Implikation und Äquivalenz......................................................·.................. 1.1.4 Operatorrangfolge .......................................................................................... 1.1.5 Mathematische Aussagen sortieren und beweisen.......................................... 1.2 Mengen........................................................................................................................ 1.3 Zahlen........................................................................................................................... 1.3.1 Die natürlichen Zahlen.................................................................................... 1.3.2 Die ganzen, rationalen und reellen Zahlen ................................................... 1.4 Abbildungen.................................................................................................................. 1.4.1 Injektivität, Subjektivität und Bijektivität ...................................................... 1.4.2 Spezielle Abbildungen.................................................................................... 1.5
Beweise........................................................................................................................ 1.5.1 Direkter und indirekter Beweis........................................................................ 1.5.2 Beweis von Äquivalenzen................................................................................. 1.5.3 Nützliche Beweistechniken.............................................................................. 1.5.4 Vollständige Induktion............................................... 1.5.5 Beweise - mehr als ein Weg führt nach Rom................................................... 1.6 Relationen.................................................................................................................... 1.6.1 Äquivalenzrelationen....................................................................................... 1.7 Aufgaben .................................................................................................................... 28 28 30 33 35 36 38 43 43 45 46 49 51 56 58 60 61 65 67 69 72 78 Grundlagen der Graphentheorie 83 2.1 Grundlegende Definitionen.......................................................................................... 2.1.1 Nachbarschaft in Graphen.............................................................................. 2.1.2 Gewichtetet Graphen....................................................................................... 2.1.3 Vollständige Graphen....................................................................................... 2.2 Darstellung von
Graphen............................................................................................. 2.2.1 Planare Graphen ............................................................................................ 83 87 89 90 91 92 2
V Inhaltsverzeichnis 2.3 Wege durch Graphen................................................................................................... 96 2.3.1 Eulerzüge durch Graphen................................................................................. 99 2.3.2 Kürzeste Wege finden - der Dijkstra-Algorithmus.......................................... 106 2.4 Bäume........................................................................................................................... 112 2.4.1 Spannbäume ................................................................................................... 114 2.4.2 Minimale Spannbäume finden - der Kruskal-Algorithmus.............................. 116 2.5 Matchings..................................................................................................................... 120 2.5.1 Der Heiratssatz von Hall................................................................................. 121 2.6 Aufgaben ..................................................................................................................... 126 II 3 Rechnen 131 Rechnen mit ganzen Zahlen 133 3.1 Teilbarkeit..................................................................................................................... 3.1.1 Primzahlen ...................................................................................................... 3.2 Modulo-Rechnung......................................................................................................... 3.2.1
Reste.................................................................................................................. 3.2.2 Modul-Gleichungen.......................................................................................... 3.3 Der euklidische Algorithmus....................................................................................... 3.3.1 Der größte gemeinsame Teiler (ggT)............................................................... 3.3.2 Berechnung des ggT für kleine Zahlen............................................................ 3.3.3 Vörüberlegung zum euklidischen Algorithmus ............................................. 3.3.4 Der euklidische Algorithmus........................................................................... 3.4 Das Lemma von Bézout................................................................................................ 3.4.1 Der erweiterte euklidische Algorithmus......................................................... 3.4.2 Lemma von Euklid .......................................................................................... 3.5 Der chinesische Restsatz............................................................................................. 3.5.1 Anwendung des chinesischen Restsatzes: Ein probabilistischer Gleichheitstest 3.6 Die eulersche (¿»-Funktion ............................................................................................. 3.6.1 Rückwärtsberechnung von ψ........................................................................... 3.7 Der Satz von
Euler...................................................................................................... 3.7.1 Schnelles Potenzieren....................................................................................... 3.8 Aufgaben ..................................................................................................................... 133 134 137 137 140 144 144 145 146 148 149 150 154 155 160 163 165 175 177 180 4 Algebraische Strukturen 4.1 18 Algebraische Strukturen - Einleitung.......................................................................... 4.1.1 Rechenoperationen sind Abbildungen............................................................ 4.1.2 Rechenregeln sind (zunächstmal) Axiome...................................................... 185 185 186 189
Inhaltsverzeichnis λ. 4.2 Gruppen...................................................................................................................................... 4.2.1 195 4.2.2 Die Gruppenordnung................................................................................................. 200 4.2.3 Verknüpfungstabellen von Gruppen...................................................................... 207 4.2.4 Die Gruppe Ъ*п ........................................................................................................... 208 4.2.5 Die Gruppe Sn.............................................................................................................. 211 4.3 Ringe und Körper..................................................................................................................... 214 4.3.1 Ringe ............................................................................................................................ 214 4.3.2 Körper............................................................................................................................ 215 4.4 Vektorräume ............................................................................................................................... 218 4.5 4.4.1 Der Vektorraum........................................................................................................... 218 4.4.2 Der Vektorraum Kn..................................................................................................... 220 4.4.3 Interpretation von Vektoren des
Rn...................................................................... 225 4.4.4 Weitere Regeln in Vektorräumen............................................................................. 229 4.4.5 Untervektorräume. ..................................................................................................... 231 Strukturerhaltende Abbildungen.......................................................................................... 234 4.5.1 Gruppenhomomorphismen....................................................................................... 235 4.5.2 Isomorphe Gruppen..................................................................................................... 236 4.5.3 Körperhomomorphismen.......................................................................................... 238 4.5.4 Homomorphismen auf Vektorräumen alias lineare Abbildungen.........................241 4.5.5 Isomorphie von Vektorräumen - Teil 1................................................................... 4.6 Aufgaben III 190 Weitere Rechenregeln in Gruppen......................................................................... ................................................................................................................................... Lineare Algebra 5 Basis und Dimension 5.1 Erzeugung und lineareAbhängigkeiten.............................................................................. 244 245 251 253 253 5.1.1 Linearkombinationen................................................................................................. 254 5.1.2 Der Spann
von Vektoren.......................................................................................... 256 5.1.3 Die Standardeinheitsvektoren................................................................................ 260 5.1.4 Lineare Unabhängigkeit.............................................................................................. 261 5.2 Die Basis...................................................................................................................................... 266 5.3 Die Dimension............................................................................................................................ 269 5.3.1 Isomorphie von Vektorräumen - Teil 2................................................................... 270 5.3.2 Basisaustauschsätze.................................................................................................... 271 5.4 Basis - eine Frage der Existenz.............................................................................................. 274 5.5 Aufgaben 277 .................................................................................................................................. 19
λ Inhaltsverzeichnis 6 7 Matrizen 281 6.1 Die Matrix..................................................................................................................... 6.2 Rechnen mit Matrizen über algebraischen Strukturen ............................................. 6.2.1 Addition von Matrizen.................................................................................... 6.2.2 Multiplikation von Matrizen mit Skalaren...................................................... 6.2.3 Multiplikation von Matrizen mit Spaltenvektoren.......................................... 6.2.4 Multiplikation von Matrizen mit Matrizen...................................................... 6.2.5 Transposition................................................................................................... 6.3 Spezielle Matrizen......................................................................................................... 6.4 Aufgaben .................................................................................................................... 281 283 283 284 285 287 289 290 293 Matrizen lineare Abbildungen 295 7.1 Darstellungsmatrix zur Standardbasis........................................................................ 7.2 Dimensionssatz............................................................................................................ 7.3 Basiswechsel.................................................................................................................. 7.3.1
Basiswechselmatrix.......................................................................................... 7.3.2 Darstellungsmatrizen zu beliebigen Basen...................................................... 7.3.3 Ähnliche Matrizen............................................................................................. 7.4 Lineare Gleichungssysteme.......................................................................................... 7.4.1 Das Gaußsche Eliminationsverfahren............................................................ 7.4.2 Rückwärtseinsetzen findet die Lösungsmenge................................................ 7.4.3 Gaußsches Eliminationsverfahren im Kleid der Matrixmultiplikation .... 7.4.4 Zeilen- und Spaltenrang................................................................................. 7.5 Aufgaben .................................................................................................................... 295 299 304 306 309 312 313 314 318 324 327 330 8 Orthogonalität 8.1 Das Standardskalarprodukt und die euklidische Norm............................................. 8.1.1 Rechenregeln für das Skalarprodukt und die euklidische Norm.................. 8.1.2 Geometrische Interpretation der euklidischen Norm.................................... 8.1.3 Geometrische Interpretation des Skalarprodukts.......................................... 8.1.4 Matrix-Vektor-Multiplikation mit Skalarprodukten....................................... 8.2
Orthonormalbasen...................................................................................................... 8.3 Das orthogonale Komplement.................................................................................... 8.4 Orthogonalisierungsverfahren.................................................................................... 8.4.1 Das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren ....................................... 8.5 Die orthogonale Projektion...................................... 8.6 Orthogonale Abbildungen .......................................................................................... 8.6.1 Orthogonale Matrizen .................................................................................... 8.7 Aufgaben .............. 20 333 333 334 335 336 339 341 343 346 347 352 355 355 357
Inhaltsverzeichnis Λ 9 Normen und Metriken 361 9.1 Norm - ein Längenbegriff für Vektoren........................... .......................................... 9.1.1 p-Normen für Vektoren über den Vektorräumen Kn .................................... 9.2 Metrik - ein Abstandsbegriff auf Mengen ................................................................. 9.2.1 Induzierte Metriken......................................................................................... 9.2.2 Hammingabstand............................................................................................ 9.2.3 Geometrie unterschiedlicher (induzierter)Metriken..................................... 9.3 Norm - ein allgemeiner Längenbegriff........................................................................ 9.3.1 Matrixnormen.................................................................................................. 9.4 Aufgaben .................................................................................................................... 361 362 364 365 366 368 370 370 376 10 Die Determinante 379 10.1 Das Parallelotop und das orientierte Volumen............................................................ 380 10.1.1 Volumen von Parallelotopen und LGS............................................................ 384 10.2 Vom orientierten Volumen im Rn zur Determinanten beliebiger Vektorräume .... 386 10.3 Berechnung der Determinante.................................................................................... 391 10.3.1 Die Determinante in den Spezialfällen n = 2 und n =
3.............................. 391 10.3.2 Die Determinante durch Entwicklung nach Zeile und Spalte bestimmen . . 392 10.3.3 Die Determinante mithilfe des Gauß’schen Eliminationsverfahrens bestimmen 395 10.4 Aufgaben ..................................................................................................................... 396 11 Eigen-und Singulärwerte 399 11.1 Eigenwerte und Eigenvektoren...................................... 399 11.2 Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen.................................................................. 401 11.2.1 Eigenräume berechnen.................................................................................... 401 11.2.2 Eigenwerte berechnen.................................................................................... 403 11.3 Diagonalisierbarkeit......................................................................................................... 406 11.3.1 Algebraische und geometrische Vielfachheiten................................................ 407 11.3.2 Diagonalisierbarkeit - Symmetrische Matrizen ................................................ 409 11.3.3 Diagonalisierbarkeit - allgemeine Matrizen (Singulärwertzerlegung) .... 412 11.4 Aufgaben ........................................................................................................................ 414 IV Kommunikation - mathematische Grundlagen 12 Daten verschlüsseln 417 419 12.1 Einleitung..................................................................................................................... 419 12.2 Public-Key-
Kryptographie............................................................................................. 420 12.2.1 Das RSA-Schema................................................................................................ 421 12.3 Das RSA-Signaturschema............................................................................................. 427 21
λ Inhaltsverzeichnis 12.4 Aufgaben ..................................................................................................................... 430 13 Daten übertragen 13.1 Allgemeine Codes über allgemeinen Alphabeten...................................................... 13.2 Dekodierung.................................................................................................................. 13.2.1 Das MLD-Verfahren.......................................................................................... 13.2.2 Daten aufbereiten............................................................................................. 13.3 Lineare Codes............................................................................................................... 13.3.1 Beschreibung von Untervektorräumen............................................................ 13.3.2 Lineare Codes sind Untervektorräume............................................................ 13.3.3 Die Generatormatrix linearer Codes............................................................... 13.3.4 Prüfstellen aus Daten berechnen..................................................................... 13.3.5 Die Kontrollmatrix linearer Codes.................................................................. 13.4 Binäre Hammingcodes................................................................................................ 13.4.1 Hamming Codes über beliebigen Körpern...................................................... 13.4.2 Hamming Codes sind
perfekt........................................................................... 13.5 Aufgaben ..................................................................................................................... 22 433 433 436 436 444 445 446 448 450 459 461 464 469 470 471
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| spelling | Hetterich, Samuel Verfasser (DE-588)1125558954 aut Lineare Algebra und diskrete Mathematik Samuel Hetterich 1. Auflage Frankfurt Analogverlag [2018] © 2018 474 Seiten Illustrationen, Diagramme 25 cm txt rdacontent n rdamedia nc rdacarrier Mathematik für die Informatik / Samuel Hetterich 1 Lineare Algebra (DE-588)4035811-2 gnd rswk-swf Diskrete Mathematik (DE-588)4129143-8 gnd rswk-swf (DE-588)4123623-3 Lehrbuch gnd-content Lineare Algebra (DE-588)4035811-2 s DE-604 Diskrete Mathematik (DE-588)4129143-8 s Samuel Hetterich Mathematik für die Informatik 1 (DE-604)BV045351875 1 B:DE-101 application/pdf http://d-nb.info/1169678718/04 Inhaltsverzeichnis Digitalisierung UB Passau - ADAM Catalogue Enrichment application/pdf http://bvbr.bib-bvb.de:8991/F?func=service&doc_library=BVB01&local_base=BVB01&doc_number=030738522&sequence=000001&line_number=0001&func_code=DB_RECORDS&service_type=MEDIA Inhaltsverzeichnis |
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