Grundlagen der ebenen Geometrie:
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| Format: | Buch |
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| Veröffentlicht: |
Berlin, Germany
Springer Spektrum
[2018]
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung........................................................................................................ 1.1 Euklids Elemente.................................................................................... 1.2 Die analytische Geometrie.................................................................... 1.3 Hilberts Grundlagen der Geometrie.................................................... 1 1 4 5 2 Inzidenzgeometrie.......................................................................................... 2.1 Inzidenzebenen...................................................................................... 2.2 Affine Ebenen........................................................................................ 2.3 Projektive Ebenen.................................................................................. 2.4 Der Zusammenhang zwischen affinen und projektiven Ebenen........ 2.5 Das Dual einer projektiven Ebene........................................................ 2.6 Affine und projektive Schnittpunktsätze.............................................. Übungsaufgaben.............................................................................................. 7 7 12 18 21 26 31 39 3 Hilbertebenen................................................................................................ 3.1 Die Anordnungsaxiome........................................................................ 3.2 Die Kongruenzaxiome für Strecken .................................................... 3.3 Die Kongruenzaxiome für
Winkel........................................................ 3.4 Ergänzungswinkel, Gegenwinkel und rechte Winkel........................ 3.5 Orthogonalität und Parallelität.............................................................. 3.6 Der Kongruenzsatz für Dreiecke.......................................................... 3.7 Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende............................................ 3.8 Innen- und Außenwinkel im Dreieck.................................................. 3.9 Kreise...................................................................................................... Übungsaufgaben.............................................................................................. 43 43 56 61 73 76 82 86 89 93 97 4 Der Hauptsatz................................................................................................. 101 4.1 Das Vollständigkeitsaxiom......................................................................101 4.2 Euklidische Ebenen..................................................................................105 4.3 Die Dreiecksungleichung....................................................................... 106 4.4 Parallelprojektionen ............................................................................... 109 vii
viii Inhaltsverzeichnis 4.5 Streckenmaße............................................................................................118 4.6 Ähnlichkeitsabbildungen........................................................................125 4.7 Koordinatensysteme................................................................................135 4.8 Der Beweis des Hauptsatzes....................................................................144 Übungsaufgaben................................................................................................150 5 Euklidische Geometrie....................................................................................155 5.1 Dreiecke in der euklidischen Standardebene........................................155 5.2 Kreise in der euklidischen Standardebene............................................164 5.3 Die Inversion am Kreis............................................................................180 5.4 Schnittpunktsätze in der euklidischen Standardebene......................... 201 Übungsaufgaben............................................................................................... 207 6 Geometrische Konstruktionen..................................................................... 211 6.1 Geometrische Konstruierbarkeitsprobleme............................................211 6.2 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal................................................... 214 6.2.1 Regelmäßige n-Ecke ................................................................. 225 6.2.2 Die
Winkeldreiteilung............................................................... 235 6.2.3 Die Würfelverdopplung............................................................. 236 6.2.4 Die Quadratur des Kreises......................................................... 237 6.3 Der Zirkel und der Satz von Mohr-Mascheroni................................... 238 6.4 Das Lineal und der Satz von Poncelet-Steiner......................................250 Appendix........................................................................................................... 262 Übungsaufgaben............................................................................................... 265 7 Nichteuklidische Geometrie......................................................................... 267 7.1 Hyperbolische Ebenen........................................................................... 268 7.2 Hyperbolische Geometrie....................................................................... 290 7.3 Eine elliptische Ebene............................................................................. 302 7.4 Elliptische Geometrie............................................................................. 313 Übungsaufgaben............................................................................................... 323 Literaturverzeichnis..............................................................................................327 Sachverzeichnis 329
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