Verfügbarkeit: Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler

Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler:

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser:	Bartsch, Hans-Jochen (VerfasserIn)
Weitere Verfasser:	Sachs, Michael (MitwirkendeR)
Format:	Buch
Sprache:	German
Veröffentlicht:	München Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag [2018]
Ausgabe:	24., überarbeitete Auflage
Schlagworte:	Mathematik MANA2018 Formelsammlung Nachschlagewerk
Online-Zugang:	Inhaltsverzeichnis
Beschreibung:	829 Seiten Illustrationen, Diagramme 19 cm
ISBN:	9783446451001 3446451005

Internformat

MARC


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adam_text	1 LOGIK, MENGEN, ZAHLENSYSTEME ...................................................... 21 1.1 AUSSAGENLOGIK..................................................................................... 21 1.1.1 ALLGEMEINES........................................................................... 21 1.1.2 EIN- UND ZWEISTELLIGE BOOLESCHE FUNKTIONEN .................. 23 1.1.3 BOOLESCHE ALGEBRA.............................................................. 25 1.1.4 NORMALFORMEN........................................................................ 27 1.2 PRAEDIKATENLOGIK .................................................................................. 29 1.3 M EN G EN ................................................................ 1.3.1 ALLGEMEINES............................................ 1.3.2 MENGENOPERATIONEN ............................... 1.3.3 BEZIEHUNGEN, GESETZE, RECHENREGELN 1.3.4 RELATIONEN .............................................. 1.3.5 INTERVALLE................................................. 1.3.6 UNSCHARFE MENGEN ............................... 1.4 ZAHLENSYSTEME ................................................... 1.4.1 POLYADISCHE ZAHLENSYSTEME ............... 1.4.2 ROEMISCHES ZAHLENSYSTEM .................... 2 A RITHM ETIK.............................................................. 2.1 MENGE DER REELLEN Z AH LE N ................................. 2.1.1 STANDARD-ZAHLENMENGEN .................... 2.1.2 GRUNDOPERATIONEN AN REELLEN ZAHLEN . 2.1.2.1 DIE VIER GRUNDRECHENARTEN ................................ 48 2.1.2.2 PROPORTIONEN, VERHAELTNISGLEICHUNGEN................. 52 2.1.2.3 PROZENTRECHNUNG .................................................. 53 2.1.2.4 N AEHERUNG............................................................... 54 2.1.2.5 FEHLERRECHNUNG .................................................... 55 2.1.2.6 BETRAG UND SIGNUM ........... ................................... 56 2.1.2.7 SUMMEN- UND PRODUKTZEICHEN........................... 57 2.1.3 POTENZEN UND W URZELN......................................................... 59 2.1.4 LOGARITHMEN........................................................................... 61 2.1.5 FAKULTAET UND BINOMIALKOEFFIZIENT ......................................... 63 2.2 MENGE DER KOMPLEXEN Z A H LE N ......................................................... 66 2.2.1 GRUNDBEGRIFFE........................................................................ 66 2.2.2 DARSTELLUNGSFORMEN KOMPLEXER Z A H LE N ............................ 69 2.2.3 GRUNDRECHENARTEN MIT KOMPLEXEN Z A H LE N ....................... 70 2.2.4 POTENZEN UND WURZELN KOMPLEXER Z A H LE N ....................... 71 2.2.5 NATUERLICHE LOGARITHMEN KOMPLEXER ZAHLEN ....................... 73 2.3 KOMBINATORIK ....................................................................................... 74 2.3.1 PERMUTATIONEN ..................................................................... 74 & SLL8888888 2.3.2 VARIATIONEN ............................................................................. 76 2.3.3 KOMBINATIONEN...................................................................... 77 2.4 FOLGEN................................................................................................. 79 2.4.1 ALLGEMEINES........................................................................... 79 2.4.2 SCHRANKEN, GRENZEN, GRENZWERT EINER F O LG E .................. 80 2.4.3 ARITHMETISCHE UND GEOMETRISCHE F OLGEN .......................... 83 2.4.4 FINANZMATHEMATIK................................................................. 86 2.4.4.1 ZINSRECHNUNG.......................................................... 86 2.4.4.2 ZINSESZINSRECHNUNG............................................ 67 2.4.4.3 RENTENRECHNUNG ................................................. 86 2.4.4.4 SCHULDENTILGUNG, A N NU ITAET.................................. 89 3 GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN .................................................... 91 3.1 ALLGEM EINES........................................................................................ 91 3.2 LINEARE ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN .............. 96 3.2.1 LINEARE GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN MIT EINER VARIABLEN................................................................................ 96 3.2.2 LINEARE GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN MIT MEHREREN VARIABLEN................................................................................ 98 3.3 NICHTLINEARE GLEICHUNGEN................................................................... 101 3.3.1 NICHTLINEARE ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN ............................... 101 3.3.1.1 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUN GEN MIT EINER VARIABLEN ......................................... 101 3.3.1.2 QUADRATISCHES GLEICHUNGSSYSTEM MIT ZWEI VARIABLEN . . . ...........................................................103 3.3.1.3 KUBISCHE GLEICHUNGEN ...........................................104 3.3.1.4 GLEICHUNGEN 4. G RAD ES .......................................... 106 3.3.1.5 SYMMETRISCHE GLEICHUNGEN ................................... 106 3.3.1.6 ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN N-TEN GRADES .... 107 3.3.1.7 HORNER-SCHEMA..................................................... 106 3.3.1.6 WURZELGLEICHUNGEN MIT EINER VARIABLEN .............. 111 3.3.2 TRANSZENDENTE GLEICHUNGEN ................................................. 111 3.3.2.1 EXPONENTIALGLEICHUNGEN ........................................ 111 3.3.2.2 LOGARITHMISCHE GLEICHUNGEN ............................... 112 3.3.2.3 GONIOMETRISCHE GLEICHUNGEN ............................... 113 3.3.2.4 BETRAGSGLEICHUNGEN UND-UNGLEICHUNGEN .... 114 3.4 NUMERISCHE VERFAHREN ........................................................................ 114 3.4.1 BISEKTIONSVERFAHREN.................................................................115 3.4.2 FIXPUNKTITERATION......................................................................116 3.4.3 NEWTONSCHES (TANGENTEN-)NAEHERUNGSVERFAHREN .......... 118 3.4.4 SEKANTENMETHODE (REGULA FA LS I) ......................................... 119 3.5 NICHTLINEARE GLEICHUNGSSYSTEME ...................................................... 120 3.6 GRAFISCHE LOESUNG VON G LEICHUNGEN ................................................. 123 4 ELEMENTARE GEOMETRIE........................................................................124 4.1 PLANIMETRIE, EBENE TRIGONOMETRIE ...................................................... 124 4.1.1 W INKEL........................................................................................124 4.1.2 TEILUNGEN, AEHNLICHKEIT, KONGRUENZ, SYMMETRIE .................. 126 4.1.3 D RE IE C K ..................................................................................... 129 4.1.3.1 SCHIEFWINKLIGES DREIECK ......................................... 130 4.1.3.2 GLEICHSCHENKLIGES UND GLEICHSEITIGES DREIECK . 135 4.1.3.3 RECHTWINKLIGES DREIECK ......................................... 136 4.1.4 VIERECKE..................................................................................... 138 4.1.4.1 T RA P E Z ..................................................................... 138 4.1.4.2 PARALLELOGRAMME ................................................... 139 4.1.4.3 UNREGELMAESSIGE VIERECKE MIT UMKREIS BZW. IN K RE IS ......................................................................140 4.1.5 VIELECKE (POLYGONE) ................................................................ 141 4.1.5.1 EBENE STERNFOERMIGE N -E CKE ................................. 141 4.1.5.2 REGELMAESSIGE (REGULAERE) V IE LE C K E ....................... 141 4.1.5.3 EINIGE BESTIMMTE REGELMAESSIGE VIELECKE .......... 142 4.1.5.4 KONSTRUKTION DER EINFACHEN REGELMAESSIGEN V IELECKE................................................................... 143 4.1.6 DER K RE IS ........................................................ 144 4.1.6.1 SAETZE ZUM KREIS......................................................144 4.1.6.2 KREISBERECHNUNGEN .............................................. 145 4.2 GEOMETRISCHE KOERPER (STEREOMETRIE) .............................................. 147 4.2.1 ALLGEMEINES............................................................................. 147 4.2.2 EBENFLAECHIG BEGRENZTE KOERPER (POLYEDER, VIELFLACHE) . . . 149 4.2.2.1 PRISMATISCHE KOERPER..............................................149 4.2.2.2 PYRAMIDE, PYRAMIDENSTUMPF ............................... 150 4.2.2.3 PRISMOID...................................................................151 4.2.2.4 DIE FUENF REGELMAESSIGEN POLYEDER .......................... 152 4.2.3 KRUMMFLAECHIG BEGRENZTE KOERPER ......................................... 154 4.2.3.1 ZYLINDER, ZYLINDERABSCHNITT ................................... 154 4.2.3.2 KEGEL, KEGELSTUMPF.................................................155 4.2.3.3 K U G E L ....................................................................... 156 4.2.5.4 TONNE, T O RU S ........................................................... 158 4.2.3.5 FRAKTALE GEOMETRIE.................................................158 4.3 SPHAERISCHE TRIGONOMETRIE...................................................................160 4.3.1 ALLGEMEINES ............................................................................. 160 4.3.2 RECHTWINKLIGES SPHAERISCHES DREIECK .................................... 161 4.3.3 SCHIEFWINKLIGES SPHAERISCHES D RE IE C K ..................................162 4.3.4 BERECHNUNG SPHAERISCHER D REIECKE.......................................164 4.3.5 MATHEMATISCHE GEOGRAFIE ...................................................... 165 5 LINEARE A LG E B RA ..................................................................................168 5.1 VEKTORRAUM..............................................................................................168 5.2 MATRIZEN.................................................................................................. 172 5.2.1 MATRIZENARTEN, DEFINITIONEN....................................................172 5.2.1.1 ALLGEMEINES .......................................................... 172 5.2.1.2 QUADRATISCHE M A TRIZ E N ........................................ 174 5.2.1.3 INVERSE MATRIX, (UM)KEHRMATRIXA- 1 ................. 180 5.2.1.4 RANG EINER MATRIX...................................................181 5.2.1.5 MATRIZENNORMEN......................................................182 5.2.1.6 GRENZWERT, DIFFERENZIALQUOTIENT, INTEGRAL ....183 5.2.2 MATRIZENGESETZE......................................................................183 5.2.2.1 GLEICHHEIT UND SUMME ZWEIER M ATRIZEN ......... 183 5.2.2.2 MULTIPLIKATION VON MATRIZEN .................................... 163 5.2.3 MATRIZENGLEICHUNGEN.............................................................. 186 5.2.4 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN QUADRATISCHER MATRIZEN . 167 5.2.5 NUMERISCHE VERFAHREN ........................................................... 190 5.2.5.1 HOUSEHOLDER-ORTHOGONALISIERUNG (-TRANSFORMATION)....................................................190 5.2 5.2 QR-VERFAHREN ........................................................192 S.2.5.3 VEKTORITERATION (POTENZMETHODE, V .-M IS E S - VERFAHREN).................................................................192 5.3 DETERMINANTEN ..................................................................................... 193 5.3.1 DETERMINANTE EINER QUADRATISCHEN M A TRIX .......................... 193 5.3.2 BERECHNUNG VON DETERMINANTEN ............................................ 194 5.3.3 RECHENREGELN FUER DETERMINANTEN ......................................... 196 5.3.4 PRAKTISCHE BERECHNUNG EINER DETERMINANTE ....................... 197 5.4 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME .............................................................. 198 5.4.1 ALLGEMEINES ............................................................................. 198 5.4.2 LOESBARKEIT LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME ............................... 199 5.4.3 LOESUNGSVERFAHREN FUER LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME .......... 201 5.4.3.1 EINFACHER UND VERKETTETER GAUSSSCHER ALGORITHMUS..............................................................202 5.4.3.2 GAUSSSCHER ALGORITHMUS FUER SYSTEME MIT GLEICHER MATRIX A UND M RECHTEN S E ITE N .......... 206 5.4.3.3 GAUSS-JORDAN-VERFAHREN ZUR MATRIXINVERSION 207 5.4.3.4 GAUSSSCHER ALGORITHMUS FUER SYMMETRISCHE, POSITIV DEFINITE KOEFFIZIENTENMATRIX, C H O LES - KY-VERFAHREN ........................................................... 208 5.4.3.5 GLEICHUNGSSYSTEME MIT SYMMETRISCHER, TRIDIAGONALER, POSITIV DEFINITER M A TR IX .................. 209 5.4.3.6 GAUSS-SEIDELSCHES ITERATIONSVERFAHREN .... 209 5.4.3.7 AUSTAUSCHVERFAHREN .............................................. 213 5.4.4 CRAMERSCHE REGEL ................................................................ 213 5.4.5 UEBERBESTIMMTE LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME ....................... 214 5.5 LINEARE OPTIMIERUNG............................................................................. 216 5.5.1 ALLGEMEINES.............................................................................216 5.5.2 GRAFISCHE LOESUNG FUER ZWEI VARIABLE .................................... 218 5.5.3 SIMPLEXALGORITHMUS................................................... 219 5.6 ABBILDUNGEN..........................................................................................223 5.6.1 LINEARE ABBILDUNGEN..............................................................223 5.6.2 AFFINE ABBILDUNGEN ................................................................ 226 5.6.2.1 ALLGEMEINES ............................................................226 5.6.2.2 ALLGEMEINE, NICHT WINKELTREUE AFFINE ABBILDUNGEN........................................................... 231 5.6.2.3 AEHNLICHKEITSABBILDUNGEN.......................................234 5.6.2.4 KONGRUENZABBILDUNGEN ......................................... 235 5.7 KOORDINATENTRANSFORMATION ................................................................ 238 5.7.1 ALLGEMEINES............................................................................. 238 5.7.2 ORTHOGONALE KOORDINATENTRANSFORMATION IN DER EBENE . . 239 5.7.3 ORTHOGONALE KOORDINATENTRANSFORMATION IM RAUM .... 240 6 VEKTOREN, ANALYTISCHE G EOM ETRIE.................................................... 244 6.1 VEKTOREN, GRUNDLAGEN...........................................................................244 6.2 VEKTORALGEBRA....................................................................................... 249 6.2.1 ADDITION UND SUBTRAKTION VON VEKTOREN...............................249 6.2.2 MULTIPLIKATION VON VEKTOREN ................................................... 251 6.2.2.1 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR . 251 6.2.2.2 SKALARPRODUKT (INNERES PRODUKT, PUNKTPRODUKT) 251 6.2.2.3 VEKTORPRODUKT (AEUSSERES PRODUKT, KREUZPRO DUKT) .......................................................................... 253 6.2.2 4 MEHRFACHE PRODUKTE VON VEKTOREN ...................255 6.3 KOORDINATENSYSTEME............................................................................. 256 6.3.1 ALLGEMEINES............................................................................. 256 6.3.2 EBENE (2D-)KOORDINATENSYSTEME ......................................... 257 6.3.3 RAEUMLICHE (3D-)KOORDINATENSYSTEME ................................. 258 6.4 PUNKTE, KURVEN 1. ORDNUNG ................................................................ 261 6.4.1 PUNKTE....................................................................................... 261 6.4.2 GERADE, STRAHL, S TRE C K E ........................................................ 262 6.4.2.1 PUNKTMENGEN, TEILUNG EINER STRECKE ................... 262 6.4.2.2 GLEICHUNGEN EINER GERADEN IN DER (X, Y )-E B E N E ........................................................... 264 6.4.2.3 GLEICHUNGEN EINER GERADEN IM R A U M ............. 266 6.4.2.4 ABSTAND EINES PUNKTES VON EINER GERADEN . . . 269 6.4.3 MEHRERE G E RA D E N ...................................................................270 6.4.3.1 SCHNITTPUNKT ZWEIER G ERADEN................................270 6.4.3.2 SCHNITTWINKEL ZWEIER GERADEN ............................ 272 6.4.3.3 ABSTAND ZWEIER G ERADEN ...................................... 274 6 A 3 .4 DREI UND MEHR GERADEN .......................................... 275 6.5 E B E N E N ..................................................................................................275 6.5.1 EINE EBENE ............................................................................ 276 6.5.1.1 GLEICHUNGEN EINER EBENE IM R AUM ..................... 276 6.5.1.2 RICHTUNGSKOSINUS DER NORMALEN EINER EBENE . 280 6.5.1.3 ABSTAND EINES PUNKTES P VON EINER EBENE . . 280 6.5.1.4 DURCHSTOSSPUNKT D EINER GERADEN DURCH EINE EBENE ..................................................................... 281 6.5.1.5 WINKEL Q ZWISCHEN GERADE UND E B E N E .......... 262 6.5.2 ZWEI EBENEN ...........................................................................283 6.5.3 DREI UND MEHR EBENEN ........................................................... 284 6.5.4 FLAECHENINHALT, SCHWERPUNKT, VOLUMEN ............................... 265 6.6 KURVEN 2. ORDNUNG (KEGELSCHNITTE)...................................................266 6.6.1 ALLGEMEINES............................................................................. 286 6.6.2 K RE IS .......................................................................................... 268 6.6.2.1 GLEICHUNGEN DES KREISES.......................................266 6.6.2.2 SCHNITTPUNKTE EINER GERADEN MIT EINEM KREIS . 290 6.6.2.3 TANGENTE UND NORMALE EINES K RE IS E S ............. 291 6.6.2.4 POLARE EINES PUNKTES IN BEZUG AUF EINEN KREIS 291 6.6.2.5 POTENZ P EINES PUNKTES IN BEZUG AUF EINEN KREIS ........................................................................ 292 6.6.2.6 KREISBUESCHEL ........................................................... 293 6.6.3 ELLIPSE ....................................................................................... 293 6.6.3.1 GLEICHUNGEN DER ELLIPSE .......................................293 6 6.3.2 SCHNITTPUNKTE EINER GERADEN MIT EINER ELLIPSE . 295 6.6 3.3 TANGENTE, NORMALE UND DURCHMESSER EINER E LLIP S E ..................................................................... 296 6.6.3.4 POLARE EINES PUNKTES IN BEZUG AUF EINE ELLIPSE 297 6 6.3.5 KRUEMMUNG EINER ELLIPSE .......................................297 6.6.3.6 HAUPT- UND NEBENKREIS EINER E LLIPSE .................. 298 6.6.3.7 FLAECHENINHALT UND UMFANG VON ELLIPSE, ELLIPSENSEGMENT UND ELLIPSENSEKTOR .................. 298 6.6 3.6 ELLIPSENKONSTRUKTIONEN ..................................... 299 6.6.4 P A RA B E L.....................................................................................301 6.6.4.1 GLEICHUNGEN DER PARABEL.......................................301 6.6.4.2 SCHNITTPUNKTE EINER GERADEN MIT EINER PARABEL 303 6.6.4.3 TANGENTE UND NORMALE EINER PARABEL .................. 304 6.6.4.4 POLARE EINES PUNKTES IN BEZUG AUF EINE PARABEL ..................................................................... 304 6.6.4.5 KRUEMMUNG EINER PARABEL.......................................305 6.6.4.6 PARABELSEGMENT, PARABELBOGEN, BRENNSTRAHL . 305 66.4.7 PARABELKONSTRUKTIONEN............................................306 6.6.5 H YP ERB EL.................................................................................. 307 6.6.5.1 GLEICHUNGEN DER HYPERBEL .................................... 308 6.6.5.2 SCHNITTPUNKT EINER GERADEN MIT EINER HYPERBEL 310 6.6.5.3 TANGENTE UND NORMALE EINER HYPERBEL ............. 311 6.6.5.4 POLARE EINES PUNKTES IN BEZUG AUF EINE HYPERBEL ................................................ 312 6.6.5.5 KRUEMMUNG EINER HYPERBEL .................................... 313 6.6.5.6 HYPERBELSEGMENT UND HYPERBELSEKTOR ............. 314 SS.6.5.7 HYPERBELKONSTRUKTIONEN .......................................... 314 SS.7 FLAECHEN 2. ORDNUNG............................................................................31 SS SS.7.1 ALLGEMEINES..........................................................................31 SS SS.7.2 KUGEL......................................................................................... 317 SS.7.3 ELLIPSOID.................................................................................... 318 SS.7.4 HYPERBOLOID ............................................................................ 319 6.7.5 KEGEL......................................................................................... 321 SS.7.SS ZYLINDER....................................................................................322 6.7.7 PARABOLOID...............................................................................323 SS.8 HAUPTACHSENTRANSFORMATION ................................................................. 325 7 FUNKTIONEN UND KURVEN ..................................................................... 334 7.1 ALLGEM EINES..........................................................................................334 7.1.1 FUNKTIONEN MIT EINER UNABHAENGIGEN VARIABLEN .................. 334 7.1.2 FUNKTIONEN MIT MEHREREN VARIABLEN .................................... 336 7.2 RATIONALE OPERATIONEN MIT FUNKTIONEN ............................................340 7.3 GRENZWERTE, UNBESTIMMTE AUSDRUECKE .............................................. 341 7.3.1 GRENZWERT EINER FUNKTION......................................................341 7.3.2 UNBESTIMMTE AUSDRUECKE ........................................................ 344 7.4 EIGENSCHAFTEN REELLER FUNKTIONEN......................................................346 7.4.1 AUSGEWAEHLTE EIGENSCHAFTEN.................................................346 7.4.2 NULLSTELLEN EINER FUNKTION......................................................349 7.4.3 STETIGKEIT EINER FUNKTION ........................................................ 350 7.5 AUSGEWAEHLTE FUNKTIONEN ..................................................................... 353 7.6 RATIONALE FUNKTIONEN .......................................................................... 355 7.6.1 GANZRATIONALE FUNKTIONEN (POLYNOM E)...............................355 7.6.2 INTERPOLATION.............................................................................358 7.6.2.1 ALLGEMEINES ............................................................ 358 7.6.2.2 INTERPOLATIONSFORMEL VON L A G R A N G E .................. 359 7.6.2.3 INTERPOLATIONSFORMEL VON N E W T O N ....................... 360 7.6.2.4 INTERPOLATION DURCH KUBISCHE SPLINES .................. 362 7.6.3 GEBROCHENRATIONALE FUNKTIONEN............................................365 7.7 NICHTRATIONALE FUNKTIONEN...................................................................367 7.7.1 ALLGEMEINE POTENZFUNKTIONEN .............................................. 367 7.7.2 EXPONENTIALFUNKTIONEN........................................................... 366 7.7.3 LOGARITHMUSFUNKTIONEN........................................................... 371 7.7.4 WINKELFUNKTIONEN, TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN ............. 372 7.7.4.1 ALLGEMEINES ............................................................ 372 7.7A.2 GONIOMETRISCHE BEZIEHUNGEN ............................. 376 7.7.4.3 ALLGEMEINE SINUSFUNKTION (HARMONISCHE SCHWINGUNG)........................................................... 380 7.7 AA M ODULATION............................................................361 7.7.4.5 UEBERLAGERUNG (SUPERPOSITION) VON SCHWINGUN GEN ...........................................................................383 7.7.4.6 KOMPLEXE ZEIGERDARSTELLUNG VON SINUSGROESSEN. 387 7.7.5 ZYKLOMETRISCHE FUNKTIONEN, ARKUSFUNKTIONEN.....................389 7.7.6 HYPERBELFUNKTIONEN ................................................................ 393 7.7.7 AREAFUNKTIONEN........................................................................ 398 7.8 ALGEBRAISCHE KURVEN HOEHERER O RDNUNG............................................400 7.8.1 KURVEN 3. ORDNUNG ................................................................ 401 7.8.2 KURVEN 4. ORDNUNG ................................................................ 402 7.9 ZYKLOIDEN (ROLLKURVEN)........................................................................ 404 7.9.1 GEWOEHNLICHE (GESPITZTE) ZYKLOIDE ......................................... 404 7.9.2 EPIZYKLOIDEN............................................................................. 405 7.9.3 HYPOZYKLOIDEN ........................................................................ 407 7.10 SPIRALLINIEN.............................................................................................409 7.10.1 LOGARITHMISCHE SPIRALE ........................................................... 409 7.10.2 ARCHIMEDISCHE S P IRA LE .........................................................410 7.10.3 HYPERBOLISCHE S P IRA LE ........................................................... 410 7.11 WEITERE EBENE K U RV E N ........................................................................ 411 7.11.1 KETTENLINIE................................................................................411 7.11.2 TRAKTRIX ....................................................................................... 412 7.12 KOMPLEXE FUNKTIONEN...........................................................................412 7.12.1 ALLGEMEINES............................................................................. 412 7.12.2 KONFORME ABBILDUNGEN ........................................................... 415 7.12.2.1 LINEARE UND QUADRATISCHE KONFORME ABBILDUN GEN ...........................................................................415 7.12.2.2 MOEBIUS-ABBILDUNG UND INVERSION ....................... 416 8 DIFFERENZIALRECHNUNG.............................................................................420 8.1 FUNKTIONEN EINER V ARIABLEN ................................................................ 420 6.1.1 ALLGEMEINES............................................................................. 420 8.1.2 ERSTE ABLEITUNGEN DER ELEMENTAREN FUNKTIONEN ............. 422 8.1.3 DIFFERENZIATIONSREGELN, ABLEITUNGSREGELN ............................ 423 8.1.3.1 G RUNDREGELN........................................................... 423 8.1.3.2 HOEHERE ABLEITUNGEN UND DIFFERENZIALE ............. 425 8.1.3.3 DIFFERENZIATION IMPLIZITER FUNKTIONEN F (X, Y) = 0 ..............................................................426 8.1.3.4 DIFFERENZIATION VON FUNKTIONEN IN PARAMETER FORM .......................................................................... 427 8.1.3.5 DIFFERENZIATION VON FUNKTIONEN IN POLAR KOORDINATEN ..............................................................427 8.1.4 GRAFISCHE DIFFERENZIATION.........................................................428 8.1.5 NUMERISCHE DIFFERENZIATION ................................................... 426 6.1.6 LOGARITHMISCHE DIFFERENZIATION .............................................. 429 8.1.7 MITTELWERTSAETZE........................................................................430 8.2 FUNKTIONEN MEHRERER V ARIABLEN ........................................................ 431 8.2.1 PARTIELLE ABLEITUNG 1. ORDNUNG .............................................. 431 6.2.2 HOEHERE PARTIELLE ABLEITUNGEN.................................................432 6.2.3 TOTALE ABLEITUNGEN FUER ZWEI VARIABLE .................................... 433 8.3 ANWENDUNGEN....................................................................................... 435 6.3.1 MONOTONIE UND KRUEMMUNGSVERHALTEN ................................. 435 6.3.2 EXTREMA VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN ............................ 439 6.3.3 WENDEPUNKTE UND SINGULAERE PUNKTE .................................... 443 6.3.4 ASYM PTOTEN............................................................................. 445 8.3.5 HUELLKURVEN................................................................................446 6.3.6 KURVENDISKUSSION ...................................................................447 8.3.7 EXTREMA VON FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN .................... 447 8.4 DIFFERENZIALGEOMETRIE .......................................................................... 450 8.4.1 EBENE KURVEN .......................................................................... 450 6.4.1.1 BOGENELEMENT EINER EBENEN K URVE .................... 450 6.4.1.2 TANGENTE UND NORMALE EINER EBENEN KURVE . . 450 6.4.1.3 ZWEI EBENE KURVEN ................................................ 452 8.4.2 RAUMKURVEN.............................................................................453 8.4.2.1 DARSTELLUNGEN IM KARTESISCHEN KOORDINATEN SYSTEM ..................................................................... 453 OE.4.2.2 BOGENELEMENT EINER RAUMKURVE ......................... 453 OE.4.2.3 TANGENTE UND NORMALE EINER RAUMKURVE .... 453 OE.4.2.4 KRUEMMUNG EINER RAUM KURVE .............................. 457 8.4.2.S WINDUNG (TORSION) EINER RAUMKURVE ................. 458 6.4.3 FLAECHEN IM R A U M ...................................................................459 9 INTEGRALRECHNUNG ......................................................................................... 466 9.1 ALLGEM EINES..........................................................................................466 9.1.1 UNBESTIMMTES INTEGRAL...........................................................466 9.1.2 BESTIMMTES INTEGRAL (RIEMANNSCHES INTEGRAL) .................. 467 9.1.3 UNEIGENTLICHE INTEGRALE........................................................... 470 9.2 GRUNDINTEGRALE, STAMMINTEGRALE ........................................................ 472 9.3 INTEGRATIONSREGELN UND -VERFAHREN......................................................473 9.3.1 GRUNDREGELN DER INTEGRALRECHNUNG ...................................... 473 9.3.2 INTEGRATION DURCH SUBSTITUTION .............................................. 473 9.3.3 PARTIELLE INTEGRATION (PRODUKTINTEGRATION) ............................ 477 9.3.4 INTEGRATION NACH PARTIALBRUCHZERLEGUNG...............................477 9.3.5 INTEGRATION NACH REIHENENTWICKLUNG....................................480 9.3.6 GRAFISCHE INTEGRATION ............................................................. 482 9.4 NUMERISCHE INTEGRATION........................................................................463 9.4.1 ALLGEMEINES.............................................................................483 9.4.2 NEWTON-COTES-FORMELN......................................................484 9.4.2.1 RECHTECKFORMEL ..................................................... 466 9.4.2.2 SEHNENTRAPEZFORMEL .............................................. 487 9 A 2 .3 SIMPSONSCHE FORMEL, KEPLERSCHE FASSFORMEL ..............................................................487 9.4.2.4 NEWTONSCHE 3/8-FORMEL.......................................466 9.4.2.5 TANGENTENTRAPEZFORMEL .......................................... 489 9.4.3 GAUSSSCHES QUADRATURVERFAHREN ......................................... 490 9.4.4 ROMBERG-QUADRATURVERFAHREN............................................491 9.5 BEREICHSINTEGRALE, GEBIETSINTEGRALE .................................................493 9.5.1 ZWEIDIMENSIONALES BEREICHSINTEGRAL, DOPPELINTEGRAL . . . 493 9.5.2 RAUMINTEGRAL, VOLUMENINTEGRAL, DREIFACHINTEGRAL ............. 496 9.6 ANWENDUNGEN DER INTEGRALRECHNUNG.................................................497 9.6.1 GEOMETRISCHE ANWENDUNGEN .............................................. 497 9.6.1.1 FLAECHENINHALTE (Q UADRATUR)...................................497 9.6.1.2 BOGENLAENGE (REKTIFIKATION) ..................................... 500 9.6.1.3 MANTELFLAECHEN VON ROTATIONSKOERPERN (KOMPLANATION) ...................................................... 500 9.6.1.4 VOLUMEN VON ROTATIONSKOERPERN (KUBATUR) .... 500 9.6.1.5 VOLUMEN EINES KOERPERS .......................................... 501 9.6.2 TECHNISCH-PHYSIKALISCHE ANWENDUNGEN ............................ 502 9.6.2.1 BEWEGUNGEN, KINEM ATIK........................................502 9.6.2.2 A RBEIT........................................................................ 502 0.6.2.3 ZEITLICH VERAENDERLICHE STROEME UND SPANNUNGEN 503 9.6.2.4 MOMENTE 1. G RA D E S .............................................. 503 9.6.2.5 SCHWERPUNKTE.........................................................505 9.6.2.6 MOMENTE 2. GRADES (FESTIGKEITSLEHRE) .............. 507 9.6.2.7 MASSENMOMENTE 2. GRADES (D YNAM IK)............508 10 VEKTORANALYSIS.................................................................................... 510 10.1 VEKTORFUNKTIONEN.................................................................................. 510 10.2 F E LD E R .......... ......................................................................................... 511 10.3 GRADIENT EINES SKALAREN F E LD E S .........................................................514 10.4 DIVERGENZ EINES VEKTORFELDES..............................................................516 10.5 ROTATION EINES VEKTORFELDES ................................................................ 516 10.6 KURVENINTEGRALE (LINIENINTEGRALE)......................................................520 10.6.1 KURVENINTEGRAL ERSTER A RT ........................................................ 520 10.6.2 KURVENINTEGRAL (ZWEITER A RT) ................................................... 521 10.7 FLAECHENINTEGRALE (OBERFLAECHENINTEGRALE) ......................................... 526 10.7.1 FLAECHENINTEGRAL ERSTER A R T ......................................................526 10.7.2 FLAECHENINTEGRAL ZWEITER A R T ................................................... 527 10.8 INTEGRALSAETZE.......................................................................................... 529 10.6.1 GAUSSSCHER INTEGRALSATZ......................................................529 10.8.2 STOKESSCHER INTEGRALSATZ......................................................531 11 DIFFERENZIALGLEICHUNGEN ..................................................................... 534 11.1 ALLGEM EINES..........................................................................................534 11.1.1 DIFFERENZIALGLEICHUNGEN, A RTEN .............................................. 534 11.1.2 GEWOEHNLICHE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN ................................. 535 11.2 DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 1. O RD NU NG .................................................540 11.2.1 DIFFERENZIALGLEICHUNGEN MIT TRENNBAREN VARIABLEN ............. 540 11.2.2 GLEICHGRADIGE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG .... 542 11.2.3 LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG .....................543 11.2.3.1 HOMOGENE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 1. O RDNUNG..........................................................543 11.2.3.2 INHOMOGENE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 1. O RDNUNG..............................................................544 11.2.4 TOTALE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN .............................................. 546 11.2.5 INTEGRIERENDER F AKTOR..............................................................547 11.2.6 BERNOULLISCHE DIFFERENZIALGLEICHUNG ............................... 548 11.2.7 R ICCATISCHE DIFFERENZIALGLEICHUNG.......................................548 11.2.8 CLAIRAUTSCHE DIFFERENZIALGLEICHUNG ................................. 549 11.3 DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 2. O RD NU NG .................................................550 11.3.1 SONDERFAELLE, ERNIEDRIGUNG DER ORDNUNG...............................550 11.3.2 HOMOGENE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN ........................ 552 11.3.3 HOMOGENE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VERAENDERLICHEN KOEFFIZIENTEN.....................553 11.3.4 INHOMOGENE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN ............................ 554 11.3.5 INHOMOGENE LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VERAENDERLICHEN KOEFFIZIENTEN .................... 556 11.3.6 BESSELSCHE DIFFERENZIALGLEICHUNG ...................................... 560 11.3.7 ANWENDUNGSFALL SCHWINGUNGEN............................................562 11.4 DIFFERENZIALGLEICHUNGEN N-TER O RD NU NG ............................................565 11.5 LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGSSYSTEME............................................569 11.6 NAEHERUNGSLOESUNGEN FUER DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG. . . 571 11.6.1 VERFAHREN UNBESTIMMTER KOEFFIZIENTEN ................................. 571 11.6.2 ITERATIONSVERFAHREN...................................................................573 11.7 ANFANGSWERTPROBLEME .......................................................................... 574 11.7.1 ALLGEMEINES.............................................................................574 11.7.2 EXPLIZITE EINSCHRITTVERFAHREN.................................................577 11.7.2.1 POLYGONZUGVERFAHREN VON E U LER -C AUCHY . . . 577 11.7.2.2 HEUN-VERFAHREN......................................................579 11.7.2.3 KLASSISCHES VERFAHREN VON R U N G E -K UTTA . . . 579 11.7.2.4 EINBETTUNGSFORMELN.................................................580 11.7.3 MEHRSCHRITTVERFAHREN..............................................................580 11.7.3.1 EXPLIZITVERFAHREN VON A DAM S -B ASHFO R TH . . . 581 11.7.3.2 PRAEDIKTOR-KORREKTOR-VERFAHREN VON A DAM S - M O U L T O N ................................................................ 581 11.7.4 EXTRAPOLATIONSVERFAHREN VON B U LIR S C H -S T O E R -G RAGG 583 11.6 RANDWERTPROBLEME ...........................................................................563 11.8.1 ALLGEMEINES ............................................................................. 563 11.8.2 SCHIESSVERFAHREN......................................................................565 11.6.3 DIREKTE DIFFERENZENAPPROXIMATION .......................................566 11.9 PARTIELLE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN ...................................................... 569 11.9.1 ALLGEMEINES ............................................................................. 569 11.9.2 PARTIELLE DIFFERENZIALGLEICHUNG 1. ORDNUNG ........................... 589 11.9.3 PARTIELLE DIFFERENZIALGLEICHUNG 2. ORDNUNG ........................... 591 12 REIHEN, F- UND L-TRANSFORMATION ......................................................... 593 12.1 UNENDLICHE REIHEN ............................................................................. 593 12.1.1 UNENDLICHE ZAHLENREIHEN ...................................................... 593 12.1.2 SUMMEN EINIGER KONVERGENTER ZAHLENREIHEN.....................596 12.1.3 POTENZREIHEN ...........................................................................597 12.1.3.1 ALLGEMEINES ........................................................... 597 12.1.3.2 ENTWICKLUNG VON FUNKTIONEN IN POTENZREIHEN . 599 12.1.4 NUMERISCHE BERECHNUNG VON R E IH E N ................................. 602 12.1.5 ZUSAMMENSTELLUNG FERTIG ENTWICKELTER R E IH E N ................... 603 12.1.6 NAEHERUNGSFORMELN...................................................................607 12.2 FOURIER-REIHEN .................................................................................. 609 12.2.1 FOURIER-REIHE EINER PERIODISCHEN FUNKTION.....................609 12.2.2 NUMERISCHE HARMONISCHE ANALYSE.......................................615 12.2.3 AUSGEWAEHLTE FOURIER-REIHEN ............................................616 12.3 FOURIER-TRANSFORMATION......................................................................622 12.4 LARLACE-TRANSFORMATION......................................................................625 12.4.1 LAPLACE-TRANSFORMATION, ALLGEMEINES ............................... 625 12.4.2 RECHENREGELN DER LAPLACE-TRANSFORMATION ....................... 627 12.4.3 ANWENDUNGEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION.....................630 12.4.3.1 LOESUNG LINEARER DIFFERENZIALGLEICHUNGEN .......... 630 12.4.3.2 TEST LINEARER UEBERTRAGUNGSGLIEDER ....................... 634 12.4.4 KORRESPONDENZTABELLE DER LAPLACE-TRANSFORMATION . . . 637 13 STATISTIK, STOCHASTIK .............................................................................641 13.1 BESCHREIBENDE (DESKRIPTIVE) STATISTIK ............................................ 641 13.1.1 GRUNDBEGRIFFE...........................................................................641 13.1.2 LAGEPARAMETER........................................................................ 645 13.1.3 STREUUNGSPARAMETER..............................................................650 13.1.4 KORRELATION................................................................................653 13.1.5 LINEARE AUSGLEICHSRECHNUNG.................................................655 13.1.5.1 METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE........................655 13.1.5.2 AUSGLEICHENDE G E RA D E ......................................... 656 13.1.5.3 AUSGLEICHENDE P ARABEL ......................................... 657 13.1.5.4 MULTIPLE REGRESSION .............................................. 658 13.1.6 FEHLERFORTPFLANZUNG ............................................................. 659 13.2 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG ........................................................... 663 13.2.1 ZUFALLSEXPERIMENT UND EREIGNIS............................................663 13.2.2 DEFINITION DER WAHRSCHEINLICHKEIT ......................................... 665 13.2.3 SAETZE UEBER WAHRSCHEINLICHKEITEN ......................................... 666 13.2.4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND UNABHAENGIGE EREIGNISSE................................................................................668 13.2.5 ZUFAELLIGE VARIABLE ..................................................................... 671 13.2.6 KENNGROESSEN VON ZUFAELLIGEN VARIABLEN ................................. 674 13.2.6.1 ERWARTUNGSWERT......................................................674 13.2.6.2 VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG ....................... 676 13.2.6.3 SCHIEFE UND E X Z E S S .............................................. 678 13.2.7 AUSGEWAEHLTE DISKRETE VERTEILUNGEN ...................................... 679 13.2.7.1 DISKRETE GLEICHVERTEILUNG ...................................... 679 13.2.7.2 BERNOULLI-VERTEILUNG............................................680 13.2.7.3 BINOMIALVERTEILUNG.................................................680 13.2.7.4 POISSON-VERTEILUNG .............................................. 683 13.2.7.5 HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG ............................ 665 13.2.7.6 GEOMETRISCHE VERTEILUNG ...................................... 686 13.2.8 AUSGEWAEHLTE STETIGE VERTEILUNGEN ......................................... 667 13.2.6.1 STETIGE GLEICHVERTEILUNG (RECHTECKVERTEILUNG). 667 13.2.6.2 NORMALVERTEILUNG ................................................... 667 13.2.8.3 EXPONENTIALVERTEILUNG............................................693 13.2.8.4 ^ -V ERTEILU N G ........................................................... 694 13.2.8.5 F-VERTEILUNG (S T U D E N T -VERTEILUNG) .................... 695 13.3 SCHLIESSENDE (INDUKTIVE) STATISTIK ........................................................ 696 13.3.1 GRUNDBEGRIFFE .......................................................................... 696 13.3.2 PUNKTSCHAETZUNGEN...................................................................697 13.3.3 INTERVALLSCHAETZUNGEN..............................................................699 13.3.3.1 KONFIDENZINTERVALL FUER DEN ANTEIL P ....................... 700 13.3.3.2 KONFIDENZINTERVALLE FUER DEN ERWARTUNGSWERT P . 701 13.3.3.3 KONFIDENZINTERVALL FUER DIE VARIANZ O2 .................. 704 13.3.4 HYPOTHESENTESTS ..................................................................... 705 13.3.4.1 ALLGEMEINES UEBER TESTS ......................................... 705 13.3.4.2 TEST UEBER DEN ANTEIL P .......................................... 707 13.3.4.3 TESTS UEBER DEN ERWARTUNGSWERT P ....................... 710 13.3.4.4 TEST UEBER DIE VARIANZ ER2 ...................................... 713 13.3.4.5 2-ANPASSUNGSTEST.................................................714 14 INTEGRALTABELLEN ...................................................................................... 717 14.1 INTEGRALE RATIONALER FUNKTIONEN.........................................................718 14.1.1 INTEGRALE MIT AX + B ..............................................................716 14.1.2 INTEGRALE MIT AX + B, CX + D .......................... 14.1.3 INTEGRALE MIT AX2 + BX + C ............................ 14.1.4 INTEGRALE MIT A2 X2 ....................................... 14.1.5 INTEGRALE MIT A3 X3 ....................................... 14.1.6 INTEGRALE MIT A4 + X4, A4 - X 4 ....................... 14.2 INTEGRALE NICHTRATIONALER FUNKTIONEN .......................... 14.2.1 INTEGRALE MIT V X UND (A2 B2X^J .......... 14.2.2 INTEGRALE MIT Y ( A X + B)N ............................... 14.2.3 INTEGRALE MIT YJ(AX + B)N, YJ(CX + D)M . . . 14.2.4 INTEGRALE MIT Y J (A2 -I- X2)N ............................ 14.2.5 INTEGRALE MIT YJ (A2 - X2)N ............................ 14.2.6 INTEGRALE MIT YJ (X2 - A2)N ............................ 14.2.7 INTEGRALE MIT YJ (AX2 + BX + C)N .................. 14.3 INTEGRALE TRANSZENDENTER FUNKTIONEN .......................... 14.3.1 INTEGRALE MIT EAX (EXPONENTIALFUNKTIONEN) 14.3.2 INTEGRALE DER HYBERBELFUNKTIONEN .................. 14.3.3 INTEGRALE MIT INX (LOGARITHMISCHE FUNKTION) . 14.3.4 INTEGRALE MIT SIN A X ......................................... 14.3.5 INTEGRALE MIT COS A X ......................................... 14.3.6 INTEGRALE MIT SIN AX UND COS AX BZW. COS BX . 14.3.7 INTEGRALE MIT TAN AX BZW. COT A X ..................... 14.3.8 INTEGRALE DER ARKUSFUNKTIONEN ....................... 14.3.9 INTEGRALE DER AREAFUNKTIONEN .......................... 14.4 BESTIMMTE UND UNEIGENTLICHE INTEGRALE ..................... ANHANG ....................................................................................... SACHWORTVERZEICHNIS 721 722 724 727 728 728 728 729 731 733 736 738 741 744 744 745 747 748 751 754 756 760 761 762 770 781
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