Verfügbarkeit: Mathematik für Informatiker für dummies

Mathematik für Informatiker für dummies:

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Bibliographische Detailangaben
Hauptverfasser:	Steffens, Hans-Jürgen 1952- (VerfasserIn), Zöllner, Christian (VerfasserIn), Mühlmann, Kathrin (VerfasserIn)
Weitere Verfasser:	Haffner, Ernst-Georg 1966- (MitwirkendeR)
Format:	Buch
Sprache:	German
Veröffentlicht:	Weinheim Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA 2020
Ausgabe:	1. Auflage
Schriftenreihe:	... für dummies Lernen einfach gemacht
Schlagworte:	Informatikstudium Mathematik Informatik Lehrbuch
Online-Zugang:	Inhaltsverzeichnis
Beschreibung:	Auf dem Cover: Diskrete Strukturen analysieren. Integrale, Vektoren und Matrizen berechnen. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verstehen.
Beschreibung:	591 Seiten Illustrationen, Diagramme
ISBN:	9783527715206 3527715207

Internformat

MARC


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Datensatz im Suchindex

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adam_text	AUF EINEN BLICK UEBER DEN AUTOR ............................................................................. 9 EINLEITUNG ....................................................................................... 25 TEIL I: NATUERLICHE ZAHLEN UND MENGEN - IM AUGE DES INFORMATIKERS .................................................................................. 31 KAPITEL 1: ZAHLEN UND IHRE LOGIK ................................................................................... 33 KAPITEL 2: IM ASSEMBLER-CODE DER MATHEMATIK - HANDREICHUNGEN FUER UNGLAEUBIGE .. 57 KAPITEL 3: MENGENLEHRE - IM MASCHINENRAUM DER MATHEMATIK .................................. 69 TEIL II: DISKRETE STRUKTUREN ............................................................ 99 KAPITEL 4: SPEZIELLE BEZIEHUNGEN - AEQUIVALENZEN UND ORDNUNGEN ............................ 101 KAPITEL 5: ALLGEMEINE BEZIEHUNGEN UND BEZIEHUNGSKISTEN ........................................ 117 KAPITEL 6: GRUPPEN - ES KANN NICHT NUR EINE GEBEN .................................................... 131 KAPITEL 7: RINGE UND KOERPER .......................................................................................... 147 KAPITEL 8: GRAPHENTHEORIE ............................................................................................. 159 TEIL III: ANALYSIS FUER INFORMATIKER ................................................. 183 KAPITEL 9: REELLE ZAHLEN - DER VIRTUELLE SPRUNG IN DIE UNENDLICHKEIT ......................... 185 KAPITEL 10: PFLEGELEICHTE FUNKTIONEN - STETIGKEIT UND DIFFERENZIERBARKEIT .................... 229 KAPITEL 11: INTEGRALE ........................................................................................................ 271 TEIL IV: VOM WUERFELSPIEL ZUM ALGORITHMUS ................................. 283 KAPITEL 12: WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG - REGELN IM REGELLOSEN ............................... 285 KAPITEL 13: DIE KLASSISCHEN VERTEILUNGEN ........................................................................ 317 KAPITEL 14: TESTEN! - DENN VERTRAUEN IST NICHT IMMER GUT ............................................. 341 KAPITEL 15: PROBABILISTISCHE ALGORITHMEN - THEORETISCH INTERESSANT AUS PRAKTISCHEN GRUENDEN ............................................................................................................................. 361 TEIL V: SPRUNG IN DEN HYPERRAUM .................................................375 KAPITEL 16: VEKTOREN - AGGREGIERTE ZAHLEN ..................................................................... 377 KAPITEL 17: TRANSFORMATIONEN ......................................................................................... 419 KAPITEL 18: LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME - NUMBER CRUNCHING IN DER LINEAREN ALGEBRA ................................................................................................................. 439 TEIL VI: HOEHERE WEIHEN IN DER ANALYSIS ....................................... 453 KAPITEL 19: SKALIERUNG DER DIFFERENZIERBARKEIT .............................................................. 455 KAPITEL 20: POTENZIALE ALS STAMMFUNKTIONEN ................................................................. 473 KAPITEL 21: STEILKURS IN KOMPLEXER FUNKTIONENTHEORIE ................................................... 485 KAPITEL 22: HILBERTRAEUME ................................................................................................. 503 12 AUF EINEN BLICK TEIL VII: ANHANG ............................................................................... 547 ANHANG A: METHODEN EINER FUNKTIONELLEN MENGENTHEORIE ........................................... 549 ANHANG B: BINOMIALVERTEILUNG VERSUS POISSONVERTEILUNG ............................................. 565 ANHANG C: PROGRAMMIERUNG KOMPLEXER ZAHLEN ALS ABSTRAKTE DATENTYPEN .................. 567 ANHANG D: BERECHNUNG VON DETERMINANTEN .................................................................. 575 ANHANG E: MATRIZENKALKUELE ............................................................................................. 581 ANHANG F: BENUTZTE SYMBOLE ......................................................................................... 585 STICHWORTVERZEICHNIS .....................................................................589 INHALTSVERZEICHNIS UEBER DEN AUTOR ............................................................................. 9 DANKSAGUNGEN ........................................................................................................ 9 EINLEITUNG ....................................................................................... 25 UEBER DIESES BUCH ..................................................................................................... 25 WEN HATTEN WIR BEI DIESEM BUCH BESONDERS VOR AUGEN .............................. 25 DURCH WELCHE BRILLE SEHEN WIR ALSO DEN INFORMATIKER? ................................ 26 UND WAS BEDEUTET DIES FUER UNS?.................................................................... 26 HABEN WIR AUCH NICHTINFORMATIKER ALS POTENZIELLE LESER IM BLICK ............... 27 WIE KANN MAN DIESES BUCH LESEN? ................................................................. 27 WELCHE BESONDERHEITEN FINDEN SICH IN UNSEREM BUCH ................................ 27 AUF WELCHE WEITEREN (KLEINEN) INNOVATIONEN DUERFEN WIR HINWEISEN? .......... 28 WANN IST GENUG GENUG? .................................................................................. 29 UND WEITERE LITERATUR ? .................................................................................. 29 KOMMUNIKATION MIT AUTOREN .................................................................................. 30 TEIL I NATUERLICHE ZAHLEN UND MENGEN - IM AUGE DES INFORMATIKERS ............................................................................ 31 KAPITEL 1 ZAHLEN UND IHRE LOGIK .................................................................. 33 WAS ES UEBER DIE VIELFALT DER ZAHLEN ZU SAGEN GIBT ................................................. 33 ZAHLEN ZAEHLEN ................................................................................................. 34 ZAHLEN AUFS PAPIER - UND SPAETER AUF DEN RECHNER ....................................... 35 ES DARFAUCH ETWAS MEHR SEIN - UEBER DIE NATUERLICHEN ZAHLEN HINAUS ......... 36 GANZZAHLIGE BRUECHE - EIN ZWEITER NACHSCHLAG ............................................ 37 DIE WELT DER RATIONALEN ZAHLEN IST FUER INFORMATIKER GENUG - MATHEMATIKER SIND WENIGER BESCHEIDEN ............................................................................... 39 KOMPLEXE ZAHLEN ERWEITERN DEN ZAHLENRAUM EIN WEITERES MAL ................... 41 BLICK AUF DIE GIPFEL: HYPERKOMPLEXE ZAHLEN UND OKTIONEN ......................... 44 WIR WISSEN NUN, UEBER WAS WIR REDEN, WIR WOLLEN JETZT WISSEN, WIE WIR DARUEBER REDEN ....................................................................................................................... 45 PRAEDIKAT - BESONDERS WERTVOLL ...................................................................... 45 (MATHEMATISCHE) WAHRHEIT ............................................................................ 46 OPERATOREN - AUS ZAHLEN WERDEN ZAHLEN ..................................................... 47 LOGISCHE OPERATOREN - SCHNITTSTELLEN ZUR LOGIK .................................................... 48 VERRECHNUNG VON WAHRHEITSWERTEN .............................................................. 48 JUNKTOREN ........................................................................................................ 48 WAHRHEITSTABELLEN .......................................................................................... 49 FUER DEN EINEN IST ES DUPLO, FUER DEN ANDEREN DIE LAENGSTE PRALINE DER WELT - ZUR DOPPELROLLE DER ZAHLEN IN DER FORMALEN LOGIK ....................................... 49 14 INHALTSVERZEICHNIS QUANTOREN IN DER LOGIK - PRAEDIKATE ERHALTEN DURCH SIE IHRE POWER ..................... 52 DER EXISTENZQUANTOR 3 ................................................................................... 53 UMSETZUNG DES EXISTENZQUANTORS IN EINE SCHLEIFE FUER PROGRAMMIERER ....... 53 ALLQUANTOR V .................................................................................................... 54 KAPITEL 2 IM ASSEMBLER-CODE DER MATHEMATIK - HANDREICHUNGEN FUER UNGLAEUBIGE ............................................................................... 57 GEHEN WIR ZURUECK AUF LOS ....................................................................................... 57 WAS PASSIERT EIGENTLICH BEIM RECHNEN? ...................................................... 58 WIR BRINGEN DEM COMPUTER DAS RECHNEN BEI ............................................... 58 WIE SEHEN DIE NAECHSTEN SCHRITTE AUS? ........................................................... 59 REKURSION - VORBEREITUNGEN FUER DIE INDUKTION ............................................. 60 INDUKTION - MIT WARP 10 DURCH ALLE ZAHLEN ................................................... 62 ANWENDUNGEN DER INDUKTION - RETURN ON INVEST .................................................. 63 BEWEIS DES ASSOZIATIVGESETZES ....................................................................... 64 WIR KENNEN DIE ZAHLEN VOM ZAEHLEN HER - KOENNEN WIR SIE AUCH ABSTRAKT CHARAKTERISIEREN? ..................................................................................................... 65 UNENDLICH VIELE ZAHLEN AUF EINEM ENDLICHEN RECHNER? ......................................... 66 KAPITEL 3 MENGENLEHRE - IM MASCHINENRAUM DER MATHEMATIK ............ 69 MENGENLEHRE - FAENGT MAN DAMIT NICHT IMMER AN? ................................................ 70 DIE SPRACHE DER MENGENLEHRE - GOETHE WAERE NOT .................................... 70 ERSTE ANFORDERUNGEN AN DEN MENGENBEGRIFF ................................................ 71 MENGENTHEORETISCHE OPERATIONEN ................................................................ 72 AEQUIVALENZ VON AUSSAGEN - GLEICHHEIT VON MENGEN .................................... 74 EIGENSCHAFTEN DER OPERATIONEN U, N UND ................................................... 74 FALLSTRICKE UND SICHERUNGEN ........................................................................... 76 WEITERE MENGENTHEORETISCHE OPERATIONEN .................................................. 77 MENGEN ALS LOGISCHE BAUSTEINE FUER DIE IMPLEMENTIERUNG VON ZAHLEN ................ 80 SPEZIELLE REALISIERUNGEN DES ZAEHLPROZESSES ................................................. 80 MENGEN - WAS KANN MAN SICH DARUNTER VORSTELLEN ............................................... 83 LINUX-FILESYSTEM ALS MODELL FUER EIN MENGENSYSTEM ..................................... 83 INFINITE IN ALL DIRECTIONS .................................................................................. 85 MENGEN FUER DATENBANKER ....................................................................................... 86 ABSTRAKTIONEN ................................................................................................. 87 DATENBANKEN? - KEEP IT SIMPLE AND STUPID .................................................. 88 NUR FUER THEORETIKER: SUCHEN, BIS DIE STERNE VERGLUEHEN ................................ 88 WER HAT ANGST VOR GRAPHEN? .................................................................................. 90 URLEMENTE - EIN BISSCHEN MEDIENBRUCH ................................................................ 92 MENGENLEHRE FUER INFORMATIKER MIT DER HARTEN KINNLADE .................................... 93 PRAEDIKATENLOGIK MIT EINEM EINZIGEN PRAEDIKAT ............................................... 93 SKOLEMISIERUNG - ODER WIE DESTILLIERT MAN OPERATIONEN AUS AUSSAGEN ...... 96 INHALTSVERZEICHNIS 15 TEIL II DISKRETE STRUKTUREN ................................................................ 99 KAPITEL 4 SPEZIELLE BEZIEHUNGEN - AEQUIVALENZEN UND ORDNUNGEN ....... 101 AEQUIVALENZRELATIONEN - DAS GLEICHE VERSUS DASSELBE ........................................... 102 AEQUIVALENZRELATION - DIE ERSTE ....................................................................... 103 AEQUIVALENZRELATION - DIE ZWEITE .................................................................... 108 ORDNUNGSRELATIONEN - ORDNUNG IN DER MATHEMATISCHEN WELT ............................. 109 GEORDNETE ZAHLEN - DIE KLEINER/GLEICH BEZIEHUNG ....................................... 109 VERTRAEGLICHKEITEN ............................................................................................. 110 TEILBARKEIT - AUCH EINE ORDNUNG ................................................................... 111 AUCH DIE TEILBARKEIT IST RELATIV VERTRAEGLICH UND PFLEGELEICHT ......................... 111 DIE MENGENTHEORETISCHE INKLUSION - EINE ORDNUNG FUER SICH ....................... 112 DIE ORDNUNGSBEZIEHUNGEN - WAS HABEN SIE GEMEIN, WAS UNTERSCHEIDET SIE ............................................................................................ 112 ORDNUNGSBEZIEHUNGEN UND GRENZEN ............................................................ 113 GRAPHEN ALS MEDIUM FUER DIE DARSTELLUNG PARTIELLER ORDNUNGEN ................. 114 KAPITEL 5 ALLGEMEINE BEZIEHUNGEN UND BEZIEHUNGSKISTEN ...................... 117 BEZIEHUNGEN ALS TABELLEN ........................................................................................ 118 INOFFIZIELLE BEZIEHUNGEN ................................................................................. 119 REALISIERUNGEN INOFFIZIELLER BEZIEHUNGEN ..................................................... 120 OPERIEREN MIT BEZIEHUNGEN ................................................................................... 122 JEMANDEN KENNEN, DER JEMANDEN KENNT, DER BEZIEHUNGEN HAT ................... 123 SPEZIALFAELLE: VERKNUEPFUNGEN MIT DER INVERSEN BEZIEHUNG ............................ 124 VERKNUEPFUNGEN UNTERSCHIEDLICHER RELATIONEN .............................................. 125 AUSBLICK AUF RELATIONEN ZWISCHEN UNTERSCHIEDLICHEN MENGEN ............................. 126 EINDEUTIGE BEZIEHUNGEN - AUF DEM WEG ZU FUNKTIONEN ...................................... 127 VAETER UND VAETER VON VAETERN ........................................................................... 128 FUNKTIONEN UND IHRE ALLGEMEINEN EIGENSCHAFTEN ......................................... 129 KAPITEL 6 GRUPPEN - ES KANN NICHT NUR EINE GEBEN ................................... 131 UEBER DIE ADDITION GANZER ZAHLEN ........................................................................... 131 BEWEIS DER EINDEUTIGKEIT DES NEUTRALEN ELEMENTS ....................................... 132 VON DEN GANZEN ZAHLEN ZUM ALLGEMEINEN GRUPPENBEGRIFF .................................. 132 ABSTRAKTE KOMMUTATIVE GRUPPEN G .............................................................. 133 NICHTKOMMUTATIVE GRUPPEN .......................................................................... 133 BEISPIELE VON IN DER NATUR AUFTRETENDEN GRUPPEN - SYMMETRIEGRUPPEN... 134 GRUPPEN UND FAKTORGRUPPEN ................................................................................. 139 FAKTORGRUPPEN DER GANZEN ZAHLEN ................................................................ 139 ALLGEMEINE GRUPPEN UND FAKTORGRUPPEN ..................................................... 141 DER INDEX EINER UNTERGRUPPE H C G ............................................................. 142 UNTERGRUPPEN ENDLICHER GRUPPEN ................................................................. 143 16 INHALTSVERZEICHNIS KAPITEL 7 RINGE UND KOERPER ............................................................................ 147 UEBERBLICK RINGE ....................................................................................................... 148 UEBERBLICK KOERPER ..................................................................................................... 149 EIN RUECKBLICK AUF DIE TEILBARKEIT UND DIE PRIMZAHLEN ............................................ 149 Z* ALS RESTKLASSENRING ............................................................................................. 151 WOHLDEFINIERTHEIT DER OPERATIONEN AUF DEN RESTKLASSEN ............................. 151 DER EUKLIDISCHE ALGORITHMUS .......................................................................... 152 EINHEITEN IN Z* ................................................................................................ 153 EULERSCHE -FUNKTION ...................................................................................... 153 RETURN ON INVEST - DAS RSA VERFAHREN IN DER KRYPTOLOGIE .................................... 154 ASYMMETRISCHE VERSCHLUESSELUNGSVERFAHREN ................................................. 155 DAS RSA-VERFAHREN IN DER THEORIE ................................................................. 155 PRAKTISCHE BEMERKUNGEN ZUM RSA-VERFAHREN ............................................. 157 KAPITEL 8 GRAPHENTHEORIE ..............................................................................159 ZUR MOTIVATION ........................................................................................................ 159 DAS HAUS VOM NIKOLAUS .......................................................................................... 160 GERICHTETE UND UNGERICHTETE GRAPHEN ................................................................... 160 ZUSAMMENHAENGENDE UND UNZUSAMMENHAENGENDE GRAPHEN .............................. 161 SCHLINGEN UND PARALLELE KANTEN, NULLGRAPH UND EINFACHER GRAPH ........................ 162 ECKENGRAD ................................................................................................................ 163 ALGORITHMISCHE EIGENSCHAFTEN DES ECKENGRADS ............................................ 164 HANDSHAKE-LEMMA ................................................................................................. 164 KOENIGSBERGER BRUECKENPROBLEM ............................................................................... 166 EULERGRAPH UND EIGENSCHAFTEN ............................................................................... 167 EULERKREIS/EULERSCHE TOUREN ................................................................................... 168 ADJAZENZMATRIX ....................................................................................................... 168 WANN SIND GRAPHEN ISOMORPH? - ADJAZENZMATRIZEN ............................................ 169 ALTERNATIVE TABELLENDARSTELLUNG - INZIDENZMATRIZEN ............................................. 170 BAEUME .......................................................................................................... 171 DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN EINES BAUMES ......................................................... 171 SPANNBAUM ..................................................................................................... 171 DEFINITION VON WAELDERN .......................................................................................... 171 WURZELBAUM ............................................................................................................ 172 BINAERBAEUME ............................................................................................................. 174 SUCHBAUM ....................................................................................................... 175 TRAVERSIEREN VON WURZELBAEUMEN ........................................................................... 175 WIE GEHOEREN BINAERBAEUME UND ALGEBRAISCHE AUSDRUECKE ZUSAMMEN? .................. 176 KUERZESTE WEGE FINDEN ............................................................................................. 177 KRUSKAL-ALGORITHMUS ............................................................................................... 180 PRIM-ALGORITHMUS .................................................................................................... 180 DIJKSTRA-ALGORITHMUS ............................................................................................... 181 INHALTSVERZEICHNIS 17 TEIL III ANALYSIS FUER INFORMATIKER ..................................................... 183 KAPITEL 9 REELLE ZAHLEN - DER VIRTUELLE SPRUNG IN DIE UNENDLICHKEIT .... 185 IRRATIONALE ZAHLEN .................................................................................................... 185 V2 IST EINE IRRATIONALE ZAHL ............................................................................ 186 REELLE ZAHLEN .......................................................................................................... 187 DIE EINFUEHRUNG DER REELLEN ZAHLEN - FUER INFORMATIKER EINE KLEINE REVOLUTION ..... 188 ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN DER REELLEN ZAHLEN .............................................. 189 ABSCHAETZUNGEN, DIE ANALYSIS LEBT DAVON ................................................................ 191 BETRAGSFUNKTION UND DREIECKSUNGLEICHUNG ................................................... 191 BERNOULLISCHE UNGLEICHUNG ............................................................................ 193 DER UMGEBUNGSBEGRIFF ........................................................................................... 194 UNENDLICHE FOLGEN .................................................................................................. 194 TECHNISCHE DEFINITION DER KONVERGENZ .......................................................... 196 ARBEITEN MIT DER TECHNISCHEN DEFINITION ...................................................... 196 BESONDERE EIGENSCHAFTEN KONVERGENTER FOLGEN ........................................... 197 HINREICHENDE KONVERGENZBEDINGUNGEN BESCHRAENKTER FOLGEN ..................... 198 WICHTIGE SPEZIALFAELLE: DIE FOLGEN (1 +1 /) UND (1 + 1/ M ) +1 ........................ 200 REKURSIV DEFINIERTE FOLGEN .............................................................................. 201 HAEUFUNGSPUNKTE VON FOLGEN ......................................................................... 205 GRENZWERTSAETZE FUER FOLGEN - HANDREICHUNGEN FUER KLAUSUREN .............................. 206 BEWEIS DES ERSTEN GRENZWERTSATZES ............................................................. 206 BEISPIELHAFTE FOLGERUNGEN AUS DEN GRENZWERTSAETZEN .................................. 207 MEHR WERKZEUGE ZUR BESTIMMUNG DES KONVERGENZVERHALTENS ............................ 209 DAS CAUCHYSCHE KONVERGENZKRITERIUM .......................................................... 209 GRENZWERTE UNENDLICHER REIHEN ............................................................................ 210 DIE HARMONISCHE REIHE .................................................................................. 210 BEGRIFFLICHE EINORDNUNG DER UNENDLICHEN REIHEN ........................................ 211 CAUCHYSCHE KONVERGENZKRITERIUM FUER UNENDLICHE REIHEN ........................... 212 EINFACHE BEISPIELE UNENDLICHER REIHEN ......................................................... 212 WURZEL- UND QUOTIENTENKRITERIUM - DIE WICHTIGSTEN KONVERGENZKRITERIEN FUER REIHEN .................................................................... 213 ABSOLUTE KONVERGENZ ...................................................................................... 218 DIE ALLGEMEINE BINOMISCHE FORMEL ........................................................................ 224 DIE FAKULTAETSFUNKTION .................................................................................... 224 BINOMIALKOEFFIZIENTEN .................................................................................... 225 BINOMISCHE FORMEL ........................................................................................ 226 KAPITEL 10 PFLEGELEICHTE FUNKTIONEN - STETIGKEIT UND DIFFERENZIERBARKEIT .............................................. 229 GRUNDSAETZLICHE BEMERKUNGEN ................................................................................ 230 DURCHHALTEPAROLEN FUER DIE ANALYSIS ........................................................... 231 DER GRENZWERTBEGRIFF BEI FUNKTIONEN .................................................................... 232 KONVERGENZ MITHILFE DES UMGEBUNGSBEGRIFFS .............................................. 233 18 INHALTSVERZEICHNIS KONVERGENZ UNTER RUECKGRIFF AUF FOLGENKONVERGENZ ..................................... 233 KONVERGENZSAETZE ............................................................................................. 235 ANWENDUNG DER KONVERGENZSAETZE AUF DIE EXPONENTIALFUNKTION .................. 236 STETIGE FUNKTIONEN ................................................................................................... 239 BEISPIEL EINER FUNKTION, DIE NUR AN EINER STELLE STETIG IST ............................. 240 WICHTIGE EIGENSCHAFTEN STETIGER FUNKTIONEN ................................................. 240 DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN ................................................................................... 243 DIE LANDAU-SYMBOLE O() UND O() ................................................................... 243 DIFFERENZIERBARKEIT VIA O(X) .............................................................................. 244 DIFFERENZIERBARKEIT VIA DIFFERENZENQUOTIENT ................................................. 245 BEIDE DEFINITIONEN DER DIFFERENZIERBARKEIT SIND AEQUIVALENT ........................ 247 RECHENREGELN FUER ABLEITUNGEN ................................................................................ 249 VERTRAEGLICHKEIT DER DIFFERENZIALQUOTIENTEN MIT DER SUMMENBILDUNG ........... 249 PRODUKTREGEL .................................................................................................... 249 QUOTIENTENREGEL .............................................................................................. 250 KETTENREGEL ...................................................................................................... 251 WICHTIGE BEISPIELE DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN .................................................. 252 DIFFERENZIERBARKEIT DER POLYNOME ................................................................. 252 ABLEITUNG DER E-FUNKTION UND DES LOGARITHMUS ........................................... 253 ABLEITUNGEN DER TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN .......................................... 254 DER MITTELWERTSATZ DER DIFFERENZIALRECHNUNG ........................................................ 257 DER SATZ VON ROLLE .......................................................................................... 258 FOLGERUNGEN AUS DEM MITTELWERTSATZ .................................................................... 259 DIE REGELN VON L HOSPITAL ................................................................................ 259 WICHTIGE BEISPIELE FUER DIE ANWENDUNG DER L HOSPITALSCHEN REGELN ............. 261 TAYLORPOLYNOME UND TAYLORENTWICKLUNG ........................................................ 263 BEISPIELE VON TAYLORENTWICKLUNGEN ................................................................ 267 ANALYTISCHE FUNKTIONEN ALS GANZHEITLICHE FUNKTIONEN .............................. 270 KAPITEL 11 INTEGRALE .......................................................................................... 271 STAMMFUNKTIONEN .................................................................................................... 271 INTEGRALE ELEMENTARER FUNKTIONEN ................................................................. 272 PARTIELLE INTEGRATION ........................................................................................ 273 INTEGRATION PER SUBSTITUTION .......................................................................... 275 RATIONALE FUNKTIONEN UND PARTIALBRUCHZERLEGUNGEN .................................... 276 BESTIMMTE INTEGRALE ............................................................................................... 279 EINSTIEG IN DIE FLAECHENBERECHNUNG ................................................................ 279 STAMMFUNKTIONEN IN ACTION ........................................................................ 281 TEIL IV VOM WUERFELSPIEL ZUM ALGORITHMUS.................................... 283 KAPITEL 12 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG - REGELN IM REGELLOSEN ......... 285 AM ANFANG WAR DAS SPIEL - GRUNDLEGENDE BEGRIFFLICHKEITEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG ................................................................................. 286 INHALTSVERZEICHNIS 19 EREIGNISSE UND ELEMENTAREREIGNISSE ............................................................. 286 WAHRSCHEINLICHKEITEN ...................................................................................... 290 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN IM FORMALEN RAHMEN ....................... 295 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN - CORRIGER LA FORTUNE ................................... 297 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN REENGINEERED - DIE FORMEL VON BAYES....... 302 ZUFALLSVARIABLE - GEEIGNETE CODIERUNGEN ZUFAELLIGER EREIGNISSE ............................ 303 ZUFALLSVARIABLE - UEBERTRAGUNG VON WAHRSCHEINLICHKEITEN AUF ZAHLENMENGEN ............................................................................................... 304 SUMMEN UND PRODUKTE VON ZUFALLSVARIABLEN ............................................... 305 VON DER ZUFALLSVARIABLEN ZUR VERTEILUNGSFUNKTION ......................................... 306 MITTELWERTE IN VERSCHIEDENEN AUSPRAEGUNGEN: ERWARTUNGSWERTE UND VARIANZEN ........................................................................................................ 308 DER ERWARTUNGSWERT DER STREUUNG - DIE VARIANZ .......................................... 311 KORRELATIONEN - SYNCHRONE STREUUNGEN ........................................................ 313 KAPITEL 13 DIE KLASSISCHEN VERTEILUNGEN ...................................................... 317 BINOMIALVERTEILUNG ................................................................................................. 317 MUENZWURF MIT GEAENDERTEN SPIELREGELN .......................................................... 318 ERWARTUNGSWERTE UND VARIANZEN FUER BINOMIALVERTEILTE ZUFALLSVARIABLEN ...... 319 GEOMETRISCHE VERTEILUNG ........................................................................................ 321 GEAENDERTE SPIELREGELN ................................................................................... 322 POISSONVERTEILTE ZUFALLSVARIABLEN ........................................................................... 323 NAEHERUNGSVERFAHREN FUER DIE BINOMIALVERTEILUNG - DIE POISSONVERTEILUNG .. 324 ERWARTUNGSWERTE UND VARIANZEN POISSONVERTEILTER ZUFALLSVARIABLEN ........... 326 STETIGE VERTEILUNGEN ................................................................................................ 328 EXPONENTIALVERTEILUNG ..................................................................................... 329 NORMALVERTEILUNG ........................................................................................... 333 KAPITEL 14 TESTEN! - DENN VERTRAUEN IST NICHT IMMER GUT .......................... 341 DIE UNGLEICHUNG VON TSCHEBYSCHEFF ....................................................................... 343 NORMALVERTEILUNG UND TSCHEBYSCHEFFSCHE UNGLEICHUNG IN DER GEGENUEBERSTELLUNG ......................................................................................... 345 TSCHEBYSCHEFFSCHE UNGLEICHUNG UND DIE GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN ........ 347 BEISPIELHAFTE ANWENDUNG DES MAXIMUM-LIKELIHOOD-PRINZIPS ............................. 349 UEBER DAS TESTEN VON HYPOTHESEN .......................................................................... 350 SIGNIFIKANZTESTS ............................................................................................... 350 ALTERNATIVTESTS ................................................................................................ 353 ^-ANPASSUNG UND^-TEST ............................................................................... 358 KAPITEL 15 PROBABILISTISCHE ALGORITHMEN - THEORETISCH INTERESSANT AUS PRAKTISCHEN GRUENDEN ................. 361 SORTIERVERFAHREN ...................................................................................................... 362 STATISTISCHE ANALYSE DES QUICKSORTS ............................................................... 362 20 INHALTSVERZEICHNIS MONTE CARLO UND LAS VEGAS - DIE GANZE WAHRHEIT UND NICHTS ALS DIE WAHRHEIT .. 364 QUICKSORT DURCH DIE BRILLE VON LAS VEGAS BETRACHTET .................................... 364 LAS VEGAS LIBERALISIERT - NUR NOCH NICHTS ALS DIE WAHRHEIT ....................... 364 MONTE CARLO - DIE GANZE WAHRHEIT ............................................................ 370 TEIL V SPRUNG IN DEN HYPERRAUM ...................................................... 375 KAPITEL 16 VEKTOREN - AGGREGIERTE ZAHLEN .................................................... 377 ERSTE OPERATIONEN MIT VEKTOREN: ADDITION UND SKALARE MULTIPLIKATION ................ 377 KRAEFTE KOENNEN IN UNTERSCHIEDLICHEN REIHENFOLGEN ADDIERT WERDEN ............. 378 DIE ADDITION VON DREI ODER MEHR VEKTOREN KANN UNTERSCHIEDLICH GEKLAMMERT WERDEN ....................................................................................... 378 ZU JEDEM VEKTOR GIBT ES EINEN INVERSEN VEKTOR ............................................ 379 VEKTOREN KOENNEN MIT ZAHLEN MULTIPLIZIERT WERDEN ....................................... 380 AUCH GESCHWINDIGKEITEN SIND VEKTOREN ........................................................ 380 DAS SKALARPRODUKT - HIERMIT ERHAELT DIE VEKTORRECHNUNG IHRE EIGENTLICHE POWER ....................................................................................................................... 382 DAS SKALARPRODUKT ALS MITTEL ZUR BERECHNUNG PHYSIKALISCHER ARBEIT .......... 382 DAS SKALARPRODUKT ERFASST GEOMETRISCH WICHTIGE SACHVERHALTE - ORTHOGONALITAET, LAENGE UND ABSTAND ............................................................. 383 DIE ALGEBRAISIERUNG DER GEOMETRIE ........................................................................ 383 ALGEBRAISIERUNG DER GEOMETRIE ...................................................................... 384 DIE ALGEBRAISIERUNG DER GEOMETRIE ZUM ZWEITEN ................................................. 387 DIE SEITENHALBIERENDEN - REVISITED ................................................................ 387 VEKTOREN IN KOORDINATENSYSTEMEN ................................................................ 389 AUCH UMGEKEHRT WIRD EIN SCHUH DRAUS: VEKTOREN ERZEUGEN EIN KOORDINATENSYSTEM ........................................................................................ 393 ABSTRAKTE VEKTOREN: VEKTORRAEUME .......................................................................... 397 EINSTIEG IN DIE KLASSE VECTOR ......................................................................... 397 SPEZIFIKATION VON VEKTORRAEUMEN ................................................................... 399 STRATEGISCHE BEGRIFFE ...................................................................................... 401 AUCH DER ABSTRAKTE VEKTORRAUM KANN ALS AGGREGAT VON ZAHLEN AUFGEFASST WERDEN .......................................................................................... 406 ABER WIE DECODIEREN WIR EIN V EINES ABSTRAKTEN VEKTORRAUMES V PRAKTISCH? ........................................................................................................ 408 ERWEITERUNG DER VEKTORRAUMSPEZIFIKATION DURCH ABSTRAKTE SKALARPRODUKTE ............................................................................................... 411 DIE ZWEITE CHANCE DES MATHEMATIKERS ......................................................... 417 DIE NATUR SPIELT MIT ........................................................................................ 418 KAPITEL 17 TRANSFORMATIONEN .......................................................................... 419 DUALE BASEN ............................................................................................................. 420 KOVARIANTE UND KONTRAVARIANTE KOMPONENTEN ............................................. 422 DIE BEZIEHUNGEN ZWISCHEN KOVARIANTEN UND KONTRAVARIANTEN KOMPONENTEN ................................................................................................ 422 INHALTSVERZEICHNIS 21 DER UEBERGANG ZWISCHEN KO- UND KONTRAVARIANTEN KOORDINATEN BEI ORTHONORMIERTEN BASEN ................................................................................. 423 NICHT ORTHONORMALE BASEN - KOENNTEN WIR AUF SIE VERZICHTEN? ..................... 424 ASYMMETRISCHE VERSCHLUESSELUNGSVERFAHREN MIT HILFE DUALER BASEN .................... 426 LINEARE ABBILDUNGEN ............................................................................................... 427 DREHUNGEN ...................................................................................................... 427 MATRIZEN - OPERATIONELLE CODIERUNG LINEARER ABBILDUNGEN ......................... 428 BASISTRANSFORMATIONEN ........................................................................................... 434 MATRIZEN DER BASISTRANSFORMATION ................................................................. 434 BESONDERE EIGENSCHAFTEN DER MATRIZEN DER BASISTRANSFORMATIONEN .......... 434 DIE MATRIZEN DER BASISTRANSFORMATIONEN ALS MATRIZEN EINER ABBILDUNG ..... 435 BASISTRANSFORMATIONEN ORTHONORMIERTER BASEN ........................................... 437 KAPITEL 18 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME - NUMBER CRUNCHING IN DER LINEAREN ALGEBRA .............................. 439 GLEICHUNGSSYSTEME UND ZUGEHOERIGE MATRIZEN ...................................................... 440 BEDINGUNGEN DER LOESBARKEIT VON GLEICHUNGSSYSTEMEN ............................... 441 DER GAUSSSCHE ALGORITHMUS ........................................................................... 442 HOMOGENE UND INHOMOGENE GLEICHUNGSSYSTEME ....................................... 445 DETERMINANTEN IN AKTION ................................................................................ 446 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN ............................................................................... 448 AUFFINDEN DER EIGENWERTE .............................................................................. 449 BERECHNUNG DER EIGENVEKTOREN ..................................................................... 449 EIGENVEKTOREN UND DIAGONALISIERUNG VON MATRIZEN ..................................... 450 BESONDERHEITEN SYMMETRISCHER MATRIZEN .................................................... 451 TEIL VI HOEHERE WEIHEN IN DER ANALYSIS .............................................453 KAPITEL 19 SKALIERUNG DER DIFFERENZIERBARKEIT .............................................455 BEHANDLUNG VON FUNKTIONEN ZWEIER VARIABLEN ..................................................... 455 DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN ZWEIER VARIABLEN .................................. 456 NICHTDIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN TROTZ EXISTENZ PARTIELLER ABLEITUNG ......... 458 HINREICHENDE BEDINGUNGEN FUER DIE DIFFERENZIERBARKEIT ............................... 461 BEHANDLUNG VON FUNKTIONEN BELIEBIG VIELER VARIABLEN .......................................... 462 VEKTORWERTIGE FUNKTIONEN ...................................................................................... 463 DIFFERENZIERBARKEIT VEKTORWERTIGER FUNKTIONEN ............................................ 463 RECHENREGELN FUER GRADIENTEN UND FUNKTIONALMATRIZEN ............................... 464 HESSE-MATRIX UND TAYLORENTWICKLUNGEN ................................................................. 466 V ALS VEKTOROPERATOR ..................................................................................... 466 KRITISCHE PUNKTE UND EXTREMWERTE ............................................................... 468 ANALYSE DER HESSE-MATRIX ............................................................................. 469 BEISPIELRECHNUNG ZUR ANALYSE KRITISCHER PUNKTE ........................................... 470 22 INHALTSVERZEICHNIS KAPITEL 20 POTENZIALE ALS STAMMFUNKTIONEN .............................................. 473 GENERELLE BEMERKUNGEN ZUM BEGRIFF STAMMFUNKTION ................................. 473 ANSAETZE ZUR DEFINITION DES INTEGRALS F~ O F(S)DS .............................................. 474 NOTIZ ZU F(S ; ) * (AS), = (A(T,)) * A(T,)(AT),.......................................................... 475 VEKTORFELDER ............................................................................................................. 475 NOTWENDIGE INTEGRATIONSBEDINGUNGEN FUER VEKTORFELDER .............................. 476 KURVENINTEGRALE UEBER VEKTORFELDER ................................................................ 477 HINREICHENDE INTEGRATIONSBEDINGUNGEN FUER VEKTORFELDER ............................ 480 EXISTENZ EINES GLOBALEN POTENZIALS TROTZ EXISTENZ EINER SINGULARITAET ............ 481 BEISPIELHAFTE BERECHNUNG EINER POTENZIALFUNKTION ...................................... 482 KAPITEL 21 STEILKURS IN KOMPLEXER FUNKTIONENTHEORIE ............................... 485 DAS FORMALE RECHNEN MIT KOMPLEXEN ZAHLEN ........................................................ 485 ADDITION KOMPLEXER ZAHLEN ........................................................................... 486 MULTIPLIKATION KOMPLEXER ZAHLEN ................................................................... 486 INVERSE KOMPLEXER ZAHLEN .............................................................................. 486 KOMPLEXE ZAHLEN ALS ABSTRAKTER DATENTYP ............................................................ 487 AEQUIVALENTE MODELLE KOMPLEXER ZAHLEN ........................................................ 487 ALTERNATIVE MODELLE ........................................................................................ 488 AUCH AEQUIVALENZKLASSEN VON POLYNOMEN VERHALTEN SICH WIE KOMPLEXE ZAHLEN ............................................................................................................. 490 KOMPLEXE DIFFERENZIERBARKEIT ................................................................................. 492 QUICK-AND-DIRTY-UEBERLEGUNGEN ...................................................................... 492 EIN ZWEITER BLICK AUF DIE DIFFERENZIERBARKEIT KOMPLEXWERTIGER FUNKTIONEN ...................................................................................................... 493 KOMPLEXE KURVENINTEGRALE ...................................................................................... 494 KURVENINTEGRALE UND KOMPLEXE DIFFERENZIERBARKEIT ..................................... 495 AUF DEM WEG ZUR CAUCHYSCHEN INTEGRALFORMEL ............................................ 496 BEWEIS DER CAUCHYSCHEN INTEGRALFORMEL ....................................................... 496 ANALYTIZITAET KOMPLEX DIFFERENZIERBARER FORMELN ........................................... 498 DREI WICHTIGE FOLGERUNGEN .............................................................................. 500 KAPITEL 22 HILBERTRAEUME ................................................................................ 503 KOMPLEXE VEKTORRAEUME .......................................................................................... 504 KOMPLEXE SKALARPRODUKTE .............................................................................. 505 BEISPIELE KOMPLEXER VEKTORRAEUME ................................................................. 507 HILBERTBASEN FUER TUPEL ................................................................................... 510 HILBERTBASEN FUER TREPPENFUNKTIONEN ............................................................ 511 REDUKTIONEN DER TREPPENBREITE .............................................................................. 512 TREPPENFUNKTIONEN DER TREPPENBREITE I ...................................................... 512 EIN NEUER ANSATZ - EINE LETZTE CHANCE .......................................................... 515 NEUE BASEN, NEUE NORMIERUNGEN ................................................................. 519 DIE 5-FUNKTION - EIN AUSSENSKELETT FUER HILBERTRAEUME ............................... 522 INHALTSVERZEICHNIS 23 MANAGEMENT SUMMARY DES WEGS HIN ZUR 5-FUNKTION ........................................... 524 DER HILBERTRAUM DER PERIODISCHEN FUNKTIONEN ..................................................... 526 FUNKTIONEN MIT PERIODE 2 N ............................................................................. 526 DIE -FUNKTIONEN ALS UNIVERSELLE BAUSTEINE .................................................. 526 FOURIERANALYSE UND FOURIERKOEFFIZIENTEN ...................................................... 527 BASISTRANSFORMATIONEN .................................................................................. 528 FOURIERTRANSFORMATIONEN NICHT PERIODISCHER FUNKTIONEN ..................................... 529 BASISFUNKTIONEN FUER 2/RL-PERIODISCHE FUNKTIONEN .......................................... 530 ANALYSE DES UEBERGANGS L - OO ....................................................................... 530 DIE FOURIERTRANSFORMATIONEN ALS BASISTRANSFORMATIONEN ............................ 532 HILBERTRAEUME IN DER PHYSIK ..................................................................................... 533 VEKTOREN IN DER KLASSISCHEN PHYSIK ................................................................ 533 VEKTOREN IN DER MIKROPHYSIK .......................................................................... 534 ABSTRAKTE VEKTOREN IM HILBERTRAUM ............................................................... 534 ORTE UND IMPULSE ........................................................................................... 535 DIE HEISENBERGSCHE UNSCHAERFERELATION ......................................................... 536 HILBERTRAEUME IM QUANTENCOMPUTING -ELEMENTARE KONZEPTE ............................. 539 BITS UND QUBITS ............................................................................................... 539 BLOCH-SPHAERE .................................................................................................. 540 OPERATIONEN AUF DER BLOCH-SPHAERE ................................................................ 541 2-QUBITS .......................................................................................................... 542 EPR-PAARE UND QUANTENTELEPORTATION ........................................................... 544 TEIL VII ANHANG .......................................................................................... 547 ANHANG A: METHODEN EINER FUNKTIONELLEN MENGENTHEORIE ........................................... 549 ZIELKONFLIKTE ...................................................................................... 549 JAVA-Z-FUNKTIONEN ................................................................................................... 550 ANHANG B: BINOMIALVERTEILUNG VERSUS POISSONVERTEILUNG ............................................. 565 ANHANG C: PROGRAMMIERUNG KOMPLEXER ZAHLEN ALS ABSTRAKTE DATENTYPEN ................. 567 ANHANG D: BERECHNUNG VON DETERMINANTEN .................................................................. 575 ANHANG E: MATRIZENKALKUELE ............................................................................................. 581 MATRIXMULTIPLIKATION ............................................................................................... 581 ANHANG F: BENUTZTE SYMBOLE ......................................................................................... 585 STICHWORTVERZEICHNIS .................................................................... 589
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