Verfügbarkeit: Lineare Algebra

Lineare Algebra: Grundlagen und Anwendungen

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Hauptverfasser:	Knabner, Peter 1954- (VerfasserIn), Barth, Wolf 1942-2016 (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	German
Veröffentlicht:	Berlin Springer Sprektum [2018]
Ausgabe:	2., überarbeitete und erweiterte Auflage
Schlagworte:	Lineare Algebra Numerische Lineare Algebra Lineare Algebra Einführung Lineare Algebra für Studienanfänger Lineare Algebra Basics Anwendungen Lineare Algebra Lehrbuch
Online-Zugang:	Inhaltstext Inhaltsverzeichnis
Beschreibung:	xvii, 997 Seiten Illustrationen, Diagramme 24 cm x 16.8 cm
ISBN:	9783662555996 3662555999

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adam_text	INHALTSVERZEICHNIS 1 D ER ZAHLENRAUM R UND DER BEGRIFF DES REELLEN VEKTORRAUMS .................. 1 1.1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME......................................................................... 1 1.1.1 BEISPIELE UND SPEZIALFAELLE ............................................................... 1 1.1.2 DIE ELIMINATIONSVERFAHREN VON G AUSS UND G AUSS -J ORDAN . . . 15 AUFGABEN........................................................................................... 28 1.2 VEKTORRECHNUNG IM R UND DER BEGRIFF DES R-VEKTORRAUMS ..................... 30 1.2.1 VEKTOREN IM R , HYPEREBENEN UND GLEICHUNGEN .......................... 30 1.2.2 TUPEL-VEKTORRAEUME UND DER ALLGEMEINE R-VEKTORRAUM ................ 44 AUFGABEN........................................................................................... 54 1.3 LINEARE UNTERRAEUME UND DAS MATRIX-VEKTOR-PRODUKT................................ 55 1.3.1 ERZEUGENDENSYSTEM UND LINEARE H UELLE............................................ 55 1.3.2 DAS MATRIX-VEKTOR-PRODUKT ............................................................. 62 AUFGABEN........................................................................................... 74 1.4 LINEARE (UN-)ABHAENGIGKEIT UND DIMENSION............................................... 75 1.4.1 LINEARE (UN-)ABHAENGIGKEIT UND D IM ENSION.................................. 75 1.4.2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND IHRE UNTERRAEUME I: DIMENSIONSFORMELN......................................................................... 91 AUFGABEN........................................................................................... 101 1.5 DAS EUKLIDISCHE SKALARPRODUKT IM R UND VEKTORRAEUME MIT SKALARPRODUKT 103 1.5.1 SKALARPRODUKT, NORM UND W INKEL ................................................... 103 1.5.2 ORTHOGONALITAET UND ORTHOGONALE PROJEKTION.................................... 110 AUFGABEN........................................................................................... 131 1.6 MATHEMATISCHE MODELLIERUNG: DISKRETE LINEARE PROBLEME UND IHRE HERKUNFT......................................................................................................... 132 AUFGABEN........................................................................................... 138 1.7 AFFINE RAEUME I ............................................................................................. 140 AUFGABEN........................................................................................... 150 2 M ATRIZEN UND LINEARE A BBILDUNGEN ................................................................... 153 2.1 LINEARE A BBILDUNGEN .................................................................................. 153 2.1.1 ALLGEMEINE LINEARE ABBILDUNGEN.................................................... 153 2.1.2 BEWEGUNGEN UND ORTHOGONALE TRANSFORMATIONEN .............. AUFGABEN............................................................................... 2.2 LINEARE ABBILDUNGEN UND IHRE MATRIZENDARSTELLUNG...................... 2.2.1 DARSTELLUNGSMATRIZEN ........................................................... 2.2.2 DIMENSION UND ISOMORPHIE.................................................. AUFGABEN............................................................................... 2.3 MATRIZENRECHNUNG ............................................................................. 2.3.1 M ATRIZENMULTIPLIKATION........................................................ 2.3.2 TENSORPRODUKT VON VEKTOREN UND PROJEKTIONEN.................. 2.3.3 INVERTIERBARE M ATRIZEN.......................................................... 2.3.4 DAS G AUSS -VERFAHREN VOM MATRIZENSTANDPUNKT .............. 2.3.5 TRANSPONIERTE, ORTHOGONALE UND SYMMETRISCHE M ATRIX ___ AUFGABEN ............................................................................... 2.4 LOESBARE UND NICHTLOESBARE LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME.................... 2.4.1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND IHRE UNTERRAEUME I I ........ 2.4.2 AUSGLEICHSRECHNUNG UND PSEUDOINVERSE ............................ 2.4.3 G AUSS -VERFAHREN UND LR-ZERLEGUNG I .............................. AUFGABEN ............................................................................... 2.5 PERMUTATIONSMATRIZEN UND DIE LR-ZERLEGUNG EINER M A TRIX .......... 2.5.1 PERMUTATIONEN UND PERMUTATIONSMATRIZEN .......................... 2.5.2 GAUSS-VERFAHREN UND LR-ZERLEGUNG II ............................ AUFGABEN ............................................................................... 2.6 DIE D ETERM INANTE ............................................................................. 2.6.1 MOTIVATION UND E XISTENZ...................................................... 2.6.2 EIGENSCHAFTEN........................................................................ 2.6.3 ORIENTIERUNG UND D ETERM INANTE.......................................... AUFGABEN ............................................................................... 2.7 DAS VEKTORPRODUKT............................................................................ AUFGABEN ............................................................................... 2.8 AFFINE RAEUME I I ................................................................................. AUFGABEN ............................................................................... 3 VOM R-VEKTORRAUM ZUM AE-VEKTORRAUM: ALGEBRAISCHE STRUKTUREN 3.1 GRUPPEN UND K OERPER.......................................................................... AUFGABEN 3.2 VEKTORRAEUME UEBER ALLGEMEINEN KOERPERN.......................................... AUFGABEN ............................................................................... 3.3 EUKLIDISCHE UND UNITAERE VEKTORRAEUME.............................................. AUFGABEN ............................................................................... 3.4 DER QUOTIENTENVEKTORRAUM ............................................................... AUFGABEN ............................................................................... 3.5 DER D UALRAUM .................................................................................... AUFGABEN ............................................................................... 162 171 173 173 182 189 191 191 199 211 218 223 245 247 247 251 266 275 277 277 284 293 294 294 300 316 321 323 331 333 341 343 343 359 360 369 370 383 384 397 398 410 4 EIGENWERTE UND NORMALFORMEN VON M A TRIZ E N ................................................ 411 4.1 BASISWECHSEL UND KOORDINATENTRANSFORMATIONEN ......... . ........................... 411 AUFGABEN........................................................................................... 424 4.2 EIGENWERTTHEORIE........................................................................................... 426 4.2.1 DEFINITIONEN UND ANWENDUNGEN...................................................... 426 4.2.2 DIAGONALISIERBARKEIT UND TRIGONALISIERBARKEIT................................ 450 AUFGABEN........................................................................................... 470 4.3 UNITAERE DIAGONALISIERBARKEIT: DIE HAUPTACHSENTRANSFORMATION ................ 473 AUFGABEN........................................................................................... 487 4.4 BLOCKDIAGONALISIERUNG AUS DER SCHUR-NORMALFORM ................................ 488 4.4.1 DER SATZ VON C AYLEY -H A M IL T O N ................................................ 488 4.4.2 BLOCKDIAGONALISIERUNG MIT DEM SATZ VON C AYLEY -H AMILTON . 501 4.4.3 ALGORITHMISCHE BLOCKDIAGONALISIERUNG - DIE S YLVESTER - G LEICHUNG......................................................................................... 512 AUFGABEN........................................................................................... 519 4.5 DIE JORDANSCHE N ORM ALFORM ................................................................... 521 4.5.1 KETTENBASEN UND DIE JORDANSCHE NORMALFORM IM KOMPLEXEN.. 521 4.5.2 DIE REELLE JORDANSCHE NORMALFORM ............................................. 542 4.5.3 BEISPIELE UND BERECHNUNG ............................................................... 549 AUFGABEN........................................................................................... 562 4.6 DIE SINGULAERWERTZERLEGUNG........................................................................... 564 4.6.1 HERLEITUNG......................................................................................... 564 4.6.2 SINGULAERWERTZERLEGUNG UND PSEUDOINVERSE.................................... 575 AUFGABEN........................................................................................... 580 4.7 POSITIV DEFINITE MATRIZEN UND QUADRATISCHE OPTIM IERUNG .......................... 581 4.7.1 POSITIV DEFINITE M ATRIZEN ................................................................. 581 4.7.2 QUADRATISCHE OPTIMIERUNG ............................................................... 593 4.7.3 EXTREMALCHARAKTERISIERUNG VON EIGENWERTEN.................................. 603 AUFGABEN........................................................................................... 607 4.8 AUSBLICK: DAS AUSGLEICHSPROBLEM UND DIE QR-ZERLEGUNG ........................ 609 5 BILINEARFORMEN UND Q U A D RIK E N ......................................................................... 613 5.1 A-BILINEARFORMEN.......................................................................................... 613 5.1.1 DER VEKTORRAUM DER OR-BILINEARFORMEN ........................................... 613 5.1.2 ORTHOGONALES KOMPLEMENT ............................................................. 622 AUFGABEN........................................................................................... 632 5.2 SYMMETRISCHE BILINEARFORMEN UND HERMITESCHE F O RM EN .......................... 634 AUFGABEN........................................................................................... 645 5.3 QUADRIKEN....................................................................................................... 647 5.3.1 DIE AFFINE NORMALFORM ..................................................................... 650 5.3.2 DIE EUKLIDISCHE NORMALFORM ........................................................... 659 AUFGABEN........................................................................................... 662 5.4 ALTERNIERENDE BILINEARFORM EN ..................................................................... 664 AUFGABEN........................................................................................... 671 6 POLYEDER UND LINEARE O P TIM IE RU N G .................................................................... 673 6.1 ELEMENTARE KONVEXE GEOMETRIE ................................................................... 679 AUFGABEN............................................................................................ 683 6.2 POLYEDER.......................................................................................................... 684 AUFGABEN ........................................................................................... 702 6.3 BESCHRAENKTE POLYEDER.................................................................................... 703 AUFGABEN ........................................................................................... 711 6.4 DAS OPTIMIERUNGSPROBLEM............................................................................ 712 AUFGABEN............................................................................................ 719 6.5 ECKEN UND BASISLOESUNGEN.............................................................................. 720 AUFGABEN ........................................................................................... 727 6.6 DAS SIMPLEX-VERFAHREN.................................................................................. 728 AUFGABEN ........................................................................................... 736 6.7 OPTIMALITAETSBEDINGUNGEN UND D UALITAET........................................................ 737 AUFGABEN............................................................................................ 749 7 LINEARE ALGEBRA UND A N ALY SIS............................................................................ 751 7.1 NORMIERTE VEKTORRAEUM E................................................................................ 751 7.1.1 ANALYSIS AUF NORMIERTEN VEKTORRAEUMEN .......................................... 751 7.1.2 NORMEN UND DIMENSION ....................................... 758 AUFGABEN............................................................................................ 770 7.2 NORMIERTE A LGEBREN...................................................................................... 771 7.2.1 ERZEUGTE UND VERTRAEGLICHE NORM EN .................................................. 771 7.2.2 MATRIXPOTENZEN.................................................................................. 781 AUFGABEN............................................................................................ 806 7.3 HILBERT-RAEUME............................................................................................ 808 7.3.1 DER RIESZSCHE DARSTELLUNGSSATZ UND DER ADJUNGIERTE OPERATOR .. 808 7.3.2 SCHAUDER-BASEN............................................................................ 823 AUFGABEN ........................................................................................... 831 7.4 AUSBLICK: LINEARE MODELLE, NICHTLINEARE MODELLE, LINEARISIERUNG ............ 832 AUFGABEN............................................................................................ 835 8 EINIGE ANWENDUNGEN DER LINEAREN A LG EB RA.................................................... 837 8.1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME, AUSGLEICHSPROBLEME UND EIGENWERTE UNTER DATENSTOERUNGEN.............................................................................................. 837 8.1.1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME.............................................................. 837 8.1.2 AUSGLEICHSPROBLEME.......................................................................... 846 8.1.3 E IGENW ERTE........................................................................................ 850 AUFGABEN............................................................................................ 854 8.2 KLASSISCHE ITERATIONSVERFAHREN FUER LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND EIGENWERTE...................................................................................................... 856 8.2.1 DAS PAGE-RANK-VERFAHREN VON GOOGLE ........................................... 856 8.2.2 LINEAR-STATIONAERE ITERATIONSVERFAHREN FUER LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME............................................................................ 861 8.2.3 GRADIENTENVERFAHREN.......................................................................... 870 8.2.4 DIE POTENZMETHODE ZUR EIGENWERTBERECHNUNG .............................. 878 AUFGABEN........................................................................................... 882 8.3 DATENANALYSE, -SYNTHESE UND -KOM PRESSION................................................ 884 8.3.1 W AVELETS........................................................................................... 886 8.3.2 DISKRETE FOURIER-TRANSFORMATION................................................ 893 AUFGABEN........................................................................................... 901 8.4 LINEARE ALGEBRA UND GRAPHENTHEORIE.......................................................... 902 AUFGABEN........................................................................................... 908 8.5 (INVERS-)MONOTONE MATRIZEN UND INPUT-OUTPUT-ANALYSE .......................... 909 AUFGABEN........................................................................................... 923 8.6 KONTINUIERLICHE UND DISKRETE DYNAMISCHE SYSTEM E.................................... 924 8.6.1 DIE LOESUNGSRAUMSTRUKTUR BEI LINEAREN PROBLEM EN ........................ 924 8.6.2 STABILITAET: ASYMPTOTISCHES VERHALTEN FUER GROSSE ZEITEN .................. 943 8.6.3 APPROXIMATION KONTINUIERLICHER DURCH DISKRETE DYNAMISCHE SYSTEM E............................................................................................. 959 8.6.4 AUSBLICK: VOM RAEUMLICH DISKRETEN ZUM RAEUMLICH VERTEILTEN KONTINUIERLICHEN MODELL ................................................................... 969 8.6.5 STOCHASTISCHE M ATRIZEN.................................................................... 974 AUFGABEN........................................................................................... 982 L ITERATURVERZEICHNIS....................................................................................................... 983 SACHVERZEICHNIS............................................................................................................... 985 ONLINE-APPENDIX: LOGISCHES SCHLIESSEN UND M ENGENLEHRE...................................... A-L A.L AUSSAGENLOGIK .............................................................................................. A-L A.2 M ENGENLEHRE................................................................................................. A-6 A.3 PRAEDIKATENLOGIK .............................................................................................. A-10 A.4 PRODUKTE VON MENGEN, RELATIONEN UND A BBILDUNGEN ................................. A -L2 A. 5 AEQUIVALENZ-UND ORDNUNGSRELATIONEN...........................................................A -L9 ONLINE-APPENDIX: ZAHLENMENGEN UND ALGEBRAISCHE S TRU K TU RE N ............................ B-L B. 1 VON DEN PEANO-AXIOMEN ZU DEN REELLEN ZAHLEN ..................................... B-L B.2 SCHREIBWEISEN UND RECHENREGELN............................................................... B-8 B.3 (FORMALE) POLYNOM E ...................................................................................... B -LL ONLINE-APPENDIX: ANALYSIS IN NORM IERTEN R AEU M EN ................................................. C -1
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