Verfügbarkeit: Differentialgleichungen und mathematische Modellbildung

Differentialgleichungen und mathematische Modellbildung: eine praxisnahe Einführung unter Berücksichtigung der Symmetrie-Analyse

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser:	Ibragimov, Nailʹ Ch. 1939- (VerfasserIn)
Weitere Verfasser:	Volkmann, Jörg 1967- (ÜbersetzerIn)
Format:	Buch
Sprache:	German English
Veröffentlicht:	Berlin ; Boston De Gruyter [2018]
Schriftenreihe:	De Gruyter Studium
Schlagworte:	Mathematisches Modell Symmetrie Partielle Differentialgleichung Differentialgleichung Fachhochschul-/Hochschulausbildung ; Zielgruppe Lehrbuch
Online-Zugang:	Inhaltsverzeichnis
Beschreibung:	XIX, 358 Seiten Illustrationen, Diagramme
ISBN:	9783110495324 3110495325

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adam_text	INHALT VORWORT ZUR DEUTSCHEN AUFLAGE ----- V VORWORT ZUR DRITTEN AUFLAGE ----- VII VORWORT ZUR ZWEITEN AUFLAGE ----- IX VORWORT ZUR ERSTEN AUFLAGE * X 1 AUSGEWAEHLTE KAPITEL DER ANALYSIS * 1 1.1 ELEMENTARE MATHEMATIK ----- 1 1.1.1 ZAHLEN, VARIABLE UND ELEMENTARE FUNKTIONEN ----- 1 1.1.2 QUADRATISCHE UND KUBISCHE GLEICHUNGEN ----- 5 1.1.3 INHALTE AEHNLICHER FIGUREN AM BEISPIEL DER ELLIPSE ----- 8 1.1.4 ALGEBRAISCHE KURVEN ZWEITER ORDNUNG ----- 10 1.2 DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG ------ 15 1.2.1 REGELN ZUR DIFFERENTIATION--15 1.2.2 DER MITTELWERTSATZ DER DIFFERENTIALRECHNUNG ---- 16 1.2.3 INVARIANZEIGENSCHAFTEN DER DIFFERENTIALE ----- 16 1.2.4 REGELN ZUR INTEGRATION ------ 17 1.2.5 DIE TAYLOR-REIHE ----- 18 1.2.6 KOMPLEXE VARIABLE ----- 20 1.2.7 APPROXIMATION VON FUNKTIONEN ----- 21 1.2.8 JACOBI-MATRIX, FUNKTIONALE UNABHAENGIGKEIT, VARIABLENTRANSFORMATIONEN IN MEHRFACHINTEGRALEN ----- 22 1.2.9 LINEARE UNABHAENGIGKEIT VON FUNKTIONEN, WRONSKI-DETERMINANTE 1.2.10 INTEGRATION DURCH QUADRATUR ----- 24 1.2.11 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN FUER FAMILIEN VON KURVEN ----- 25 1.3 VEKTORANALYSIS ----- 27 1.3.1 VEKTORALGEBRA ----- 28 1.3.2 VEKTORWERTIGE FUNKTIONEN - 30 1.3.3 VEKTORFELDER ----- 31 1.3.4 DIE DREI KLASSISCHEN INTEGRALSAETZE ----- 32 1.3.5 DIE LAPLACE-GLEICHUNG------33 1.3.6 DIFFERENTIATION VON DETERMINANTEN ----- 34 1.4 DIFFERENTIAL-ALGEBRAISCHE NOTATIONEN ------ 34 1.4.1 DIFFERENZIERBARE VARIABLEN, TOTALE ABLEITUNGEN --- 34 1.4.2 HOEHERE ABLEITUNGEN VON PRODUKTEN UND ZUSAMMENGESETZEN FUNKTIONEN ----- 35 1.4.3 DIFFERENTIALFUNKTIONEN MEHRERER VERAENDERLICHER ----- 36 1.4.4 DER KOERPER DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ----- 37 1.4.5 DIE TRANSFORMATION VON ABLEITUNGEN ----- 39 1.5 VARIATIONSRECHNUNG ----- 41 1.5.1 PRINZIP VOM KLEINSTEN ZWANG ---- 41 1.5.2 DIE EULER-LAGRANGE-GLEICHUNGEN IN MEHREREN VERAENDERLICHEN ----- 2 MATHEMATISCHE MODELLE * 46 2.1 EINFUEHRUNG ----- 46 2.2 NATURPHAENOMENE ----- 47 2.2.1 POPULATIONSMODELLE ----- 47 2.2.2 OEKOLOGIE: RADIOAKTIVE ABFALLPRODUKTE ----- 48 2.2.3 DIE KEPLERSCHEN GESETZE UND NEWTONS GRAVITATIONSGESETZ ----- 49 2.2.4 DER FREIE FALL EINES KOERPERS IN ERDNAEHE ----- 51 2.2.5 METEORITEN ----- 51 2.2.6 EIN MODELL FUER FALLENDEN REGEN ----- 53 2.3 BEISPIELE AUS PHYSIK UND INGENIEURSWESEN ----- 55 2.3.1 NEWTONS ABKUEHLUNGSGESETZ ----- 55 2.3.2 MECHANISCHE SCHWINGUNGEN, DAS PENDEL ----- 61 2.3.3 DER BRUCH GETRIEBENER ACHSEN ----- 65 2.3.4 DIE VAN-DER-POLSCHE GLEICHUNG ----- 67 2.3.5 DIE TELEGRAPHENGLEICHUNG ----- 68 2.3.6 ELEKTRODYNAMIK ----- 69 2.3.7 DIE DIRAC-GLEICHUNG ----- 70 2.3.8 STROEMUNGSMECHANIK ----- 71 2.3.9 DIE NAVIER-STOKES-GLEICHUNGEN ----- 72 2.3.10 DAS MODELL EINES BEWAESSERUNGSSYSTEMS ----- 72 2.3.11 MAGNETOHYDRODYNAMIK ----- 73 2.4 DIFFUSIONSPHAENOMENE ----- 74 2.4.1 LINEARE WAERMELEITUNGSGLEICHUNG ----- 74 2.4.2 DIE NICHTLINEARE WAERMELEITUNGSGLEICHUNG ----- 76 2.4.3 DIE BURGERS- UND KORTEWEG-DE-VRIES-GLEICHUNG ----- 76 2.4.4 MATHEMATISCHES MODELLIEREN IN DER FINANZWIRTSCHAFT ----- 77 2.5 BIOMATHEMATIK ----- 78 2.5.1 FLINKE CHAMPIGNONS (SMART MUSHROOMS) ----- 78 2.5.2 EIN WACHSTUMSMODELL FUER TUMORE ----- 81 2.6 WELLENPHAENOMENE ----- 82 2.6.1 KLEINE SCHWINGUNGEN EINER STANGE (STRING) ----- 82 2.6.2 DIE SCHWINGENDE MEMBRAN ----- 85 2.6.3 MINIMALFLAECHEN ----- 87 2.6.4 SCHWINGUNGEN, SCHWACHE STAEBE UND BLECHPLATTEN ----- 88 2.6.5 NICHTLINEARE WELLEN ----- 90 2.6.6 DIE GLEICHUNGEN VON CHAPLYGIN UND TRICOMI ----- 91 3 GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN, TRADITIONELLE LOESUNGSMETHODEN * 93 3.1 EINFUEHRUNG UND ELEMENTARE METHODEN ----- 93 3.1.1 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN, ANFANGSWERTPROBLEME ----- 93 3.1.2 DIE INTEGRATION DER GLEICHUNG Y(N) = F(X ) ----- 95 3.1.3 HOMOGENE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ----- 95 3.1.4 VERSCHIEDENE ARTEN DER HOMOGENITAET ----- 98 3.1.5 REDUKTION DER ORDNUNG ----- 100 3.1.6 LINEARISIERUNG DURCH DIFFERENTIATION ----- 100 3.2 GLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG ------ 101 3.2.1 SEPARABLE GLEICHUNGEN ----- 101 3.2.2 EXAKTE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ----- 101 3.2.3 DER INTEGRIERENDE FAKTOR (A. CLAIRAUT, 1739) ----- 103 3.2.4 DIE RICCATI-GLEICHUNG ----- 104 3.2.5 DIE BERNOULLI-GLEICHUNG ----- 108 3.2.6 HOMOGENE LINEARE GLEICHUNGEN ----- 108 3.2.7 INHOMOGENE LINEARE GLEICHUNGEN, VARIATION DER KONSTANTEN ----- 109 3.3 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ZWEITER ORDNUNG ------ 111 3.3.1 HOMOGENE GLEICHUNG: SUPERPOSITION ----- 111 3.3.2 HOMOGENE GLEICHUNGEN: AEQUIVALENZEIGENSCHAFTEN ----- 112 3.3.3 HOMOGENE GLEICHUNGEN: KONSTANTE KOEFFIZIENTEN * 115 3.3.4 INHOMOGENE GLEICHUNGEN: VARIATION DER PARAMETER ----- 117 3.3.5 BESSELSCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG UND BESSEL-FUNKTIONEN ----- 121 3.3.6 HYPERGEOMETRISCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG ----- 121 3.4 LINEARE GLEICHUNGEN HOEHERER ORDNUNG ------ 123 3.4.1 HOMOGENE GLEICHUNGEN, FUNDAMENTALSYSTEM ----- 123 3.4.2 INHOMOGENE GLEICHUNGEN, VARIATION DER KONSTANTEN ----- 123 3.4.3 GLEICHUNGEN MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN ----- 124 3.4.4 DIE EULERSCHE GLEICHUNG ----- 126 3.5 SYSTEME VON GLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG------126 3.5.1 ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN VON SYSTEMEN ----- 126 3.5.2 ERSTE INTEGRALE ----- 127 3.5.3 LINEARE SYSTEME MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN ----- 132 3.5.4 VARIATION DER KONSTANTEN FUER SYSTEME ----- 133 4 PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG * 138 4.1 EINFUEHRUNG ----- 138 4.2 LINEARE HOMOGENE GLEICHUNGEN ----- 139 4.3 TEILWEISE INHOMOGENE GLEICHUNGEN ----- 140 4.4 QUASI-LINEARE GLEICHUNGEN ----- 142 4.5 SYSTEME HOMOGENER GLEICHUNGEN ----- 145 5 LINEARE PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ZWEITER ORDNUNG * 151 5.1 GLEICHUNGEN MIT MEHREREN VARIABLEN ---- 151 5.1.1 KLASSIFIKATION AN EINEM FESTEN PUNKT ---- 151 5.1.2 ADJUNGIERTE LINEARE DIFFERENTIALOPERATOREN ----- 153 5.2 DIE KLASSIFIKATION VON GLEICHUNGEN MIT ZWEI UNABHAENGIGEN VARIABLEN ----- 155 5.2.1 CHARAKTERISTIKEN. DREI TYPEN VON GLEICHUNGEN ----- 155 5.2.2 DIE STANDARDFORM HYPERBOLISCHER GLEICHUNGEN ----- 157 5.2.3 DIE STANDARDFORM DER PARABOLISCHEN GLEICHUNG ----- 158 5.2.4 DIE STANDARDFORM ELLIPTISCHER GLEICHUNG ----- 159 5.2.5 GLEICHUNGEN GEMISCHTEN TYPS ----- 160 5.2.6 DER TYP VON NICHTLINEAREN GLEICHUNGEN ----- 161 5.3 INTEGRATION HYPERBOLISCHER GLEICHUNGEN MIT ZWEI VARIABLEN ----- 162 5.3.1 DIE DALEMBERTSCHE LOESUNGSMETHODE ----- 162 5.3.2 GLEICHUNGEN, REDUZIERBAR AUF DIE WELLENGLEICHUNG ----- 163 5.3.3 DIE EULERSCHE METHODE ----- 167 5.3.4 DIE LAPLACESCHE KASKADENMETHODE ----- 170 5.4 ANFANGSWERTPROBLEME ----- 172 5.4.1 DIE WELLENGLEICHUNG ----- 172 5.4.2 DIE INHOMOGENE WELLENGLEICHUNG ----- 174 5.5 GEMISCHTE PROBLEME, VARIABLENSEPARATION ----- 175 5.5.1 SCHWINGUNG EINER SAITE MIT FESTEN ENDEN ----- 176 5.5.2 DAS GEMISCHTE PROBLEM FUER DIE WAERMELEITUNGSGLEICHUNG ----- 180 6 NICHTLINEARE GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 184 6.1 EINFUEHRUNG ----- 184 6.2 TRANSFORMATIONSGRUPPEN ----- 185 6.2.1 EINPARAMETRIGE GRUPPEN IN DER EBENE ----- 185 6.2.2 DER GRUPPEN-GENERATOR UND LIE-GLEICHUNG ----- 186 6.2.3 DIE EXPONENTIALABBILDUNG ----- 188 6.2.4 DIE INVARIANTEN UND INVARIANTE GLEICHUNGEN ----- 189 6.2.5 KANONISCHE VARIABLEN ----- 192 6.3 SYMMETRIEN VON GLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG ----- 193 6.3.1 ERSTE PROLONGATION DER GRUPPENGENERATOREN ----- 193 6.3.2 SYMMETRIE-GRUPPE: DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN ----- 194 6.3.3 GLEICHUNGEN MIT VORGEGEBENER SYMMETRIE ----- 196 6.4 DIE INTEGRATION VON GLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG UNTER BENUTZUNG VON SYMMETRIEN ----- 198 6.4.1 DER LIESCHE INTEGRIERENDE FAKTOR ----- 198 6.4.2 INTEGRATION UNTER VERWENDUNG KANONISCHER VARIABLEN ----- 200 6.4.3 INVARIANTE LOESUNGEN ----- 204 6.4.4 KONSTRUKTION DER ALLGEMEINEN LOESUNG AUS INVARIANTEN LOESUNGEN ----- 204 6.5 GLEICHUNGEN ZWEITER ORDNUNG-------206 6.5.1 ZWEITE PROLONGATION DER GRUPPENGENERATOREN. BERECHNUNG VON SYMMETRIEN ----- 206 6.5.2 LIE-ALGEBREN ----- 208 6.5.3 STANDARD-FORMEN ZWEIDIMENSIONALER LIE-ALGEBREN ----- 210 6.5.4 DIE LIESCHE INTEGRATIONSMETHODE ----- 211 6.5.5 INTEGRATION LINEARER GLEICHUNGEN MIT BEKANNTEN TEILLOESUNGEN ----- 217 6.5.6 LIES TEST AUF LINEARISIERBARKEIT ----- 219 6.6 GLEICHUNGEN HOEHERER ORDNUNG------223 6.6.1 INVARIANTE LOESUNGEN, HERLEITUNG DES EULERSCHEN ANSATZES ----- 223 6.6.2 INTEGRIERENDER FAKTOR (N. H. IBRAGIMOV, 2006) ----- 224 6.6.3 LINEARISIERUNG VON GLEICHUNGEN DRITTER ORDNUNG ----- 232 6.7 NICHTLINEARE SUPERPOSITION ----- 239 6.7.1 EINFUEHRUNG ----- 239 6.7.2 HAUPTSATZ DER NICHTLINEAREN SUPERPOSITION ----- 241 6.7.3 BEISPIELE ZUR NICHTLINEAREN SUPERPOSITION ----- 246 6.7.4 INTEGRATION VON SYSTEMEN MIT HILFE DER NICHTLINEAREN SUPERPOSITION ----- 254 7 NICHTLINEARE PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ----- 259 7.1 SYMMETRIEN ----- 259 7.1.1 DEFINITION UND BERECHNUNG VON SYMMETRIE-GRUPPEN ----- 259 7.1.2 GRUPPENTRANSFORMATIONEN VON LOESUNGEN ----- 264 7.2 GRUPPENINVARIANTE LOESUNGEN------266 7.2.1 EINFUEHRUNG ----- 266 7.2.2 DIE BURGERS-GLEICHUNG ----- 267 7.2.3 EIN NICHTLINEARES RANDWERTPROBLEM ----- 270 7.2.4 INVARIANTE LOESUNGEN FUER EIN BEWAESSERUNGSSYSTEM ----- 273 7.2.5 INVARIANTE LOESUNGEN FUER EIN TUMOR-WACHSTUMSMODELL ----- 275 7.2.6 EIN BEISPIEL AUS DER NICHTLINEAREN OPTIK ----- 277 7.3 INVARIANZ UND ERHALTUNGSSAETZE ------- 278 7.3.1 EINLEITUNG ----- 278 7.3.2 VORBEREITUNGEN ----- 281 7.3.3 DAS NOETHERSCHE THEOREM ----- 283 7.3.4 LAGRANGE-FUNKTIONEN HOEHERER ORDNUNG ----- 283 7.3.5 ERHALTUNGSSAETZE FUER GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ----- 284 7.3.6 VERALLGEMEINERUNG DES NOETHERSCHEN THEOREMS ----- 285 7.3.7 BEISPIELE AUS DER KLASSISCHEN MECHANIK ----- 286 7.3.8 HERLEITUNG DER EINSTEINSCHEN ENERGIE-GLEICHUNG ----- 289 7.3.9 ERHALTUNGSSAETZE FUER DIE DIRAC-GLEICHUNG ----- 290 8 VERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN ODER DISTRIBUTIONEN * 294 8.1 EINFUEHRUNG VERALLGEMEINERTER FUNKTIONEN ------ 294 8.1.1 HEURISTISCHE BETRACHTUNGEN ----- 294 8.1.2 DEFINITION UND BEISPIELE FUER DISTRIBUTIONEN ----- 296 8.1.3 DIE DARSTELLUNG DER OE-FUNKTION ALS GRENZWERT ----- 297 8.2 OPERATIONEN MIT DISTRIBUTIONEN ----- 298 8.2.1 MULTIPLIKATION MIT EINER FUNKTION ----- 298 8.2.2 DIFFERENTIATION ----- 299 8.2.3 DAS DIREKTE PRODUKT VON DISTRIBUTIONEN ----- 299 8.2.4 FALTUNGEN ----- 300 8.3 DIE DISTRIBUTION A(R2~N) ----- 301 8.3.1 DER MITTELWERT UEBER EINE KUGEL ----- 301 8.3.2 LOESUNG DER LAPLACE-GLEICHUNG AU(R) - 0 ---- 301 8.3.3 DIE BERECHNUNG DER DISTRIBUTION A(R2~N) ---- 302 8.4 DIE TRANSFORMATION VON DISTRIBUTIONEN ----- 304 8.4.1 DIE MOTIVATION DURCH LINEARE TRANSFORMATIONEN ----- 304 8.4.2 DIE VARIABLENTRANSFORMATION FUER DIE OE-FUNKTION-----305 8.4.3 BELIEBIGE TRANSFORMATIONSGRUPPEN ----- 305 8.4.4 DIE INFINITESIMALE TRANSFORMATION VON DISTRIBUTIONEN ----- 307 9 INVARIANZPRINZIP UND FUNDAMENTALLOESUNG * 310 9.1 EINLEITUNG ----- 310 9.2 DAS INVARIANZPRINZIP ----- 311 9.2.1 FORMULIERUNG DES INVARIANZPRIZIPS ----- 311 9.2.2 FUNDAMENTALLOESUNG VON LINEAREN GLEICHUNGEN MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN ----- 311 9.2.3 ANWENDUNG AUF DIE LAPLACE-GLEICHUNG ----- 312 9.2.4 ANWENDUNG AUF DIE WAERMELEITUNGSGLEICHUNG ---- 314 9.3 DAS CAUCHY-PROBLEM DER WAERMELEITUNGSGLEICHUNG ------ 316 9.3.1 FUNDAMENTALLOESUNG FUER DAS CAUCHY-PROBLEM ----- 316 9.3.2 HERLEITUNG DER FUNDAMENTALLOESUNG FUER DAS CAUCHY-PROBLEM MIT HILFE DES INVARIANZPRINZIPS ----- 316 9.3.3 LOESUNG DES CAUCHY-PROBLEMS ----- 318 9.4 DIE WELLENGLEICHUNG ----- 319 9.4.1 ELEMENTARES ZU DIFFERENTIALFORMEN ----- 319 9.4.2 HILFREICHE GLEICHUNGEN MIT DISTRIBUTIONEN ----- 323 9.4.3 SYMMETRIEN UND DEFINITION DER FUNDAMENTALLOESUNGEN FUER DIE WELLENGLEICHUNG ----- 325 9.4.4 HERLEITUNG DER FUNDAMENTALLOESUNG ----- 327 9.4.5 LOESUNG DES CAUCHY-PROBLEMS ----- 328 9.5 GLEICHUNGEN MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN ----- 329 LITERATUR ----- 343 STICHWORTVERZEICHNIS ----- 345
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