Übungsbuch zur Analysis: Aufgaben und ausführliche Lösungen (nicht nur) für Studierende der Informatik
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| Veröffentlicht: |
Berlin
Springer Vieweg
[2017]
2017 |
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Inhaltsverzeichnis
Teil 1 Theorie kompakt 1
1 Vollständige Induktion. 3
2 Der Körper der reellen Zahlen. 5
3 Konvergenz reeller Zahlenfolgen. 9
4 Konvergenzkriterien für Reihen . . . 13
5 Stetigkeit von Funktionen . 17
6 Differentialrechnung reeller Funktionen in einer Variablen. 21
7 Integralrechnung . 29
8 Approximation von Funktionen . . . . 39
8.1 Taylor-Reihen und Taylor-Polynome. 39
8.2 Fourier-Reihen und Fourier-Polynome. 41
9 Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung. 45
Teil 2 Aufgaben 51
1 Grundlagen. 53
1.1 Mengenlehre und Logik. 53
1.2 Termumformung. 54
1.3 Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . 58
1.4 Funktionen. 61
1.5 Partialbruchzerlegung. 64
2 Zahlen . 65
2.1 Natürliche, ganze, rationale, irrationale und reelle Zahlen. 65
2.2 Beschränkte Mengen. . . 69
2.3 Komplexe Zahlen. 72
3 Reelle Zahlenfolgen . 75
3.1 Grundlagen. 75
3.2 Konvergenz. 78
3.3 Rechenregeln für konvergente Folgen . . . . . . . . 81
3.4 Häufungspunkte. 84
3.5 Cauchy-Folgen.-. . . . 86
3.6 Anwendungen. 88
vii
INHALTSVERZEICHNIS
viii
4 Reihen . 91
4.1 Grundlagen. 91
4.2 Konvergenzkriterien. 93
4.3 Anwendungen. 97
5 Stetige Funktionen . 103
5.1 Funktionsgrenzwerte und Stetigkeit. 103
5.2 Der Zwischenwertsatz . . 108
6 Differentialrechnung. 111
6.1 Differenzierbarkeit und Ableitungsregeln . 111
6.2 Anwendungen: Monotonie und Mittelwertsatz. 114
6.3 Regeln von FHospital. 119
6.4 Kurvendiskussion. 121
6.5 Extremwertaufgaben. 126
6.6 Ableitung der Umkehrfunktion. 128
7 Integralrechnung . 129
7.1 Integrierbarkeit, Stammfunktionen, Integrationsregeln. 129
7.2 Bestimmte Integrale, Flächenberechnung . 132
8 Approximation von Funktionen . 139
8.1 Taylor-Reihen . . . . . . 139
8.2 Fourier-Reihen . . 143
9 Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung. 145
9.1 Einführung. 145
9.2 Trennung der Variablen . 148
9.3 Inhomogene Differentialgleichungen erster Ordnung. 151
Teil 3 Lösungen 153
1 Grundlagen. 155
1.1 Mengenlehre und Logik. 155
1.2 Termumformungen. 157
1.3 Gleichungen und Ungleichungen. 163
1.4 Funktionen. 174
1.5 Partialbruchzerlegung. 180
2 Zahlen . . . . 185
2.1 Natürliche, ganze, rationale, irrationale und reelle Zahlen. 185
2.2 Beschränkte Mengen. 194
2.3 Komplexe Zahlen. 199
3 Reelle Zahlenfolgen .207
3.1 Grundlagen.207
3.2 Konvergenz.213
3.3 Rechenregeln für konvergente Folgen .221
3.4 Häufungspunkte.228
3.5 Cauchy-Folgen.240
3.6 Anwendungen. 244
INHALTSVERZEICHNIS ix
4 Reihen .253
4.1 Grundlagen.253
4.2 Konvergenzkriterien.260
4.3 Anwendungen.275
5 Stetige Funktionen .289
5.1 Funktionsgrenzwerte und Stetigkeit .289
5.2 Der Zwischenwertsatz .306
6 Differentialrechnung.311
6.1 Differenzierbarkeit und Ableitungsregeln .311
6.2 Anwendungen: Monotonie und Mittelwertsatz.320
6.3 Regeln von l’Hospital.328
6.4 Kurvendiskussion.334
6.5 Extremwertaufgaben.347
6.6 Ableitung der Umkehrfunktion.354
7 Integralrechnung.'. 357
7.1 Integrierbarkeit, Stammfunktionen, Integrationsregeln.357
7.2 Bestimmte Integrale, Flächenberechnung .374
8 Approximation von Funktionen .397
8.1 Taylor-Reihen.397
8.2 Fourier-Reihen. 413
9 Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung. 423
9.1 Einführung.423
9.2 Trennung der Variablen.427
9.3 Inhomogene Differentialgleichungen erster Ordnung.440
Symbolverzeichnis.445
Literaturverzeichnis .447
Sachverzeichnis.449 |
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