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Analysis 1:

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Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser:	Schelthoff, Christof 1966- (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	German
Veröffentlicht:	Herzogenrath Shaker 2017
Ausgabe:	5. Auflage, revidierte Ausgabe
Schriftenreihe:	MATSE-MATHIK
Schlagworte:	Fachhochschul-/Hochschulausbildung Analysis Binomialkoeffzienten Differentialrechnung Folgen und Reihen Grenzwerte von Funktionen Integration Polynome Unendliche Reihen Wachstums- und Zerfallsprozesse binomischer Lehrsatz komplexe Analysis reelle Funktionen
Online-Zugang:	Inhaltsverzeichnis
Beschreibung:	326 Seiten 77 Illustrationen 29.7 cm x 21 cm, 850 g
ISBN:	9783844053265 3844053263

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adam_text	INHALTSVERZEICHNIS I A N A LY SIS 1 11 1 G RU N D LAGEN 13 1.1 MOTIVATION .......................................................................................... 13 1.2 G RU N D LAG E N .......................................................................................... 14 1.2.1 F U N K TIO N E N .............................................................................. 14 1.2.2 EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN .............................................. 15 1.2.3 VERKETTETE F U N K TIO N EN ........................................................... 17 1.2.4 REELLE F U N K TIO N E N ................................................................. 19 1.2.5 EIGENSCHAFTEN REELLER FUNKTIONEN / : R * M ...................... 20 1.2.6 P O LY N O M E ................................................................................. 21 1.2.7 GEBROCHEN RATIONALE F U N K TIO N E N ........................................ 26 1.2.8 GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN ........................................ 26 1.3 KOMPLEXE A N ALY SIS.............................................................................. 31 1.3.1 RECHENREGELN FUER KOMPLEXE ZAHLEN IN POLARKOORDINATEN . . 31 1.3.2 EIGENSCHAFTEN VON Z * ELIP ..................................................... 32 1.3.3 RADIZIEREN (WURZEL ZIEHEN) VON KOMPLEXEN ZAHLEN .... 32 1.3.4 ANWENDUNG: FAKTORISIERUNG VON POLYNOMEN MIT KOMPLE XEN KOEFFIZIENTEN.................................................................... 35 2 F OLGEN U ND R EIH EN 37 2.0. 5 REKURSIONEN............................................................................ 38 2.0. 6 DIFFERENZENREKURSION............................................................. 41 2.0. 7 Z USAM M ENFASSUNG................................................................ 42 2.0. 8 SUMMEN (REIHEN) ................................................................ 43 2.0. 9 RECHENREGELN FUER S UM M EN ................................................... 43 2.0. 10 WICHTIGE S U M M E N ................................................................ 44 2.0. 11 RECHNEN MIT S U M M E N ......................................................... 48 2.1 BINOMIALKOEFFIZIENTEN UND DER BINOMISCHE L E H RS A TZ ...................... 50 2.1.1 DER BINOM IALKOEFFIZIENT........................................................ 50 2.1.2 DER BINOMISCHE L EHRSATZ........................................................ 55 3 K ON VERGEN Z VON FOLGEN, R EIH EN U ND F U N K TION EN 57 3.1 GRUNDLAGEN UEBER MENGEN UND DIE SAETZE VON BOLZANO-WEIERSTRASS 57 3.2 KONVERGENZ VON FOLGEN ....................................................................... 64 3.2.1 M ONOTONIE................................................................................. 64 3.2.2 KONVERGENZ UND GRENZWERT EINER FOLGE ............................... 65 3.2.3 RECHNEN MIT KONVERGENTEN FOLGEN ........................................ 72 3.2.4 RECHENREGELN FUER G RE N Z W E RTE ............................................... 74 3.2.5 KONVERGENZ MONOTONER FOLGEN ............................................ 78 3.2.6 DIE EULERSCHE Z A H L ................................................................. 79 3.2.7 KONVERGENZ REKURSIVER F O LG E N ............................................... 82 3.2.8 KONVERGENZ KOMPLEXER F OLGEN............................................... 86 3.2.9 CAUCHY-KONVERGENZ ..................................... 86 3.2.10 ZUSAMMENFASSUNG F O LG E N ..................................................... 88 3.3 UNENDLICHE R E IH E N .............................................................................. 89 3.3.1 DIE UNENDLICHE GEOMETRISCHE R E IH E ..................................... 91 3.3.2 CAUCHY R E IH E N ....................................................................... 93 3.3.3 TELESKOPSUMMEN UND T ELESKOPPRODUKTE ............................ 96 3.3.4 KONVERGENZKRITERIEN FUER FAST IMMER NICHT NEGATIVE REIHEN 99 3.3.5 ALTERNIERENDE R EIHEN................................................................. 108 3.3.6 ZUSAMMENFASSUNG KONVERGENZKRITERIEN .................................. 111 3.3.7 UMORDNUNG VON R E IH E N ...........................................................112 3.3.8 DAS C AUCHY-PRODUKT................................................................. 113 3.4 P O TE N Z RE IH E N ....................................................................................... 115 3.4.1 SPEZIELLE P O TEN ZREIH EN .............................................................. 121 3.4.2 DIE EULERSCHE ZAHL UND DIE EXPONENTIELLE FUNKTION .... 122 3.5 GRENZWERTE VON F U N K TIO N E N ................................................................. 130 3.5.1 S TE TIG K E IT....................................................................................130 3.5.2 DAS § * OEKRITERIUM ................................................................. 132 3.5.3 STETIGKEIT VERKETTETER F U N K TIO N EN ........................................... 135 3.5.4 WEITERE STETIGKEITSUNTERSUCHUNGEN ........................................ 136 3.5.5 STETIGKEIT DER FUNKTIONEN SIN(X) UND C O S ( X ) ......................... 139 3.5.6 U NSTETIGKEIT.................................................................................143 3.5.7 STETIGKEIT AUF INTERVALLEN...........................................................146 3.5.8 LIPSCHITZ-STETIGKEIT.................................................................... 148 3.5.9 DER Z W ISCHENW ERTSATZ.............................................................. 151 3.5.10 DER FIXPUNKTSATZ ....................................................................... 152 3.5.11 EIGENSCHAFTEN DER FUNKTIONEN SIN(X) UND C O S(X )...................156 3.5.12 DIE REIHE YX=I ~T?.................................................................... 162 3.5.13 DIE LOGARITHMUSFUNKTION ........................................................163 3.5.14 DIE HYPERBOLISCHEN F U N K TIO N E N ...............................................164 4 D IFFEREN TIALRECH N U N G 167 4.1 MOTIVATION ............................................................................................. 167 4.2 V ERALLGEM EINERUNG.................................................................................171 4.2.1 EINIGE GRENZWERTE VON SIN, COS, E X P ..................................... 173 4.2.2 BERECHNUNG ELEMENTARER A BLEITUNGEN ..................................... 176 4.3 DIE TANGENTENGLEICHUNG ....................................................................... 179 4.4 A BLEITUNGSREGELN....................................................................................180 4.5 LOKALE E X TRE M A .......................................................................................188 4.6 DER M ITTELW ERTSATZ............................................................................. 189 4.7 STETIGKEIT UND DIFFERENZIERBARKEIT VON POTENZREIHEN.........................192 4.8 M ONOTONIE................................................................................................ 196 4.9 DIE GRENZWERTSAETZE VON DE LH O S P ITA L .............................................. 199 4.10 KRUEM M UNGSEIGENSCHAFTEN....................................................................203 4.11 MACLAURIN- UND TAYLORREIHENENTW ICKLUNG ........................................ 204 4.12 DIE T AYLORREIHE ...................................................................................... 209 4.12.1 KONVERGENZ DER T AYLORREIHE .................................................... 210 4.12.2 BEISPIELE ...................................................................................... 210 4.12.3 ANWENDUNG DER P O TEN ZREIH EN ................................................. 211 4.12.4 KONVERGENZGESCHWINDIGKEIT VON T A Y LO RRE IH E N ..................... 212 4.12.5 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN TAYLORREIHEN UND EXTREMWERTEN 214 4.13 NUMERISCHE BERECHNUNG VON ABLEITUNGEN ........................................ 216 4.14 DAS TANGENTENVERFAHREN VON N E W TO N ................................................. 218 5 IN TEG RA TIO N 223 5.1 E IN LEITU N G ................................................................................................223 5.1.1 DAS UNBESTIMMTE IN TE G RA L ....................................................... 231 5.1.2 DAS BESTIMMTE I N T E G R A L ...........................................................232 5.1.3 DIE FLAECHENFUNKTION.................................................................233 5.1.4 STAMMFUNKTION UND FLAECHENFUNKTION ..................................... 234 5.1.5 DIE STAMMFUNKTION VON 1 / X .................................................... 242 5.1.6 PARTIALBRUCHZERLEGUNG..............................................................243 5.2 FLAECHENBERECHNUNGEN............................................................................. 248 5.3 FLAECHE UND INTEGRAL ZWISCHEN ZWEI FUNKTIONEN..................................249 5.4 INTEGRATION ZUR BERECHNUNG VON FLAECHEN ZWISCHEN MEHREREN FUNK TIONEN ...................................................................................................... 251 5.5 DIE MITTELWERTSAETZE DER INTEGRALRECHNUNG ........................................ 252 5.6 DAS RESTGLIED DER TAYLORREIHE IN IN TEG RALD ARSTELLU N G ..................... 253 5.6.1 DAS RESTGLIED NACH L A G RA N G E ................................................. 255 5.7 L AENGENBERECHNUNG................................................................................ 256 5.8 MANTELFLAECHENBERECHNUNG ....................................................................260 5.9 ROTATIONSVOLUMEN ................................................................................ 262 5.10 NUMERISCHE BERECHNUNG VON INTEGRALEN .............................................. 264 5.11 DIFFERENTIATION VON INTEGRALEN MIT VARIABLEN G RENZEN ..................... 267 5.12 PARAM ETERINTEGRALE................................................................................ 268 6 W A CH STU M S- U ND Z ERFALLSP ROZESSE 271 6.1 GRUNDLAGEN DER EVOLUTIONSGLEICHUNGEN .............................................. 271 6.1.1 EINLEITUNG: DIE EVOLUTIONSGLEICHUNG .....................................272 6.1.2 DISKRET ODER KONTINUIERLICH ? 274 6.2 UNGEBREMSTES WACHSTUM ....................................................................275 6.2.1 DER DISKRETE F A L L ....................................................................... 275 6.2.2 Z E ITTE ILE ...................................................................................... 276 6.2.3 GRUNDSAETZLICHES.......................................................................... 277 6.2.4 DER UEBERGANG ZUM KONTINUIERLICHEN M O D E LL.........................279 6.2.5 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN KDISKRET UND K K O N T .......................... 281 6.3 GEBREMSTES WACHSTUM - STOERUNG ERSTER O RD N U N G ............................283 6.4 DAS LOGISTISCHE WACHSTUM - STOERUNGEN ZWEITER O R D N U N G ................. 290 6.5 SYSTEME VON DIFFERENZENGLEICHUNGEN ................................................. 295 6.6 ZUSAMMENFASSUNG WACHSTUM UND ZERFALL ........................................ 297 II UE B U N G E N A N A LY SIS 1 299 7 G RU N D LAGEN 301 7.1 G RU N D LA G E N ............................................................................................. 301 7.2 KOMPLEXE A N ALY SIS ................................................................................ 302 8 F OLGEN U ND R EIH EN 303 9 K ON V ERG EN Z V ON F OLGEN, R E IH EN U ND F U N K TION EN 309 9.1 KONVERGENZ VON FOLGEN.......................................................................... 309 9.2 UNENDLICHE R E IH E N ................................................................................ 311 9.3 P O TE N Z RE IH E N ..........................................................................................313 9.4 GRENZWERTE VON F U N K TIO N E N .................................................................314 10 D IFFEREN TIALRECH N U N G 317 10.1 DIE T AYLORREIHE.......................................................................................318 11 IN TEG RA TIO N 321 12 W ACH STU M S- U ND Z ERFALLSP ROZESSE 323 III A N A LY SIS 2 325 13 U N EIG EN TLICH E IN TEGRALE 327 13.1 UNENDLICHE INTEGRATIONSINTERVALLE........................................................329 13.2 UNBESCHRAENKTE INTEGRANDEN AUF ENDLICHEN INTEGRATIONSINTERVALLEN 331 13.3 ABSOLUTE KONVERGENZ............................................................................. 333 13.4 WEITERE KONVERGENZKRITERIEN.................................................................334 13.4.1 MAJORANTEN UND MINORANTENKRITERIUM FUER UNBESCHRAENKTE INTEGRATIONSINTERVALLE.................................................................334 13.4.2 MAJORANTEN UND MINORANTENKRITERIUM FUER UNBESCHRAENKTE IN TEG RAN D EN ................................................................................ 335 13.5 DAS INTEGRALKRITERIUM ZUR KONVERGENZ VON R EIHEN............................339 14 F U N K TION EN M EHRERER V ERAENDERLICHER 349 14.1 G RUNDBEGRIFFE...................................................................................... 349 14.2 RECHNEN IN V EKTORRAEUM EN....................................................................349 14.3 METRISCHE R AE U M E ................................................................................... 350 14.4 NORMEN IM L N ...................................................................................... 353 14.5 DAS S K ALARP RO D U K T................................................................................ 356 14.6 MENGEN IM RN ...................................................................................... 363 14.6.1 OFFENE M E N G E N ..........................................................................363 14.6.2 ABGESCHLOSSENE M E N G E N .......................................................... 364 14.6.3 BESCHRAENKTHEIT UND O R D N U N G ................................................. 364 14.7 FOLGEN IM RN ......................................................................................... 364 14.8 DARSTELLUNGSFORMEN DER FUNKTIONEN / : M2 ** E ...............................367 14.9 DIFFERENZIERBARKEIT IM RN ....................................................................369 14.9.1 GRENZWERTE IM RN ....................................................................369 14.9.2 SCHNITTFUNKTIONEN (PARTIELLE FUNKTIONEN)...............................369 14.9.3 PARTIELLE ABLEITUNGEN.................................................................370 14.9.4 DIFFERENTIATION KOMPLEXER Z A H LE N ........................................... 371 14.9.5 S TE TIG K E IT................................................................................... 372 14.9.6 GLEICHMAESSIGE STETIGKEIT UND LIPSCHITZ S TE TIG K E IT ............... 376 14.9.7 FIXPUNKTE IM MN .......................................................................377 14.9.8 DER G R A D IE N T............................................................................. 378 14.9.9 DIE T ANGENTIALEBENE.................................................................380 14.9.10 DIE R ICHTUNGSABLEITUNG .......................................................... 382 14.10DAS VOLLSTAENDIGE D IFFERENTIAL.................................................................387 14.10.1 ANWENDUNG: FEHLERRECHNUNG ................................................. 388 14.10.2 DER RELATIVE F E H LE R ....................................................................389 14.10.3 PARAMETRISCHE F UNKTIONEN ....................................................... 390 14.10.4 DIE K ETTENREGEL..........................................................................391 14.10.5 KETTENREGEL FUER FUNKTIONEN MIT ZWEI P A RA M E TE RN ............... 392 14.10.6 ANWENDUNG: IMPLIZITE DIFFERENTIATION.....................................394 14.11PARTIELLE ABLEITUNGEN HOEHERER O RDNUNG .............................................. 396 14.11.1 DIVERGENZ UND R O TA TIO N .......................................................... 397 14.12DIE TAYLORENTWICKLUNG FUER F(X,Y) ....................................................... 401 14.12.1 EINDIM ENSIONAL..........................................................................401 14.12.2 ZW EIDIM ENSIONAL.......................................................................402 14.13RELATIVE EXTREMWERTE OHNE N EBENBEDINGUNGEN...............................404 14.13.1 DER EINDIMENSIONALE F A LL .......................................................... 404 14.13.2 LOKALE EXTREMA BEI ZWEI U NBEKANNTEN..................................405 14.13.3 SCHREIBWEISE ALS H ESSE-M ATRIX ................................................. 411 14.13.4 EXTREMWERTE IM RN .................................................................413 14.13.5 WEITERE VERFAHREN ZUR ANALYSE DER K A N D ID A TE N ..................414 14.13.6 BEISPIEL 1: NEKTAR SAMMELNDE B IENEN.....................................415 14.13.7 BEISPIEL 2: ZUGVOEGEL (OHNE HAPPY END) ...............................418 14.13.8 ANWENDUNG DER EXTREMWERTBERECHNUNG: REGRESSIONSANALYSE421 14.13.9 APPROXIMATION VON F UNKTIONEN .............................................. 427 14.14EXTREMWERTAUFGABEN MIT NEBENBEDINGUNGEN ..................................428 14.14.1 LAGRANGE M U LTIP LIK ATO REN ........................................................429 14.ISPARAMETRISCHE FUNKTIONEN UND K URVENINTEGRALE...............................438 14.15.1 DER TANGENTENVEKTOR.................................................................438 14.15.2 KURVENINTEGRALE . ..........................................................................439 14.15.3 DIE P O TE N TIALFU N K TIO N ..............................................................447 15 M EH RD IM EN SIO N A LE IN TEG RA TIO N 453 15.1 E IN LEITU N G ................................................................................................ 453 15.2 BERECHNUNG DER INTEGRALE .................................................................... 457 15.2.1 BERECHNUNG VON INTEGRALEN IN KARTESISCHEN RECHTECKIGEN KOORDINATEN ............................................................................. 458 15.2.2 INTEGRATION UEBER KARTESISCHE KRUMMLINIGE BEREICHE .... 459 15.2.3 WEITERE A NW ENDUNGEN..............................................................461 15.2.4 INTEGRATION IN POLARKOORDINATEN .............................................. 463 15.2.5 UNEIGENTLICHE INTEGRALE..............................................................470 15.3 D REIFACHINTEGRALE....................................................................................473 15.3.1 SCHWERPUNKTSBERECHNUNGEN .................................................... 474 16 G EW OEH N LICH E D IFFEREN TIALGLEICH U N GEN (D G L ) 479 16.1 E IN LEITU N G ................................................................................................ 479 16.1.1 EINFUEHRENDE BEISPIELE (S. WACHSTUM UND Z E RFA LL) ............... 480 16.1.2 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT VON L OE SU N G E N ............................483 16.2 LOESUNGSVERFAHREN FUER DGLEN ERSTER O RD N U N G ..................................486 16.2.1 GEOMETRISCHE INTERPRETATION VON YF(X ,Y )............................486 16.2.2 SUBSTITUTION ................................................................................ 489 16.2.3 LINEARE DGLEN ....................................................................... 494 16.2.4 LINEARE DGL MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN............................498 16.2.5 DIE BERNOULLI-DIFFERENTIALGLEICHUNG ........................................ 502 16.2.6 ZUSAMMENFASSUNG DER LOESUNGSVERFAHREN FUER DGL 1. ORD NUNG ............................................................................................. 503 16.2.7 WEITERE LINEAR INHOMOGENE DGLEN MIT NICHT-KONSTANTEN K OEFFIZIENTEN ............................................................................. 506 16.2.8 POTENZREIHENANSAETZE................................................................. 507 16.2.9 EXAKTE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN .............................................. 510 16.3 NUMERISCHE LOESUNG EINER EXPLIZITEN DGL 1. O RDNUNG...................516 16.4 LINEARE DGLEN 2. ORDNUNG MIT KONST. K OEFFIZIENTEN...................519 16.4.1 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGSSYSTEME .................................... 526 16.5 ANWENDUNG 1: DIE HARMONISCHE SCHWINGUNG ..................................... 531 16.6 WACHSTUMSPROZESSE MIT HILFE DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ............... 535 16.7 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN FUER STOERUNGEN ZWEITER O RD N U N G .................. 537 IV UE B U N G E N A N A LY SIS 2 539 17 U N EIG EN TLICH E IN TEGRALE 541 18 F U N K TION EN M EHRERER V ERAENDERLICHER 543 18.1 METRISCHE R AE U M E ................................................................................ 543 18.2 NORMEN IM RN ...................................................................................... 543 18.3 FOLGEN IM RN ..........................................................................................544 18.4 DIFFERENZIERBARKEIT IM MN ....................................................................544 18.5 DAS VOLLSTAENDIGE D IFFERENTIAL.................................................................545 18.6 PARTIELLE ABLEITUNGEN HOEHERER O RDNUNG .............................................. 546 18.7 DIE TAYLORENTWICKLUNG FUER F{X^Y) ....................................................... 546 18.8 RELATIVE EXTREMWERTE OHNE N EBENBEDINGUNGEN...............................547 18.9 EXTREMWERTAUFGABEN MIT NEBENBEDINGUNGEN ..................................548 18.LOPARAMETRISCHE FUNKTIONEN UND K URVENINTEGRALE...............................548 19 M EH RD IM EN SION ALE IN TEG RA TIO N 549 19.1 BERECHNUNG DER INTEGRALE ....................................................................549 20 G EW OEH N LICH E D IFFEREN TIALGLEICH U N GEN (D G L ) 551 20.1 LOESUNGSVERFAHREN FUER DGLEN ERSTER O RD N U N G ..................................551 20.2 LINEARE DGLEN 2. ORDNUNG MIT KONST. KOEFFIZIENTEN...................553 20.3 DGL DER E M O TIO N E N ............................................................................. 553
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