Représentations des espaces tordus sur un groupe réductif connexe p-adique:
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Société mathématique de France
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| adam_text | Titel: Représentations des espaces tordus sur un groupe réductif connexe p-adique
Autor: Lemaire, Bertrand
Jahr: 2017
ASTÉRISQUE 386 REPRÉSENTATIONS DES ESPACES TORDUS SUR UN GROUPE RÉDUCTIF CONNEXE p-ADIQUE Bertrand Guy Henniart Société Mathématique de France 2017 Publié avec le concours du Centre National de la Recherche Scientifique
TABLE DES MATIÈRES Partie I. CARACTÈRES TORDUS DES REPRÉSENTATIONS ADMISSIBLES (B. Lemaire) .................................................................... 1 1. Introduction ............................................................... 3 2. Caractères tordus d’un groupe localement profini .................... 13 2.1. Module d’un automorphisme de G ...................................... 13 2.2. Caractères des représentations admissibles de G (rappels) ............... 15 2.3. Caractères tordus de G .................................................. 16 2.4. Espaces topologiques tordus ............................................. 17 2.5. Module d’un G-espace tordu ............................................ 19 2.6. Caractères des ^-représentations admissibles d’un G-espace tordu ....... 21 2.7. Induction compacte ..................................................... 23 2.8. Caractères des induites compactes ....................................... 25 2.9. Commentaires ........................................................... 32 3. Automorphismes d’un groupe réductif connexe ....................... 33 3.1. Groupes algébriques affines ; généralités ................................. 33 3.2. Automorphismes ........................................................ 36 3.3. Groupes diagonalisables et tores ......................................... 37 3.4. Automorphismes semisimples et unipotents ............................. 39 3.5. Groupes réductifs connexes .............................................. 41 3.6. Revêtement universel .................................................... 44 3.7. Automorphismes quasi-semisimples ...................................... 45 3.8. Automorphismes quasi-centraux ......................................... 50 3.9. Automorphismes quasi-semisimples localement finis ..................... 52 3.10. Automorphismes réguliers ; les automorphismes intérieurs
.............. 53 3.11. Automorphismes réguliers; le cas général .............................. 55 3.12. Eléments réguliers d’un H-espace tordu ................................ 59 3.13. Tores maximaux et sous-espaces de Cartan d’un H-espace tordu ....... 61
TABLE DES MATIÈRES 3.14. Orbites dans un H-espace tordu ........................................ 62 4. Questions de rationalité .................................................. 67 4.1. Généralités (rappels) .................................................... 67 4.2. Généralités ; suite ....................................................... 68 4.3. Points rationnels d’un H-espace tordu défini sur F ...................... 70 4.4. La décomposition Aut^/(H) = Int/r/(H) xi 2t 0 ........................... 70 4.5. Automorphismes stabilisant un sous-groupe de Borel défini sur F sep .... 72 4.6. Automorphismes stabilisant une paire de Borel définie sur F sep ......... 74 4.7. Tores maximaux et sous-espaces de Cartan de H fl (F) ................... 79 4.8. H(F)-orbites dans H 1 * (.F) ............................................... 80 4.9. La topologie m-adique (cas d’un corps local non archimédien) ........... 81 5. Caractères tordus d’un groupe réductif p-adique ..................... 87 5.1. Paires paraboliques de G ................................................ 87 5.2. Mesures normalisées ..................................................... 88 5.3. Sous-espaces paraboliques de G * 1 ........................................ 90 5.4. Eléments réguliers et quasi-réguliers de G 1 ^ .............................. 92 5.5. L’application : G — ï G pour 6 localement fini ...................... 95 5.6. La paire parabolique (P[ 7 j, A[ 7 j) de G associée à 7 e G ................. 96 5.7. Le principe de submersion d’Harish-Chandra ............................101 5.8. Les opérateurs T 7 pour 7 G G * 1 quasi-régulier ...........................103 5.9. Induction parabolique et caractères .....................................106 5.10. Restriction de Jacquet et caractères ....................................108 5.11. Commentaire ...........................................................113 6
. Séries discrètes et représentations cuspidales .........................115 6.1. Caractères des représentations irréductibles essentiellement de caractère intégrable ..............................................................115 6 . 2 . Caractères des représentations irréductibles cuspidales ..................118 7. Intégrales orbitales et caractères ........................................121 7.1. Intégrales orbitales tordues ..............................................121 7.2. Descente parabolique ....................................................122 7.3. Formule d’intégration de Weyl ..........................................124 A. Représentations irréductibles d’un G-espace tordu ..................133 A.l. Rappels sur les représentations (lisses) irréductibles de G ...............133 A. 2 . (¿-représentations G-irréductibles de G 11 .................................134 A.3. (JC* 1 , (¿)-modules et (Jt^, w)-modules ....................................136 A.4. (¿-représentations irréductibles de G ^ et (Ji^, ¿)-modules simples ......138 A.5. Indépendance linéaire des caractères tordus .............................143 A. 6 . La condition (P 2 ) pour = G^F) ....................................144 B. Représentations /-modulaires ...........................................147 B. l. Généralités [58, ch. 1] ...................................................147
TABLE DES MATIÈRES vii B.2. ^-représentations lisses .................................................148 B.3. Le principe de submersion d’Harish-Chandra ...........................149 B.4. Induction parabolique et restriction de Jacquet .........................149 B. 5. Commentaires ..........................................................151 C. Action d’un groupe algébrique et points rationnels ..................153 C. l. Rappels topologiques ...................................................153 C.2. Actions régulières, localement régulières et constructibles ...............154 C.3. Rappels sur la topologie définie par F ..................................155 C.4. Le théorème de constructibilité .........................................157 C.5. Quelques cas particuliers utiles .........................................158 C.6. Un critère local de séparabilité (rappels) ................................159 C.7. Produit fibre (rappels) ..................................................161 C.8. Restriction à la Weil et morphisme de Frobenius (rappels) ..............161 C.9. Le lemme clé ............................................................163 C.10. Un résultat bien connu ................................................165 C.ll. Une conséquence du lemme clé ........................................166 Partie II. La transformée de Fourier pour les espaces tordus sur un groupe réductif p-ADlQUE (B. Lemaire et G. Henniart) .....................171 1. Introduction ...............................................................173 1.1. La transformée de Fourier dans le cas non tordu (rappels) ..............173 1.2. La transformée de Fourier tordue ........................................174 1.3. Formulation en termes de l’espace tordu de Labesse .....................175 1.4. État des lieux ...........................................................176 1.5. Lien avec les travaux de
Waldspurger ...................................176 1.6. Réduction à la partie « discrète » de la théorie ..........................177 1.7. Le théorème de Paley-Wiener ...........................................178 1.8. Le cocentre tordu (G w) ..............................................179 1.9. L’application d’Euler-Poincaré ..........................................180 1.10. Le théorème de densité spectrale .......................................180 1.11. Des filtrations ..........................................................182 1.12. Plan de l’article ........................................................183 1.13. Des choix ..............................................................184 2. Représentations des espaces tordus .....................................185 2.1. Conventions .............................................................185 2.2. Les données .............................................................185 2.3. ^-représentations de G* 1 .................................................187 2.4. Les représentations n(k) pour k £ Z .....................................188 2.5. Le foncteur tfc pour k 1 ...............................................189 2.6. L’invariant s(n) .........................................................190 2.7. L’espace Sc(G 11 , w) ......................................................192 2.8. (jCjO^-modules et (R«,w)-modules ....................................194
viii TABLE DES MATIÈRES 2.9. Les caractères 0n .......................................................197 2.10. Induction parabolique et restriction de Jacquet ........................198 2.11. Contragrédiente ........................................................201 2.12. Caractères non ramifiés ................................................203 2.13. Quotient de Langlands .................................................206 2.14. Décomposition de Langlands ...........................................207 2.15. Support cuspidal et caractères infinitésimaux ..........................210 2.16. Support inertiel ........................................................211 2.17. Le « centre » (rappels, cas non tordu) ..................................213 2.18. L’anneau 3(G^w) ......................................................214 2.19. Action de Z sur le « centre » ..........................................215 2.20. « Bons » sous-groupes ouverts compacts de G ..........................217 2.21. « Bons » sous-espaces tordus ouverts compacts de G 11 ..................219 2.22. B)-modules admissibles .........................................221 3. Énoncé du résultat .......................................................223 3.1. Le théorème principal ...................................................223 3.2. Variante « tempérée » du théorème ......................................225 3.3. Variante « finie » du théorème ...........................................226 4. Réduction à la partie « discrète » de la théorie ........................229 4.1. Le « lemme géométrique » ..............................................229 4.2. Les espaces ap, üq, a* P , etc .............................................233 4.3. Les espaces clqI, b P n, bp,,, etc ......................................234 4.4. Les morphismes “Tp^c ..................................................238 4.5.
Actions duales de 3(G) et de fPc(G t ) ...................................243 4.6. Induction parabolique et restriction de Jacquet : morphismes duaux .... 245 4.7. Terme constant et caractères des induites paraboliques ..................247 4.8. Le théorème principal sur la partie « discrète » ..........................248 4.9. Réduction du théorème principal 3.1.2 au Théorème 4.8.1 ...............249 5. Le théorème de Paley-Wiener sur la partie discrète ..................251 5.1. Support cuspidal des représentations discrètes ...........................251 5.2. Un résultat de finitude ..................................................252 5.3. Décomposition des fonctions régulières ..................................253 5.4. Une conséquence du lemme de décomposition ...........................255 5.5. La partie 0 = 0g“ u (s) de 0 = 0(s) est constructible ..................258 5.6. Décomposition des espaces ^ “(G^w) et Tfj^G^.w) ....................259 5.7. Surjectivité dans le Théorème 4.8.1 .....................................261 6. Le théorème de densité spectrale sur la partie discrète ..............263 6.1. Trace tordue pour les modules projectifs de type fini ....................263 6.2. Trace tordue (suite) .....................................................267 6.3. L isomorphisme Q (A^) ~ ............................................270 6.4. Variante (sur la condition de projectivité) ...............................275
TABLE DES MATIÈRES ix 6.5. Les isomorphismes G (À*) ~ G (A^) et C*(j4 1 ) ~ C*(A 1, )/îî* .............281 6.6. Application aux algèbres de Hecke finies ................................285 6.7. L’isomorphisme G ! (G^,lj) ~ yC(G^,oS) ...................................286 6.8. La projection G (G^w) — • G (G u ) ......................................289 6.9. L’application d’Euler-Poincaré ..........................................291 6.10. Principe de la démonstration ...........................................295 6.11. Filtrations combinatoires ...............................................297 6.12. Filtration topologique ..................................................299 6.13. L’isomorphisme G(G^, lu; 0) ~ SciG^ ni -1 ) .............................303 6.14. Gradué de la filtration topologique .....................................305 6.15. Sur les générateurs projectifs à la Bernstein ............................308 6.16. Représentations à coefficients dans une extension K de C ..............312 6.17. Spécialisation au point générique .......................................313 6.18. Démonstration du Lemme 6.17.2 .......................................319 6.19. Démonstration du Lemme 6.17.2 (suite) ................................326 6.20. Une conséquence de la Proposition 6.17.1 ..............................332 6.21. Un résultat de densité ..................................................333 6.22. Le cran d(G^) de la filtration topologique ..............................337 6.23. Complément : raffinement du Lemme 6.14.2 ............................341 6.24. L’application d’Euler-Poincaré sur la partie discrète ...................343 6.25. Injectivité dans le Théorème 4.8.1 ......................................347 6.26. Une conséquence .......................................................351 6.27. Un résultat de dualité
..................................................352 Bibliographie .................................................................357 Index ..........................................................................363
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