3000 Jahre Analysis: Geschichte - Kulturen - Menschen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Springer Spektrum
[2016]
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| Ausgabe: | 2., korrigierte Auflage |
| Schriftenreihe: | Vom Zählstein zum Computer
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Inhaltsverzeichnis
1 Prolog: 3000 Jahre Analysis. 1
1.1 Was ist Analysis?. 3
1.2 Vorläufer von 7r. 4
1.3 Das 7r der Bibel. 7
1.4 Volumen eines Pyramidenstumpfes . 9
1.5 Babylonische Näherung an \/2 . 13
2 Das Kontinuum in der griechisch-hellenistischen Antike. . . 15
2.1 Die Griechen formen die Mathematik. 18
2.1.1 Der Beginn: Thaies von Milet und seine Schüler. 19
2.1.2 Die Pythagoreer. 21
2.1.3 Die Proportionenlehre des Eudoxos in Euklids
Elementen. 27
2.1.4 Die Methode der Exhaustion - Integration auf
griechisch . 33
2.1.5 Das Problem der Kontingenzwinkel. 37
2.1.6 Die drei großen klassischen Probleme . 38
2.2 Kontinuum versus Atome - Infinitesimale versus Indivisible . 47
2.2.1 Die Eleaten. 48
2.2.2 Atomismus und Kontinuum. 49
2.2.3 Indivisible und Infinitesimale . 51
2.2.4 Die Zenonschen Paradoxien. 54
2.3 Archimedes. 59
2.3.1 Leben, Tod und Anekdoten. 59
2.3.2 Das Schicksal der archimedischen Schriften. 67
2.3.3 Die Methodenschrift: Zugang hinsichtlich der
mechanischen Sätze. 71
2.3.4 Die Quadratur der Parabel durch Exhaustion. 76
2.3.5 Über Spiralen. 80
2.3.6 Archimedes fängt ir. 84
2.4 Die Beiträge der Römer zur Analysis. 86
2.5 Aufgaben zu Kapitel 2. 89
XX
Inhaltsverzeichnis
3 Wie Wissen wanderte — Vom Orient zum Okzident. 91
3.1 Der Niedergang der Mathematik und die Rettung durch die
Araber. 93
3.2 Die Beiträge der Araber zur Analysis . 98
3.2.1 Avicenna (Ibn Siiiä): Universalgelehrter im Orient . 98
3.2.2 Alhazen (Al-Haitam): Physiker und Mathematiker . 99
3.2.3 Averroes (Ibn Rusd): Aristoteliker im Islam.106
3.3 Aufgaben zu Kapitel 3.108
4 Kontinuum und Atomistik in der Scholastik.109
4.1 Der Wiederbeginn in Europa.111
4.2 Die große Zeit der Übersetzer.120
4.3 Das Kontinuum in der Scholastik.128
4.3.1 Robert Grosseteste.130
4.3.2 Roger Bacon.132
4.3.3 Albertus Magnus.134
4.3.4 Thomas Bradwardine.136
4.3.5 Nicole Oresme.142
4.4 Scholastische , Abweichler“.148
4.5 Nicolaus von Kues.150
4.5.1 Die mathematischen Werke.153
4.6 Aufgaben zu Kapitel 4.156
5 Indivisible und Infinitesimale in der Renaissance.157
5.1 Renaissance: Die Wiedergeburt der Antike.159
5.2 Die Schwerpunktrechner.162
5.3 Johannes Kepler.171
5.3.1 Neue Stereometrie der Fässer.190
5.4 Galileo Galilei.195
5.4.1 Der Umgang Galileis mit dem Unendlichen.203
5.5 Cavalieri, Guldin, Torricelli und die hohe Kunst der
Indivisiblen.207
5.5.1 Die Indivisiblenrechnung nach Cavalieri.211
5.5.2 Die Kritik durch Guldin.219
5.5.3 Die Kritik durch Galilei.220
5.5.4 Torricellis scheinbares Paradoxon.221
5.5.5 De Saint-Vincent und die Fläche unter der Hyperbel . . 223
5.6 Aufgaben zu Kapitel 5.232
Inhaltsverzeichnis
XXI
6 An der Wende vorn 16. zum 17. Jahrhundert.233
6.1 Analysis vor Leibniz in Frankreich.235
6.1.1 Frankreich an der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert 235
6.1.2 René Descartes.238
6.1.3 Pierre de Fermat.248
6.1.4 Blaise Pascal .258
6.1.5 Gilles Personne de Roberval.271
6.2 Analysis vor Leibniz in den Niederlanden.278
6.2.1 Frans van Schooten jr.278
6.2.2 René François Walther de Sluse.279
6.2.3 Johann van Waver en Hudde.281
6.2.4 Christiaan Huygens.284
6.3 Analysis vor Newton in England.287
6.3.1 Die Entdeckung der Logarithmen.287
6.3.2 England an der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert . 288
6.3.3 John Napier und die Napierschen Logarithmen.292
6.3.4 Henry Briggs und seine Logarithmen.299
6.3.5 England im 17. Jahrhundert.310
6.3.6 John Wallis und die Arithmetik des Unendlichen.313
6.3.7 Isaac Barrow und die Liebe zur Geometrie.323
6.3.8 Die Entdeckung der Reihendarstellung des
Logarithmus durch Nicolaus Mercator.330
6.3.9 Die ersten Rektifizierungen: Harriot und Neile.335
6.3.10 James Gregory.344
6.4 Analysis in Indien.345
6.5 Aufgaben zu Kapitel 6.349
7 Newton und Leibniz — Giganten und Widersacher.351
7.1 Isaac Newton.353
7.1.1 Kindheit und Jugend.353
7.1.2 Der Student in Cambridge.356
7.1.3 Der Lucasische Professor.364
7.1.4 Alchemie, Religion und die große Krise.369
7.1.5 Newton als Präsident der Royal Society.373
7.1.6 Das Binomialtheorem.375
XXII
Inhaltsverzeichnis
7.1.7 Die Fluxionsrechnung.376
7.1.8 Der Hauptsatz.379
7.1.9 Kettenregel und Substitutionen.381
7.1.10 Das Rechnen mit Reihen.382
7.1.11 Integration durch Substitution.383
7.1.12 Newtons letzte Arbeiten zur Analysis.385
7.1.13 Differentialgleichungen bei Newton .385
7.2 Gottfried Wilhelm Leibniz.387
7.2.1 Kindheit, Jugend und Studium.387
7.2.2 Leibniz in Mainzer Diensten.389
7.2.3 Leibniz in Hannover.393
7.2.4 Der Prioritätsstreit.398
7.2.5 Erste Erfolge mit Differenzenfolgen.403
7.2.6 Die Leibnizsche Notation.405
7.2.7 Das charakteristische Dreieck.409
7.2.8 Die unendlich kleinen Großen.412
7.2.9 Das Transmutationstheorem.415
7.2.10 Das Kontinuitätsprinzip.419
7.2.11 Differentialgleichungen bei Leibniz.421
7.3 Erste Kritik: George Berkeley.422
7.4 Aufgaben zu Kapitel 7.425
8 Absolutismus, Aufklärung, Aufbruch zu neuen Ufern.427
8.1 Historische Einführung.429
8.2 Jakob und Johann Bernoulli.437
8.2.1 Die Variationsrechnung .442
8.3 Leonhard Euler .446
8.3.1 Der Funktionsbegriff bei Euler.458
8.3.2 Das unendlich Kleine bei Euler.460
8.3.3 Die trigonometrischen Funktionen.463
8.4 Brook Taylor .465
8.4.1 Die Taylor-Reihe.467
8.4.2 Bemerkungen zur Differenzenrechnung.468
8.5 Colin Maclaurin.469
8.6 Die Algebraisierung beginnt: Joseph-Louis Lagrange.469
Inhaltsverzeichnis
XXIII
8.6.1 Lagranges algebraische Analysis.470
8.7 Fourier-Reihen und mehrdimensionale Analysis.473
8.7.1 Joseph Fourier.473
8.7.2 Frühe Diskussionen um die Schwingungsgleichung . 475
8.7.3 Partielle Differentialgleichungen und
mehrdimensionale Analysis.476
8.7.4 Eine Vorausschau: Die Bedeutung der Fourier-Reihen
für die Analysis.477
8.8 Aufgaben zu Kapitel 8.482
9 Auf dem Weg zu begrifflicher Strenge im 19. Jahrhundert 483
9.1 Vom Wiener Kongress zum Deutschen Kaiserreich.487
9.2 Die Entwicklungslinien der Analysis im 19. Jahrhundert.495
9.3 Bernhard Bolzano und die Paradoxien des Unendlichen.495
9.3.1 Bolzanos Beiträge zur Analysis.498
9.4 Die Arithmetisierung der Analysis: Cauchy.501
9.4.1 Grenzwertund Stetigkeit .506
9.4.2 Die Konvergenz von Folgen und Reihen.507
9.4.3 Ableitung und Integral.510
9.5 Die Entwicklung des Integralbegriffs.512
9.6 Die finale Arithmetisierung der Analysis: Weierstraß.519
9.6.1 Die reellen Zahlen.522
9.6.2 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Konvergenz .522
9.6.3 Gleichmäßigkeit.524
9.7 Richard Dedekind und seine Wegbegleiter .527
9.7.1 Die Dedekindschen Schnitte .534
9.8 Aufgaben zu Kapitel 9.540
10 An der Wende zum 20. Jahrhundert: Mengenlehre und
die Suche nach dem wahren Kontinuum.541
10.1 Von der Gründung des Deutschen Kaiserreiches zu den
Weltkatastrophen.544
10.2 Der heilige Georg erlegt den Drachen: Cantor und die
Mengenlehre.549
10.2.1 Cantors Konstruktion der reellen Zahlen.559
10.2.2 Cantor und Dedekind.560
10.2.3 Die transfiniten Zahlen.567
XXIV
I nh alt s verzeichn is
10.2.4 Die Rezeption der Mengenlehre .570
10.2.5 Cantor und das unendlich Kleine.572
10.3 Auf der Suche nach dem wahren Kontinuum:
Paul Du Bois-Reymond.573
10.4 Auf der Suche nach dem wahren Kontinuum:
Die Intuitionisten.575
10.5 Vektoranalysis.580
10.6 Differentialgeometrie.583
10.7 Gewöhnliche Differentialgleichungen .585
10.8 Partielle Differentialgleichungen.588
10.9 Die Analysis wird noch mächtiger: Funktionalanalysis.590
10.9.1 Grundbegriffe der Funktionalanalysis.590
10.9.2 Ein geschichtlicher Abriss der Funktionalanalysis . 594
10.10Aufgaben zu Kapitel 10.603
11 Ein Kreis schließt sich: Infinitesimale in der
Nicht standardanalysis.605
11.1 Vom Kalten Krieg bis heute .609
11.1.1 Computer und Sputnikschock.611
11.1.2 Der „Kalte Krieg“ und sein Ende.613
11.1.3 Bologna-Reform, Krisen, Terrorismus.614
11.2 Die Wiedergeburt der unendlich kleinen Zahlen.616
11.2.1 Die Infinitesimalmathematik im schwarzen Buch“ . 618
11.2.2 Die Nichtstandardanalysis von Laugwitz und
Schmieden.621
11.3 Robinson und die Nicht standardanalysis.623
11.4 Nichtstandardanalysis durch Axiomatisierung: Der Ansatz
von Nelson .625
11.5 Nicht standardanalysis und glatte Welten.626
11.6 Aufgaben zu Kapitel 11.632
12 Analysis auf Schritt und Tritt .633
Literatur.645
Abbildungs Verzeichnis.661
Personenregister.679
Sachwort regist er.691 |
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