Didaktik der Bruchrechnung:
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[Berlin]
Springer Spektrum
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Inhaltsverzeichnis 1 2 Zahlen, Operationen und Strategien „verstehen“ - einige Grundlagen. . 1.1 „Verstehen“ und Gmndvorstellungen . 1.2 Verstehen untersuchen. 1.3 Aufbau von Grundvorstellungen. 1.4 Überwinden von Grundvorstellungsumbrüchen. 1 1 2 3 4 1.5 Bedeutung der Prozessorientierung. 5 Ist die Bruchrechnung heute noch nötig?. 2.1 Die Bruchrechnung ist überflüssig ~ einige häufiger genannte Argumente. . 2.2 Die Bruchrechnung ist keineswegs überflüssig einige ausgewählte Argumente. 2.2.1 Anschauliche Fundierung des Dezimalbruchbegriffs mittels Brüchen. 2.2.2 Einsichtige Fundierung des Rechnens mit Dezimalbrüchen mittels Brüchen. 2.2.3 Prävention und Intervention bei Problembereichen der Dezimalbruchrechnung mittels Brüchen. 2.2.4 Leichtere Begründung algebraischer Eigenschaften von Q+ 7 8 9 10 10 mittels Brüchen. 11
Wahrscheinlichkeitsrechnung. Gleichungslehre. Algebra. Reichhaltige und vielseitige Möglichkeiten zur Prozessorientierung . Resümee. 12 14 15 Zur Einführung von Brüchen. 3.1 Zentrale Grundvorstellungen. 3.1.1 Einige Verwendungssituationen von Brüchen. 3.1.2 Zwei zentrale Grundvorstellungen. 3.1.3 Alternative Zugänge . 17 17 17 21 22 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.8 2.3 3 7 16 16 IX
X Inhaltsverzeichnis 3.2 Bruch als Anteil - zwei Tciłaspekte. 3.2.1 Teilaspekt 1 - Anteil eines Ganzen . 3.2.2 Teilaspekt 2 - Anteil mehrerer Ganzer. Bruch als Anteil - zwei sachorientierte Bemerkungen. Schreibweisen und Repräsentanten. Bruchalbum und Stationenlernen - zwei innovative Ansätze. Drei Grandaufgaben. Anschauliche Vorkenntnisse zu Brüchen. Ein unterrichtlicher Zugang zu den Bruchzahlen. Unterschiede zwischen den natürlichen Zahlen und Bruchzahlen . 24 24 28 31 31 33 34 36 37 38 Erweitern/Kürzen von Brüchen. 4.1 Anschauliche Vorkenntnisse. 4.2 Gleichwertige Brüche - anschauliche Zugangswege. 4.3 Erweitern - systematische Behandlung. 4.4 Kürzen - systematische Behandlung. 4.5 Variationsreiches Üben. 4.6 Mögliche Problembereiche und Hürden/ Prävention und Intervention. 4.7
Vertiefung. 41 41 43 47 48 50 5 Größenvergleich von Brüchen. 5.1 Anschauliche Vorkenntnisse. 5.2 Anschauliche Wege zum Größenverglcich. 5.3 Systematische Behandlung. 5.4 Variationsreiches Üben. 5.5 Mögliche Problembereiche und Hürden. 5.6 Prävention und Intervention. 5.7 Vertiefung. 55 55 57 62 63 64 67 70 6 Addition und Subtraktion von Brüchen. 6.1 Anschauliche Vorkenntnisse. 6.2 Grundvorstellungen und anschauliche Wege zur Addition und Subtraktion von Brüchen. 6.3 Addition und Subtraktion - systematische Behandlung . 6.4 Gemischte Zahlen. 6.5 Variationsreiches Üben. 6.6 Mögliche Problembereiche und
Hürden. 6.6.1 Grundvorstellungen und Rechenkalkül. 6.6.2 Anschauliche Vorstellungen - oft Fehlanzeige . 6.6.3 Schwierigkeitsfaktoren. 6.6.4 Abfolge im Schwierigkeitsgrad - ein Überblick. 73 73 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 Inhaltsverzeichnis 6.7 6.8 87 90 91 94 7 Muttiplikation von Brüchen . 99 7.1 Anschauliche Vorkenntnisse. 100 7.2 Anschauliche Wege zur Multiplikation. 101 7.3 Natürliche Zahl mal Bruch - Grandvorstellung und systematische Behandlung. 105 7.4 Bruch mal natürliche Zahl - Grundvorstellung und systematische Behandlung.106 7.5 Bruch mal Brach - Grundvorstellungen und systematische Behandlung.108 7.5.1 Grundvorstellung: Anteil vom Anteil. 108 7.5.2 Grandvorstellung: Flächeninhalt. HO 7.5.3 Vergleich beider Wege.Ш 7.6 Variationsreiches Üben. П2 7.7 Mögliche
Problembereiche und Hürden. 114 7.7.1 Multiplizieren vergrößert immer. 114 7.7.2 Abfolge im Schwierigkeitsgrad - ein Überblick.115 7.7.3 Multiplikation gleichnamiger Brüche. 116 7.7.4 Multiplikation ungleichnamiger Brüche .117 7.7.5 Natürliche Zahl mal Bruch/Brach mal natürliche Zahl.117 7.7.6 Multiplikation gemischter Zahlen. 118 7.7.7 Regelformulierung und Begründung.119 7.8 Prävention und Intervention.120 7.9 Vertiefung.121 8 Division von Brüchen.125 8.1 Anschauliche Vorkenntnisse.125 8.2 Anschauliche Wege zur Division.128 8.3 Bruch durch natürliche Zahl - Grundvorstellung und systematische Behandlung.133 8.4 Bruch durch Bruch/Natürliche Zahl durch Brach Grundvorstellungen und systematische Behandlung. 134 8.4.1 Grundvorstellung Messen. 134 8.4.2
Grundvorstellung Umkehroperation.135 8.4.3 Vergleich der beiden Wege .137 8.5 Natürliche Zahl durch natürliche Zahl.138 8.6 Variationsreiches Üben. 159 52 54 74 78 79 80 82 83 84 85 86 6.6.5 Bruch plus Bruch/Bruch minus Bruch. 6.6.6 Kombinierter Fall (Brach und natürliche Zahl). Prävention und Intervention. Vertiefung. XI
Inhaltsverzeichnis XII 8.7 8.8 8.9 Mögliche Problembereiche und Hürden.140 8.7.1 Abfolge im Schwierigkeitsgrad - ein Überblick. 140 8.7.2 Bruch durch Bruch.141 8.7.3 Bruch durch natürliche Zahl/Natürliche Zahl durch Bruch .142 8.7.4 Natürliche Zahl durch natürliche Zahl. 143 8.7.5 Grundvorstellungsumbrüche bei der Division. 143 8.7.6 Division von Brüchen und praktische Anwendungen . 144 8.7.7 Regelformulierung und Begründung. 145 Prävention und Intervention.146 Vertiefung.148 9 Brüche und natürliche Zahlen - viele Gemeinsamkeiten, aber auch starke Umbrüche in den Grundvorstellungen. 151 10 Resümee Brüche.155 10.1 Vorkenntnisse über Brüche überraschend gering. 155 10.2 Gründliche Fundierung des Bruchbegriffs erforderlich.155 10.3 Grund Vorstellungen sorgfältig erarbeiten. 156 10.4 Mögliche Problemberciche und Hürden geschickt thematisieren . . . . 158 10.5 Variationsreiches Üben und
Vertiefen.159 11 Prozessorientierter Zugang zu Dezimalbrüchen .161 11.1 Zur Bedeutung von Dezimalbrüchen. 161 11.2 Vorteile der Schreibweise als Dezimalbruch.162 11.3 Zielsetzung des Dezimalbruchlehrgangs. 163 11.4 Bedeutung der Prozessorientierung und Vernetzung. 164 11.5 Grundvorstellungen aufbauen. 165 11.6 Überwinden von Grundvorstellungsumbrüchen. 166 12 Veranschaulichungen zu Dezimalbrüchen .167 12.1 Rolle von Anschauungsmitteln. 167 12.2 Kriterien zur Auswahl von Arbeitsmitteln. 168 12.3 Konkrete Arbeitsmittel für Dezimalbrüche. 169 12.3.1 Zchncrsystcmblöcke/Dienes-Material. 169 12.3.2 Lineare Arithmetikblöcke.169 12.3.3 Decimats . 170 12.3.4 Millimeterpapierquadrate. 170 12.3.5
Stellenwerttafeln. 171 12.3.6 Zahlengerade.171 12.4 Arbeitsmittel sind nicht selbsterklärend.172 12.5 Vom konkreten Material zur Grundvorstellung. 173 12.6 Übersetzen in Sachsituationen. 174 Inhaltsverzeichnis XIII 13 Erweiterung des Stellenwertsystems. 177 13.1 Stellenwerte und deren Zusammenhänge. 177 13.2 Mögliche Problembereiche und Hürden. 179 13.3 Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern. 180 14 Darstellen, Lesen und Schreiben von Dezimalbrüchen.181 14.1 Brüche in Stellenwertschreibweise darstellen . 181 14.2 Schreib-und Spreehwcisen.182 14.3 Mögliche Problembereiche und Hürden. 183 14.3.1 Probleme beim Übersetzen in eine nichtsymbolische Darstellung.183 14.3.2 Probleme beim Lesen und Schreiben. 184 14.4 Vorbeugen, Diagnostizieren und
Fördern. 186 14.5 Variationsreiches Üben und Vertiefen.187 15 Erweitern und Kürzen bei Dezimalbrüchen. 191 15.1 Verfeinern und Vergröbern einer Unterteilung. 191 15.2 Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern. 192 16 Größenvergleich und Anordnung bei Dezimalbrüchen.195 16.1 Wege zum Größenvergleich.195 16.1.1 Über die Stellenwerte an flächigen Veranschaulichungen . . . 195 16.1.2 Über die Zahlengerade. 196 16.1.3 Über Größen. 196 16.1.4 Über Stcllenwerttafeln. 196 16.1.5 Beispiel.196 16.1.6 Verglich der verschiedenen Wege. 196 16.2 Anordnung von Dezimalbrüchen.198 16.3 Mögliche Problembereiche und Hürden. 198 16.3.1 Probleme beim Vergleichen von Dezimalbrüchen. 198 16.3.2 Probleme bei der Anordnung von Dezimalbrüchen. 201 16.4 Vorbeugen, Diagnostizieren und
Fördern.201 16.5 Variationsreiches Üben und Vertiefen.203 17 Zusammenhang zwischen Brüchen und Dezimalbrüchen. 207 17.1 Umwandlung von Bruch- in Dezimalbruchschreibweise. 207 17.2 Umwandlung von Dezimalbruch-in Bruchschreibweise. 210 17.3 Mögliche Problembereiche und Hürden.211 17.4 Typische Fehlcrstrategien bei der Umwandlung zwischen Dezimalbruch- und Bruchschreibweise. 212 17.5 Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern.213
XIV Inhaltsverzeichnis 18 Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen .215 18.1 GrundVorstellungen zur Addition und Subtraktion.215 18.2 Rechenstrategien und-methoden zur Addition und Subtraktion . 216 18.3 Operative Additions-und Subtraktionsstrategien.217 18.4 Stellenweises Rechnen und schriftlicher Algorithmus. 218 18.5 Weitere Strategien.220 18.5.1 Rechnen im kleinsten Stellenwert. 220 18.5.2 Zehnerbrüche. 221 18.5.3 Größen. 221 18.6 Zusammenfassung und Bewertung.222 18.7 Lösungsquoten und -wege. 223 18.8 Mögliche Problembereiche und Hürden.224 18.8.1 Stellenwertprobleme.224 18.8.2 Komma-trennt-Strategie. 225 18.9 Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern.227 18.10 Variationsreiches Üben und Vertiefen. 228 19 Multiplikation von
Dezimalbrüchen. 231 19.1 Grundvorstellungen zur Multiplikation.231 19.2 Multiplizieren von Stellenwerten. 234 19.2.1 Multiplikation mit Zehnerpotenzen. 234 19.2.2 Multiplikation mit Stellenwerten kleiner 1.235 19.3 Strategien zur Berechnung von Multiplikationstermen. 236 19.3.1 Nutzen des Flächeninhalts am Rechteckmodell. 236 19.3.2 Malkreuz.237 19.3.3 Größen. 237 19.3.4 Rechnen mit Zehnerbrüchen . 239 19.3.5 Rechnen mit kleinsten Stellenwerten.239 19.3.6 Regel zur Multiplikation von Dezimalbrüchen . 239 19.3.7 Sönderfall: Multiplikation mit natürlichen Zahlen. 240 19.4 Mögliche Problembereiche und Hürden.240 19.4.1 Gering ausgeprägte Grundvorstellungen. 240 19.4.2 Fehlvorstellungen. 241 19.4.3 Probleme bei Rechenstrategien. 242 19.5 Vorbeugen, Diagnostizieren und
Fördern.245 19.5.1 Diagnostische Aufgaben und Beobachtungsschwerpunkte . 245 19.5.2 Fördervorschläge: Grundvorstellung und Grundvorstellungsumbruch Multiplikation. 246 19.5.3 Fördervorschläge: Rechenstrategien. 247 19.6 Variationsreiches Üben und Vertiefen.248 Inhaltsverzeichnis 20 Division von Dezimalbrüchen . 251 20.1 Grundvorstellungen zur Division. 251 20.2 Strategien zur Division durch Dezimalbrüche. 252 20.3 20.2.1 Anschauliche Division am Modell. 252 20.2.2 Division über Zehnerbrüche.253 20.2.3 Rückgriff auf Größen.253 20.2.4 Umkehroperation. 254 20.2.5 Gleichsinniges Verändern.254 Sonderfall : Division durch Zehnerpotenzen. 256 20.4 20.5 20.6 20.7 Sonderfall: Divisionsstrategien Dezimalbrueh geteilt durch natürliche Zahl. 257 Mögliche Problembereiche und
Hürden.258 20.5.1 Fehlende Grundvorstellungen.258 20.5.2 Fehlerstrategien. 259 Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern. 263 20.6.1 Diagnostische Aufgaben.263 20.6.2 Fördervorschläge . 263 Variationsreiches Üben und Vertiefen.264 20.7.1 20.7.2 21 22 Wahl der Rechenoperation.264 Divisionsstrategien . 265 Runden, Überschlagen und Schätzen .269 21.1 21.2 Runden.22° Überschlagen von Rechenausdrücken.221 21.3 21.4 21.5 21.6 Schätzen von Zahlen und Größen. 272 Mögliche Problembereiche und Hürden.273 Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern. 274 Variationsreiches
Üben und Vertiefen.275 Resümee und Konsequenzen. 277 22.1 Zielsetzung: Verstehen und Prozesse.277 22.2 Modelle: Tragfähigkeit statt Vielfalt.278 22.3 Inhalte: Zahlen statt Ziffern .279 22.4 22.5 Zahlvorstellungen im Stellenwertsystem. 279 Vorwissen aufgreifen, gegenübersteUen, Umbrüche vollziehen. 280 22.6 22.7 22.8 22.9 Probleme bei mangelnden Grundvorstellungen . 281 Fehlerstrategien beim syntaktischen Arbeiten. 281 Fehlvorstellungen . 282 Diagnose: Erfassung von Prozessen.283
XVI Inhaltsverzeichnis 22.10 Förderung und Förderkonzepte. 283 22.10.1 Aktivieren von Grundvorstellungen. 283 22.10.2 Überwinden von Fehlvorstellungen. 284 22.10.3 Fehlerstrategien erkennen und überwinden. 285 22.11 Vernetzung: eine Herausforderung. 286 Diagnostische Tests.289 Zitierte Literatur. 291 Zitierte Schulbücher. 305 Vertiefende Literatur. 307 Bisher erschienene Bände der Reihe Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II . 315 |
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