Eine Anwendung der Invariantentheorie auf das Korrespondenzproblem lokaler Bildmerkmale:
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Passau
2015
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Abbildungsverzeichnis xi
1 Einleitung 1
1.1 Die Geometrie der Stereobilder................................................... 3
1.2 Die Bild Verarbeitung als natürliches Anwendungsgebiet der Invariantentheorie . . 7
1.3 Problemstellung..................................................................12
1.4 Aufbau und Ergebnisse der Arbeit.................................................15
Teil I Algebraische Grundlagen 19
2 Computeralgebra 21
2.1 Grundlegende Begriffe und Konzepte............................................. 22
2.2 Einfache Anwendungen ............................................................24
2.3 Torische Ideale..................................................................27
3 Algebraische Geometrie 33
3.1 Affine algebraische K-Varietäten............................................... 33
3.2 Der affine Koordinatenring und Morphismen affiner K- Varietäten..................38
3.3 Affine Varietäten................................................................43
4 Lineare algebraische Gruppen 47
4.1 Definition und erste Eigenschaften....................................... . 48
4.2 Gruppenoperationen...............................................................54
4.3 Lineare Darstellungen............................................................57
4.4 Lineare reduktive Gruppen........................................................67
Teil II Invariantentheorie 71
5 SAGBI-Basen 73
5.1 Definition und Existenz von SAGBI-Basen..........................................75
5.2 Der U nt er algebra-Divisionsalgorithmus und Ersetzungsregeln....................77
5.3 Normalform und reduzierte SAG BI-Basis ..........................................84
5.4 Berechnung von SAGBI-Basen ......................................................92
5.4.1 Die SAGBI-Prozedur........................................................93
vii
Inhaltsverzeichnis
5.4.2 Die homogene SAGBI-Prozedur...........................................96
5.4.3 Grad-beschränkte SAGBI-Basen.........................................101
6 Die Theorie der Invarianten 107
6.1 Historische Entwicklung der Invariantentheorie..............................107
6.2 Der Invariantenring.........................................................111
6.3 Die Invarianten der speziellen und allgemeinen linearen Gruppe..............115
6.4 Die Vektor invarianten......................................................117
6.4.1 Die Vektorinvarianten der (speziellen) orthogonalen Gruppe...........119
6.4.2 Die Vektorinvarianten der Euklidischen Gruppe........................121
6.5 Homogene Parametersysteme...................................................124
6.6 Die Hilbert-Reihe von Invariantenringen.....................................127
7 Algorithmische Invariantentheorie 133
7.1 Der Reynolds-Operator ......................................................133
7.2 Berechnung fundamentaler Invarianten........................................139
7.2.1 Ein Invarianzkriterium ..............................................140
7.2.2 Der Derksen-Algorithmus..............................................141
7.2.3 Die Hilbert-Reihen-Methode ..........................................147
7.2.4 Die Lineare-Algebra-Met ho de........................................148
8 Geometrische Invariantentheorie 153
8.1 Der algebraische Quotient...................................................153
8.2 Die Trennungseigenschaft....................................................157
Teil III Bildverarbeitung 165
9 Von Bildern zu Polynomen 167
9.1 Der Bildentstehungsprozess..................................................167
9.1.1 Das Lochkameramodell ................................................167
9.1.2 Mathematische Modellierung von Bildern............................. 171
9.2 Lokale Bildmerkmale.........................................................176
9.2.1 Die zeitintegrierte Sensorinputfunktion..............................176
9.2.2 Rekonstruktion der zeitintegrierten Sensorinputfunktion..............183
9.2.3 Effiziente Berechnung lokaler Bildmerkmale...........................193
10 Invarianten von Polynomfunktionen 201
10.1 Vorbereitungen.............................................................202
10.2 Invarianten der speziellen orthogonalen Gruppe.............................204
10.3 Invarianten der orthogonalen Gruppe........................................215
10.4 Invarianten lokaler Bildmerkmale...........................................220
11 Korrespondenzfindung lokaler Bildmerkmale 225
11.1 Das Verfahren zur Korresporidenzfindung lokaler Bildmerkmale...............226
11.2 Demonstrationsbeispiele....................................................236
11.2.1 Korresjjondenzfindung auf 3 x 3-Pixelfenstern........................236
11.2.2 Korrespondenzfindung auf annähernd kreisförmigen Pixelfenstern.......243
11.3 Ausblick...................................................................247
11.3.1 Invarianten unter Skalierungen.......................................248
viii
Inhaltsverzeichnis
11.3.2 Photometrische Invarianz.............................................251
Anhang A Vektorinvarianten der speziellen orthogonalen Gruppe SOn 255
A.l Grundlegende Begriffe.................................................... 255
A.l.l Spezielle Determinanten...............................................255
A.l.2 ^-Matrizen und H-Tupel................................................257
A.l.3 S02-Tableaus..........................................................262
A.2 Die Vektorinvarianten von SO2..............................................276
A. 3 Verallgemeinerung auf SO„ .................................................285
Anhang B Invarianten von Polynomfunktionen ausgewählter Gruppen 293
B. l Spezielle orthogonale Gruppe...............................................293
B. 2 Orthogonale Gruppe.........................................................295
Anhang C Das ApCoCoA-Paket sagbi . cpkg 297
C. l Hauptfunktionen des Pakets.................................................298
C.2 Hilfsfunktionen des Pakets.................................................305
Symbolverzeichnis 309
Literaturverzeichnis 313
Stichwortverzeichnis 321
ix
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