Didaktik der Analysis: Aspekte und Grundvorstellungen zentraler Begriffe
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Berlin ; Heidelberg
Springer Spektrum
[2016]
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| Schriftenreihe: | Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II
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Inhaltsverzeichnis 1 Ziele der Analysis, Aspekte und Grundvorstellungen. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 Ziele, Standards, Kompetenzen. Allgemeine Ziele des Analysisunterrichts . 1.2.1 Pragmatischer Gesichtspunkt. 1.2.2 Kultureller Gesichtspunkt. 1.2.3 Erkenntnistheoretischer Gesichtspunkt. 1.2.4 Kognitiv-konstruktiver Gesichtspunkt. 1.2.5 Sprachlich-kommunikativer Gesichtspunkt. 1.2.6 Schöpferisch-kreativer Gesichtspunkt. 1.2.7 Mathematisch-deduktiver Gesichtspunkt. Inhaltliche Ziele des Analysisunterrichts. 1.3.1 Zentrale Begriffe der Analysis kennenlernen. 1.3.2 Argumentieren, Begründen und Beweisen in der Analysis. 1.3.3 Grundlegende Verfahren der Analysis anwenden. 1.3.4 Mit Analysis Anwendungen und Modelle bearbeiten . Digitale Mathematikwerkzeuge einsetzen. 1.4.1 Entdecken mathematischer Zusammenhänge. 1.4.2 Darstellungsmöglichkeiten. 1.4.3 Reduktion schematischer
Abläufe. 1.4.4 Kontrollmöglichkeiten . Aspekte und Grundvorstellungen zu mathematischen Begriffen. 1.5.1 Aspekte, GrundVorstellungen und ihre Beziehungen zueinander . 1.5.2 Unterscheidung: Universelle und individuelle Grundvorstellungen 1.5.3 Unterscheidung: Primäre und sekundäre Grundvorstellungen . 1.5.4 Nutzen von Grundvorstellungen. Funktionen. 2.1 Historische Entwicklung des Funktionsbegriffs. 2.1.1 Der Funktionsbegriff von Newton. 2.1.2 Der Funktionsbegriff von Leibniz. 2.1.3 Der Funktionsbegriff von Euler. 1 1 4 4 5 6 7 7 8 8 9 9 10 11 11 13 14 14 15 15 16 16 18 19 19 23 23 24 25 26 IX
x Inhaltsverzeichnis 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3 2.1.4 Der Funktionsbegriff von Dirichlet. 2.1.5 Der Funktionsbegrift՜ von Bourbaki. Reelle Zahlen. 2.2.1 Darstellung reeller Zahlen. 2.2.2 Warum Analysis auf R und nicht auf Q? . 2.2.3 Die Vollständigkeit der Menge R. Phänomene zur Entwicklung des Funktionsbegriffs in der Schule. 2.3.1 Zeitliche Entwicklungen. 2.3.2 Kausalzusammenhänge. 2.3.3 Willkürlich gesetzte Zusammenhänge. 2.3.4 Eigenschaften von Objekten. 2.3.5 Funktionale Zusammenhänge bei Rechentermen. 2.3.6 Geometrische Abbildungen. 2.3.7 Dynamische Geometrie. 2.3.8 Von Phänomenen zur Definition des Begriffs der Funktion . 2.3.9 Sinn einer Definition von Funktionen in der Schule. Aspekte und Grundvorstellungen zu Funktionen. 2.4.1 Aspekte des Funktionsbegriffs. 2.4.2
Grundvorstellungen zum Funktionsbegriff. Darstellungsformen von Funktionen. 2.5.1 Reale situative Darstellungen. 2.5.2 Grafische Darstellungen. 2.5.3 Tabellarische Darstellungen . 2.5.4 Darstellungen mit Termen. 2.5.5 Verbale Darstellungen. 2.5.6 Wechsel von Darstellungsformen. Funktionen mit Parametern. 2.6.1 Einfluss von Parametern auf Funktionsgraphen. 2.6.2 Funktionale Abhängigkeiten zwischen Parametern und Graphen . 2.6.3 Ortskurven von Punkten auf Funktionsgraphen. Funktionales Denken. Aufgaben. Folgen und Grenzwerte. 3.1 Historische Entwicklung und fachliche Klärung. 3.1.1 Dynamische und statische Vorstellungen vom Unendlichen . 3.1.2 Die historische Entwicklung des Grenzwertbegriffs. 3.1.3 Die
formale Definition des Grenzwertes. 3.1.4 Zum Lehren des Grenzwertbegriffs. 3.1.5 Der formale Grenzwertbegriff im Mathematikunterricht. 3.1.6 Der intuitive oder propädeutische Grenzwertbegriff. 3.1.7 Der propädeutische Grenzwertbegriff in den Bildungsstandards . 27 29 30 30 31 33 36 36 37 38 38 39 41 41 42 44 46 47 47 50 51 51 54 55 55 56 57 57 64 66 69 71 73 73 74 76 77 78 79 80 82
Inhaltsverzeichnis XI 3.2 Folgen in der Sekundarstufe I. 83 3.2.1 Ein „PISA-Beispiel“. 83 3.2.2 Dreiecks- und Tetraederzahlen. 84 3.2.3 Irrationale Zahlen und Heron-Algorithmus. 86 3.3 Aspekte und Grundvorstellungen zum Folgenbegriff. 88 3.3.1 Aspekte des Folgenbegriffs. 88 3.3.2 Grundvorstellungen zum Folgenbegriff. 94 3.4 Unterrichtliche Zugänge zum Folgenbegriff. 97 3.4.1 Proportionale Folgen und der Begriff der konstanten Änderungsrate. 98 3.4.2 Anriproportionale Folgen und der Begriff der variablen Änderungsrate. 99 3.4.3 Arithmetische Folgen . 100 3.4.4 Quadratische Folgen. 101 3.4.5 Geometrische Folgen und Wachstumsprozesse. 102 3.5 Aspekte und Grundvorstellungen zum Grenzwertbegriff.103 3.5.1 Aspekte des Grenzwertbegriffs.103 3.5.2 Grundvorstellungen zum Grenzwertbegriff.
104 3.6 Unterrichtliche Zugänge zum Grenzwertbegriff. 107 3.6.1 Zugänge auf der numerischen und grafischen Ebene . 107 3.6.2 Hinweise zur Verwendung digitaler Werkzeuge. 109 3.6.3 Kritische Überlegungen zum (intuitiven) Grenzwertverständnis . 110 3.6.4 Diskrete Zugänge auf symbolischer Ebene. 112 3.6.5 Zugänge über reelle Funktionen.116 3.6.6 Vom dynamischen zum statischen Aspekt. 118 3.7 Vorschlag für einen diskreten Zugang zum Ableitungsbegriff. 128 3.7.1 Differenzenfolgen. 129 3.7.2 Z-Polynome. 130 3.7.3 Exponential-Z-Funktionen. 132 3.8 Aufgaben. 133 4 Differenzialrechnung . 137 4.1 Historische Entwicklung und fachliche Klärung zur Differenzialrechnung 138 4.1.1 Historische Entwicklung . 138 4.1.2 Fachliche Klärung . 140 4.2 Aspekte und Grundvorstellungen zur Ableitung. 147 4.2.1
Grundvorstellung: Lokale Änderungsrate. 147 4.2.2 Grundvorstellung: Tangentensteigung . 149 4.2.3 Grundvorstellung: Lokale Linearität. 151 4.2.4 Grundvorstellung: Ableitung als Verstärkungsfaktor kleiner Änderungen. 151
XII Inhaltsverzeichnis 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 5 Zugänge zum Ableitungsbegriff im Mathematikunterricht.154 4.3.1 Sekanten und Tangenten (geometrische Betrachtungen am Graphen). 155 4.3.2 Lokale lineare Approximation. 158 4.3.3 Beschreibung von Änderungsprozessen mit mittleren und lokalen Änderungsraten. 159 4.3.4 Die Grundvorstellung „Verstärkungsfaktor“ als zentrale Idee eines Unterrichtsgangs. 161 4.3.5 Vergleich der vier Zugänge. 162 Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln. 164 4.4.1 Der Kalkül: sinnvoller Umgang mit Regeln. 164 4.4.2 Von einzelnen Stellen zu Intervallen: die Ableitungsfunktion . . . 165 4.4.3 Faktor-und Summenregel. Լ . 167 4.4.4 Ableitung von Polynomfunktionen. 169 4.4.5 Produktregel. 170 4.4.6 Kettenregel. 172 4.4.7 Quotientenregel. 176 4.4.8 Umkehrfunktionen und ihre
Ableitung. 177 4.4.9 Ableitung von Exponential-und Logarithmusfunktionen.179 4.4.10 Ableitung trigonometrischer Funktionen. 183 4.4.11 Übersicht: Funktionstypen der Schulmathematik. 190 Kurvendiskussion. 191 4.5.1 Begriffe im Zusammenhang mit der Kurvendiskussion. 193 4.5.2 Von einzelnen Stellen zu Intervallen - Monotoniekriterien. 194 4.5.3 „Umgekehrte“ und qualitative Kurvendiskussion. 198 4.5.4 Krümmung und Wendepunkte. 199 4.5.5 Extremwertaufgaben: die fundamentale Idee der Optimalität . . . 202 4.5.6 Das Newton-Verfahren. 207 Modellieren und Differenzialrechnung.209 Aufgaben. 214 Integralrechnung. 217 5.1 Historische Entwicklung und fachliche Klärung des Integralbegriffs . 218 5.1.1 Historische Entwicklung . 218 5.1.2 Fachliche Klärung . 222 5.2 Flächen- und Volumenberechnung in der Sekundarstufe
I. 230 5.2.1 Flächenberechnung in der Sekundarstufe I . 230 5.2.2 Volumenberechnung in der Sekundarstufe I.235 5.3 Aspekte und Grundvorstellungen zum Integralbegriff. 238 5.3.1 Produktsummenaspekt . 239 5.3.2 Stammfunktionsaspekt. 239 5.3.3 Maßaspekt. 243
Inhaltsverzeichnis 5.4 5.5 5.6 XIII 5.3.4 Flächeninhaltsgrundvorstellung. 244 5.3.5 Rekonstruktionsgrundvorstellung . 247 5.3.6 Mittelwertsgrundvorstellung. 250 5.3.7 Kumulationsgrundvorstellung. 253 5.3.8 Diskussion von Aspekten und Grundvorstellungen. 254 5.3.9 Aufgabenbeispiele zu Grundvorstellungen . 256 5.3.10 Standards und Kompetenzen zu Grundvorstellungen.260 Unterrichtliche Zugänge zum Integralbegriff. 262 5.4.1 Bestände und Änderungsraten im Anwendungskontext. 262 5.4.2 Bestimmung von Flächeninhalten unter Funktionsgraphen. 265 5.4.3 Integration als Umkehrung der Differentiation. 268 5.4.4 Integrierter Ansatz für Ableitung und Integration. 270 Beispiele zur Integralrechnung. 272 5.5.1 Lineare Substitution. 272 5.5.2 Rotationskörper.275 5.5.3 Volumenberechnungen. 278 5.5.4 Bogenlänge .279 5.5.5 Numerische
Verfahren. 281 Aufgaben. 283 Literatur. 287 Index.297 |
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