Mathematik sehen und verstehen: Schlüssel zur Welt
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Springer Spektrum
[2016]
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| Ausgabe: | 2., erweiterte Auflage |
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1 EINLEITUNG 1
1.1 ZIEL DIESES BUCHES 2
1.2 HISTORISCHES ZUR LEHRE VON MATHEMATIK . 2
1.3 VORGEHEN IN DIESEM BUCH 3
1.4 DIE KAPITEL 4
1.5 EINIGE BEMERKUNGEN 8
2 KRYPTOGRAFIE 9
2.1 DIE ALTE UND DIE NEUE KRYPTOGRAFIE 10
2.1.1 ALPHABETISCHE VERSCHLUESSELUNG 10
2.1.2 VERSCHLUESSELN MIT DEM ONE-TIME-PAD 13
2.2 PRIMZAHLEN 14
2.2.1 FAKTORENSUCHEN IST SCHWER 15
2.2.2 DIE MENGE DER PRIMZAHLEN 16
2.3 RESTKLASSEN MODULO N 17
2.3.1 VORSCHAU AUF DIE KRYPTOGRAFISCHEN RECHNUNGEN 18
2.3.2 DER MODUL DER RESTKLASSEN MODULO N 19
2.3.3 ALLGEMEINES RECHNEN MODULO N 20
2.3.4 MULTIPLIZIEREN MODULO N 22
2.3.5 POTENZIEREN MODULO N 24
2.3.6 INVERSENBESTIMMUNG MODULO N 28
2.4 EUKLIDISCHER ALGORITHMUS UND DER GGT 29
2.4.1 INVERSENBESTIMMUNG MIT DEM ERWEITERTEN EUKLIDISCHEN
ALGORITHMUS 31
2.5 KRYPTOGRAFISCHE VERFAHREN 32
2.5.1 DIFFIE-HELLMAN-SCHLUESSELVEREINBARUNG 33
2.5.2 RSA-VERSCHLUESSELUNG 35
2.5.3 DIGITALE SIGNATUR 40
2.5.4 ZERTIFIZIERUNG DER OEFFENTLICHEN SCHLUESSEL 41
2.6 RUECKBLICK AUF DIE MODERNE KRYPTOGRAFIE 43
3 CODIERUNG 45
3.1 EUROPAEISCHE ARTIKELNUMMER: EAN 45
3.1.1 PRUEFUNG DER EAN UND BERECHNUNG DER PRUEFZIFFER 46
3.1.2 AUFBAU DES STRICHCODES 48
3.2 BUCHNUMMERN ISBN-10 UND ISBN-13 49
3.2.1 EIGENSCHAFTEN UND PRUEFUNG DER ALTEN ISBN-10 50
3.2.2 VOR- UND NACHTEILE DER NEUEN ISBN-13 51
3.3 IBAN, DIE INTERNATIONALE BANKKONTONUMMER 52
3.3.1 AUFBAU DER IBAN 52
3.3.2 BESTIMMUNG DER IBAN-PRUEFZAHL 53
3.4 CODIERUNG MIT 0 UND 1 IST UEBERALL 54
HTTP://D-NB.INFO/1071247859
INHALTSVERZEICHNIS
3.4.1 FEHLERKORRIGIERENDE CODES 55
3.5 QR-CODE, DAS GESCHECKTE QUADRAT 58
3.5.1 AUFBAU DES QR-CODES 58
3.5.2 FUER SIE ERFUNDEN: ZWERG-QR-CODE 59
3.6 RUECKBLICK AUF DIE CODIERUNG 61
4 GRAPHENTHEORIE UND
KNOTENTHEORIE 63
4.1 ALLERLEI GRAPHEN 63
4.1.1 EULER, KOENIGSBERG UND GRAPHEN 64
4.1.2 BESCHREIBUNG VON GRAPHEN 68
4.2 AUFSPANNENDE BAEUME 70
4.2.1 MINIMALE SPANNBAEUME 71
4.2.2 SPANNBAEUME IN UNGEWICHTETEN GRAPHEN 72
4.3 KUERZESTE WEGE 74
4.3.1 KUERZESTE WEGE IN GEWICHTETEN GRAPHEN 75
4.3.2 DIJKSTRA-ALGORITHMUS 76
4.4 FAERBUNGEN 79
4.4.1 KONFLIKTGRAPHEN 79
4.4.2 LANDKARTENFAERBUNG 81
4.5 KNOTENTHEORIE 82
4.5.1 DEFINITIONEN DER KNOTENTHEORIE 83
4.5.2 AUFGABE DER KNOTENTHEORIE 85
4.5.3 PRIMKNOTEN STRUKTURIEREN DIE KNOTENTHEORIE 86
4.5.4 DREIFAERBBARKEIT ALS KNOTENINVARIANTE 87
4.5.5 DIE P-ETIKETTIERBARKEIT ALS KNOTENINVARIANTE 90
4.5.6 DAS ALEXANDER-POLYNOM ALS KNOTENINVARIANTE 93
4.5.7 VERSCHLINGUNGEN UND ZOEPFE 95
4.6 GRAPHEN- UND KNOTENTHEORIE: RUECKBLICK UND AUSBLICK 97
5 FRAKTALE, CHAOS,
ORDNUNG 99
5.1 IDEE VON REKURSION UND ITERATION 101
5.1.1 SPINNWEBDARSTELLUNG REKURSIVER FOLGEN 102
5.1.2 WACHSTUMSVORGAENGE 104
5.1.3 FEIGENBAUMDIAGRAMM 106
5.2 FRAKTALE UND DIMENSION 109
5.2.1 WEGFRAKTALE, LINDENMAYER-SYSTEME 109
5.2.2 SELBSTAEHNLICHKEIT UND DIMENSION 113
5.2.3 ITERIERTE-FUNKTIONEN-SYSTEME (IFS) 115
5.3 MANDELBROT- UND JULIA-MENGEN 120
5.3.1 DAS ECHTE APFELMAENNCHEN 120
5.3.2 JULIA-MENGEN 125
5.4 MUSTER DER NATUR 128
5.4.1 ZELLULAERE AUTOMATEN 128
5.4.2 SPIRALEN MIT GOLDENEM WINKEL 131
5.4.3 SPIRALEN MIT FIBONACCI-ZAHLEN 134
INHALTSVERZEICHNIS
XI
6 WELT DER
FUNKTIONEN 137
6.1 FUNKTIONENFAMILIEN 140
6.1.1 PARABELN UND ELEMENTARE VARIATIONEN 140
6.1.2 GERADEN UND POTENZFUNKTIONEN 147
6.1.3 POLYNOME IN IHRER VIELFALT 150
6.1.4 SINUS, KOSINUS UND MUSIK 157
6.1.5 EXPONENTIALFUNKTIONEN 162
6.1.6 UMKEHRFUNKTIONEN 164
6.2 FUNKTIONENBAUHOF 167
6.2.1 SUMME VON FUNKTIONEN 167
6.2.2 PRODUKT VON FUNKTIONEN 169
6.2.3 VERKETTUNG VON FUNKTIONEN 170
6.3 BLICK AUF DEN PUNKT: ABLEITUNG 171
6.3.1 ABLEITUNGSFUNKTION 172
6.3.2 DIE E-FUNKTION, DAS GEHEIMNIS WIRD GELUEFTET 177
6.4 BLICK AUF DAS GANZE: DAS INTEGRAL 179
6.4.1 DEFINITION DES INTEGRALS 182
6.4.2 WEITERE ANWENDUNGEN DES INTEGRALS 185
6.5 GROSSARTIGER ZUSAMMENHANG 186
6.5.1 TEPPICH ABROLLEN MIT DER INTEGRALFUNKTION 187
6.6 FUNKTIONEN IN HOEHEREN RAEUMEN 191
6.6.1 FUNKTIONEN IM 3D-RAUM 191
6.6.2 MATHEMATISCHE 3D-LOESUNGEN IM BAUWESEN 195
6.6.3 NOCH HOEHER HINAUS 198
7 OPTIMIERUNG ALS
ZIEL 201
7.1 EXTREMWERTAUFGABEN 201
7.2 GEWINNOPTIMIERUNG 204
7.3 LINEARE OPTIMIERUNG 204
7.4 MINIMALFLAECHEN 206
7.5 METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE 208
7.6 OPTIMIERUNG IST UEBERALL 210
8 COMPUTER UND
MATHEMATIK 211
8.1 BINAERSYSTEM 212
8.1.1 ZAHLENHELLSEHER 214
8.1.2 PLUS UND MAL MIT BINAERZAHLEN 215
8.1.3 SUBTRAKTION MIT TRICK 215
8.1.4 BINAERE KOMMAZAHLEN 216
8.2 ZAHLDARSTELLUNG IM COMPUTER 217
8.2.1 EXPERIMENTE MIT KOMMAZAHLEN IN COMPUTERN 218
8.2.2 MASCHINENGENAUIGKEIT 219
8.2.3 BINAERE GLEITKOMMAZAHLEN IN COMPUTERN 220
8.3 NUMERISCH ARBEITENDE WERKZEUGE 221
8.3.1 SOFTWARE FUER NUMERISCHE AUFGABEN 222
8.3.2 NUMERIK IST UEBERALL 222
XII
INHALTSVERZEICHNIS
8.3.3 TABELLENKALKULATIONEN 222
8.4 DYNAMISCHE MATHEMATIK 223
8.4.1 DYNAMISCHE-GEOMETRIE-SYSTEME(DGS) 224
8.4.2 DYNAMISCHE-3D-GEOMETRIE 225
8.4.3 VOM TASCHENRECHNER ZUM HANDHELD-COMPUTER 226
8.5 COMPUTER-ALGEBRA-SYSTEME (CAS) 227
8.5.1 DIE MAECHTIGKEIT DER CAS 228
8.5.2 COMPUTER IN NICHT-NUMERISCHEN ANWENDUNGEN 229
8.6 BERECHENBARKEIT 229
8.6.1 BERECHENBAR, ABER NICHT EFFEKTIV BERECHENBAR .231
8.6.2 KOMPLEXITAET VON PROGRAMMEN 231
8.6.3 DIE KLASSE DER NP-VOLLSTAENDIGEN PROBLEME 232
8.6.4 NUTZEN DER COMPUTERBESCHRAENKUNGEN 233
8.7 COMPUTER IN UNSERER WELT 234
9 NUMERIK 235
9.1 NUMERISCHE VERFAHREN DER ANALYSIS 235
9.1.1 HERON-VERFAHREN FUER WURZELN 235
9.1.2 NULLSTELLENSUCHE 237
9.1.3 NUMERISCHE INTEGRATION 240
9.2 FUER ALLE FAELLE: POLYNOME 244
9.2.1 EIN TAYLOR SCHNEIDERT POLYNOMKLEIDER, DIE FAST PASSEN 244
9.2.2 ZWISCHENWERTE: INTERPOLATION MIT POLYNOMEN 246
9.2.3 SPLINES: DAMIT ES IN DER RICHTIGEN WEISE KRUMM WIRD 247
9.2.4 BEZIER-SPLINES: FREI GESTALTETE FORMEN 248
9.3 FOURIER-REIHEN 250
9.3.1 KLANGFARBEN 251
9.3.2 AUFSTELLEN DER FOURIER-REIHE FUER PERIODISCHE FUNKTIONEN .... 252
9.4 DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 254
9.5 OHNE NUMERIK GEHT ES NICHT 255
10 STOCHASTIK 257
10.1 BESCHREIBENDE STATISTIK 257
10.1.1 FEHLER IN DER BESCHREIBENDEN STATISTIK 257
10.1.2 REGRESSION 259
10.2 WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE 259
10.2.1 DER WAHRSCHEINLICHKEITSBEGRIFF 259
10.2.2 AXIOME VON KOLMOGOROW 262
10.2.3 MEHRSTUFIGE ZUFALLSVERSUCHE 264
10.2.4 SIMULATION DER GLEICHVERTEILUNG 266
10.3 ZUFALLSGROESSE, ERWARTUNGSWERT UND VERTEILUNG 267
10.3.1 KRUEGE FUER DEN HANDWERKERMARKT 267
10.3.2 KOMBINATORIK 269
10.4 VERTEILUNGEN 272
10.4.1 BINOMIALVERTEILUNG 272
10.4.2 SIMULATION VON BERNOULLI-KETTEN 277
INHALTSVERZEICHNIS
XIII
10.4.3 SIMULATION DER BINOMIALVERTEILUNG UND BEISPIELE 279
10.4.4 KUMULIERTE VERTEILUNGSFUNKTIONEN 281
10.4.5 NORMALVERTEILUNG 282
10.5 BEURTEILENDE STATISTIK 289
10.6 BEURTEILENDE STATISTIK: SCHAETZEN 290
10.6.1 INTERVALLSCHAETZUNG IM BINOMIALEN FALL 290
10.6.2 INTERVALLSCHAETZUNG IM NORMALVERTEILTEN FALL 292
10.7 BEURTEILENDE STATISTIK: TESTEN 292
10.7.1 HYPOTHESENTEST IM BINOMIALEN FALL 293
10.7.2 ALLGEMEINE VORGEHENSWEISE BEIM SIGNIFIKANZTEST 296
10.7.3 DEUTUNG DER UNSICHERHEIT BEIM SIGNIFIKANZTEST 299
10.7.4 HYPOTHESENTEST MIT DEN Z-SIGMA-GRENZEN 299
10.7.5 TRENNSCHAERFE EINES TESTS 300
10.7.6 HYPOTHESENTEST BEI MESSREIHEN 301
10.8 STOCHASTISCHE PROZESSE 302
10.8.1 MARKOW-KETTEN 302
10.8.2 WARTESCHLANGEN 308
10.9 STOCHASTIK IM RUECKBLICK 314
11 GEOMETRIE 315
11.1 DER GOLDENE SCHNITT 316
11.1.1 INTERAKTIVE ERKUNDUNG DES GOLDENEN SCHNITTES 319
11.2 DIE KEGELSCHNITTE 321
11.2.1 NAMENSGEHEIMNIS DER KEGELSCHNITTE 322
11.3 REFLEXION BEI PARABELN 325
11.3.1 KONSTRUKTION DER REFLEXION 326
11.3.2 ANWENDUNGEN DER PARABELREFLEXION 326
11.3.3 DIE PARABEL UND IHRE LEITGERADE 327
11.4 REFLEXION BEI ELLIPSEN UND HYPERBELN 329
11.4.1 ANWENDUNGEN DER ELLIPSENREFLEXION 330
11.4.2 ELLIPSE, HYPERBEL UND IHR GEMEINSAMER LEITKREIS 331
11.4.3 FADENKONSTRUKTIONEN VON ELLIPSE UND HYPERBEL 333
11.5 KAUSTIKEN UND KATAKAUSTIKEN 334
11.6 GEOMETRIE IM RUECKBLICK 335
12 SELBSTVERSTAENDNIS DER
MATHEMATIK 337
12.1 MATHEMATIKER UND MATHEMATIKERINNEN 337
12.2 ALGEBRA UND ZAHLAUFBAU 339
12.2.1 NATUERLICHE UND GANZE ZAHLEN 339
12.2.2 RATIONALE UND REELLE ZAHLEN 340
12.2.3 KOMPLEXE ZAHLEN 341
12.3 MATHEMATISCHE SCHOENHEIT 343
12.4 BEWEISEN 345
12.4.1 EIN BEWEIS IN DER GEOMETRIE 345
12.4.2 EIN BEWEIS IN DER ANALYSIS 347
12.5 DIE UNLOESBAREN PROBLEME DER ANTIKE 350
XIV
INHALTSVERZEICHNIS
12.6 FAZIT 352
13 LOESUNGEN 353
LITERATURVERZEICHNIS 363
SACHVERZEICHNIS 375
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