Motifs des variétés analytiques rigides:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | English |
| Veröffentlicht: |
Paris
Soc. Math. de France
2015
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| Schriftenreihe: | Mémoires de la SMF
140/141 |
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|---|---|
| adam_text | TABLE DES MATIERES
ц
Introduction générale
........................................................ 1
1.
Motifs des variétés rigides analytiques
I
:
version sans transferts et lien
avec le foncteur
«
motif proche
» ......................................... 13
Introduction
................................................................. 13
1.1.
Rappels et compléments de géométrie rigide
.............................. 14
1.1.1.
Généralités
......................................................... 14
1.1.2.
Algebres
affinoïdes et variétés rigides
................................. 16
1.1.3.
Le foncteur d analytification
......................................... 22
1.1.4.
La fibre générique de Raynaud et les modèles formels
................. 25
1.1.5.
Points en géométrie rigide
........................................... 31
1.1.6.
Morphismcs lisses et étales
.......................................... 38
1.1.7.
Modèles semi-stables
................................................ 52
1.2.
La
topologie
de Nisnevieh en géométrie rigide
............................. 55
1.2.1.
Définition et propriétés basiques de la
topologie
de Nisnevich
......... 56
1.2.2.
Carrés Nisnevieh et propriété de Brown-Gersten
..................... 66
1.2.3.
Engendrenient par des /n-affinoïdes ayant potentiellement
bonne réduction
.................................................... 75
1.2.4.
Topologies
de Nisnevieh et foncteur
ďanalytificatioii
................. 81
1.3.
Les catégories B1-homotopiques des A:-variétés rigides
..................... 83
1.3.1.
Construction et propriétés élémentaires
:
cas instable
................. 83
1.3.2.
Motifs rigides de quelques variétés algébriques
....................... 90
1.3.3.
Construction et propriétés élémentaires
:
cas stable
...................100
1.3.4.
Enoncé du résultat principal et réductions
...........................105
1.4.
Le 2-foncteur homotopique stable RigSH(—
) ............................126
1.4.1.
Les
Å^-schémas
rigides
...............................................126
1.4.2.
La construction des dérivateurs RigSH(
-)
et FSH(-)
..............128
1.4.3.
L axiome de localité pour RigSH(
-)
et FSH(-)
....................135
1.4.4.
Fin de la vérification des axiomes et quelques compléments
...........146
1.4.5.
Démonstration du théorème
1.3.38 ..................................154
I.A.
Appendice
:
complément sur les opérations de Grothendieck
dans le monde motivique
................................................160
VI
TABLK
DRS MATIKRKS
2.
Motifs des variétés rigides analytiques
II
:
étude cohomologique des
préfaisceaux avec transferts, surconvergents et invariants
par homotopie
.............................................................
H)9
2.1.
Rappels et compléments de géométrie rigide (suite)
.......................170
2.1.1.
Domaines de la droite affine et leur cohomologie
......................170
2.1.2.
Préfaisceaux et faisceaux surconvergents
.............................187
2.2.
Correspondances finies et préfaiseeaux avec transferts
eu géométrie rigide
......................................................201
2.2.1.
Faisceaux
f h
et multiplicités d intersection
..........................201
2.2.2.
Correspondances finies et préfaisceaux avec transferts
sur SmAfnd/fc
......................................................213
2.2.3.
Préfaisceaux avec transferts sur
SmRig/Zc
et compléments
............222
2.2.4.
Préfaisceaux avec transferts
В
-invariants
:
propriétés élémentaires
... 228
2.2.5.
Fibres d un préfaisceau avec transferts B1 -invariant
..................233
2.3.
Invariance par homotopie et groupe de Picard relatif
......................257
2.3.1.
Groupe de Picard relatif et correspondances finies
à homotopie près
...................................................258
2.3.2.
Construction de correspondances unies à homotopie près
.............271
2.4.
Cohomologie Nisnevich d un préfaisceau avec transferts,
surconvergent et
IB
-invariant
............................................284
2.4.1.
Étude de la restriction au petit site de la boule de
Tate
................284
2.4.2.
Invariance par homotopie de la cohomologie et applications
...........291
2.4.3.
Exemples de préfaisceaux avec transferts, sur convergents
et B1-invariants
....................................................296
2.5.
La catégorie RigDM{A;) des motifs des variétés rigides
....................305
2.5.1.
Construction de RigDM(fc) et propriétés élémentaires
...............305
2.5.2. Engend
renient par les motifs rigides de variétés algébriques
et /-structure hoinotopique
.........................................322
2.5.3.
Théorème de simplification ou le
«
cancellation theorem
» ............342
2.5.4.
Description en termes de motifs algébriques
..........................352
Bibliographie
.................................................................379
Index
.............................................. ......383
Dans ce travail, j étends la théorie des motifs, comme développée par Voe-
vodsky et
Morel-
Voevodsky, au cadre de la géométrie analytique rigide sur un
corps complet non archimédien.
Le premier chapitre reprend l approche homotopique de
Morel
et Voevodsky.
On y trouve la construction de la catégorie homotopique stable motivique des
variétés analytiques rigides ainsi qu une description complète de cette dernière
en termes de motifs algébriques lorsque le corps de base est d égale caracté¬
ristique nulle et de
valuation
discrète. Le second chapitre reprend l approche
par les transferts de Voevodsky. On y trouve la construction de la catégorie
triangulée des motifs analytiques rigides, ainsi qu une extension à la géométrie
rigide d une grande partie des résultats fondamentaux de Voevodsky et no¬
tamment sa théorie des préfaisceaux avec transferts invariants par homotopie.
Ceci dit, le présent travail ne se résume pas à un simple décalque de la théorie
classique et le lecteur trouvera beaucoup de résultats nouveaux et spécifiques
au contexte de la géométrie rigide.
In this work, I extend the theory of motives, as developed by Voevodsky and
Morel-Voevodsky, to the context of rigid analytic geometry over a complete
non archimedean
field.
The first chapter deals with the homotopical approach of Morel and Voevod¬
sky. One finds there the construction of the motivic stable homotopy category
of rigid analytic varieties and a complete description of this category in terms
of algebraic motives when the base field has equal characteristic zero and its
valuation is discrete. The second chapter deals with VoevodskyTs approach
based on transfers. One finds there the construction of the triangulated cat¬
egory of rigid analytic motives, and an extension to rigid analytic geometry
of a large number of Voevodsky s fundamental results such as his theory of
homotopy invariants presheaves with transfers. This is said, the present work
is a lot more than just a mere copy of the classical theory and the reader will
find a lot of results that are new and specific to rigid analytic geometry.
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