Mathematik für die ersten Semester:
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INHALT
VORWORT V
UEBER MATHEMATIK UND WIRKLICHKEIT UND DIESES BUCH VII
TEIL
I: GRUNDLAGEN
1 LOGIK 3
2 MENGEN 8
3 RELATIONEN 15
3.1 ABBILDUNGEN 17
TEIL II: ARITHMETIK
4 DIE NATUERLICHEN ZAHLEN 25
4.1 DAS PRINZIP DER VOLLSTAENDIGEN INDUKTION 25
4.2 DER BINOMISCHE SATZ 26
4.3 PRIMZAHLEN 28
5 ERWEITERUNGEN DER ZAHLENMENGE 31
5.1 DIE GANZEN ZAHLEN 31
5.2 GRUPPE 33
5.3 DIE RATIONALEN ZAHLEN 34
5.4 KOERPER 35
5.5 DIE REELLEN ZAHLEN 36
5.6 DIE KOMPLEXEN ZAHLEN 38
TEIL
III: ELEMENTARE GEOMETRIE
6 EBENE GEOMETRIE 45
7 TRIGONOMETRIE 51
8 VEKTOREN 55
8.1 VEKTORADDITION 55
8.2 SKALARMULTIPLIKATION 57
8.3 EINHEITSVEKTOR 58
8.4 SKALARPRODUKT 59
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XII
INHALT
8.5 KREUZPRODUKT 61
8.6 PARALLELVERSCHIEBUNG 63
8.7 POLARKOORDINATEN 64
8.8 VEKTORRAUM 65
9 GEOMETRIE DES E
3
68
9.1 GERADENGLEICHUNGEN 68
9.2 ABSTAND EINES PUNKTES VON EINER GERADEN 70
9.3 EBENENGLEICHUNGEN 71
9.4 REGULAERE POLYEDER 72
9.5 ORTHONORMALBASIS 73
TEIL IV: LINEARE ALGEBRA
10 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 81
10.1 DARSTELLUNG VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN 83
10.2 ELEMENTAROPERATIONEN-*84
10.3 GAUSSSCHES ELIMINATIONSVERFAHREN 85
11 MATRIZEN 90
11.1 ADDITION UND MULTIPLIKATION VON MATRIZEN 90
11.2 DIE TRANSPONIERTE MATRIX 92
11.3 ELEMENTARMATRIZEN 93
11.4 INVERSION VON MATRIZEN 94
11.5 DAS MATRIXINVERSIONSVERFAHREN 96
12 DETERMINANTEN 99
12.1 SAETZE UEBER DETERMINANTEN 101
12.2 BERECHNUNG VON DETERMINANTEN 103
12.3 DIE ADJUNGIERTE MATRIX 107
12.4 DIE CRAMERSCHE REGEL 109
13 TRANSFORMATIONEN MIT MATRIZEN 114
13.1 DREHUNGEN 115
13.2 STRECKUNG UND SPIEGELUNGEN 117
13.3 ORTHOGONALE MATRIZEN 118
13.4 LOESUNGSMENGEN IRREGULAERER LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 121
14 ITERATIVE LOESUNG VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN 127
14.1 DAS VERFAHREN NACH GAUSS UND SEIDEL 127
14.2 STABILITAET 128
INHALT
XIII
TEITV: ALGEBRA UND GEOMETRIE
15 POLYNOME 133
15.1 GESCHLOSSENE LOESUNGSVERFAHREN 137
15.2 APPROXIMATION DER NULLSTELLEN 141
16 ZWEIDIMENSIONALE QUADRATISCHE FORMEN 144
16.1 ALLGEMEINE GLEICHUNGEN ZWEITEN GRADES 147
16.2 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 149
17 DIE KEGELSCHNITTE 152
17.1 DIE ELLIPSE 152
17.2 DIE PARABEL 158
17.3 DIE HYPERBEL 160
17.4 TANGENTEN UND POLAREN DER KEGELSCHNITTE 164
17.5 VERGLEICH DER KEGELSCHNITTE 167
17.6 BEGRUENDUNG DER BEZEICHNUNG *KEGELSCHNITT" 168
18 SPHAERISCHE GEOMETRIE 175
18.1 SPHAERISCHE TRIGONOMETRIE 178
TEIL VI: INFINITESIMALRECHNUNG
19 FOLGEN 183
20 REIHEN 191
20.1 ZUR DEZIMALDARSTELLUNG VON ZAHLEN 194
21 STETIGE FUNKTIONEN 197
22 FUNKTIONENFOLGEN UND FUNKTIONENREIHEN 200
TEILVII: DIFFERENTIALRECHNUNG
23 DER DIFFERENTIALQUOTIENT 207
23.1 ABLEITUNGEN EINFACHER FUNKTIONEN 208
23.2 ABLEITUNGSREGELN 210
24 DIE EXPONENTIALFUNKTION 214
24.1 DER NATUERLICHE LOGARITHMUS 217
24.2 GRENZWERTE 218
24.3 IRRATIONALITAET DER BASIS DER NATUERLICHEN LOGARITHMEN 219
XIV
INHALT
24.4 DIE ALLGEMEINE POTENZ 220
24.5 LOGARITHMISCHES DIFFERENZIEREN 221
25 DIE WINKELFUNKTIONEN 224
25.1 DIE KREISBOGENFUNKTIONEN 224
25.2 DIE HYPERBELFUNKTIONEN 226
26 KURVENDISKUSSION 230
26.1 BEISPIEL EINER KURVENDISKUSSION 231
27 APPROXIMATION VON FUNKTIONEN 234
27.1 DER ALLGEMEINE BINOMISCHE SATZ 234
27.2 FOURIER-ANALYSE 236
27.3 DIE TAYLOR-REIHE 239
28 FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN 245
28.1 PARTIELLE DIFFERENTIATION 245
28.2 DAS TOTALE DIFFERENTIAL 247
28.3 IMPLIZITE DIFFERENTIATION 247
TEIL VIII: INTEGRALRECHNUNG
29 DAS INTEGRAL 253
30 INTEGRATIONSMETHODEN 257
30.1 DIREKTE INTEGRATION 257
30.2 INTEGRATION MITTELS SUBSTITUTION 258
30.3 PARTIELLE INTEGRATION 259
30.4 LOGARITHMISCHE INTEGRATION 261
30.5 PARTIALBRUCHZERLEGUNG 262
30.6 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 265
31 KURVENLAENGE UND KURVENKRLIMMUNG 268
32 MEHRFACHINTEGRALE 270
32.1 ROTATIONSKOERPER 271
33 INTEGRALTRANSFORMATIONEN 274
33.1 BEWEIS DER GLEICHUNGEN FUER DIE FOURIER-KOEFFIZIENTEN 274
33.2 FOURIER-TRANSFORMATION 275
33.3 ETWAS FUNKTIONENTHEORIE 277
INHALT
XV
33.4 LAPLACE-TRANSFORMATION 279
33.5 RECHENREGELN FUER DIE LAPLACE-TRANSFORMATION 282
TEIL IX: VEKTORANALYSIS
34 DIFFERENTIATION VON FELDERN 289
34.1 VEKTORALGEBRA 289
34.2 DIFFERENTIATION EINES VEKTORFELDES NACH EINEM SKALAR 290
34.3 RAEUMLICHE DIFFERENTIATION EINES FELDES 291
34.4 MEHRFACHE DIFFERENTIATION EINES FELDES 294
34.5 DER LAPLACE-OPERATOR IN POLARKOORDINATEN 294
35 INTEGRALSAETZE 299
35.1 DER SATZ VON GAUSS 299
35.2 GREENSCHE SAETZE 302
35.3 DER SATZ VON STOKES 302
TEILX: DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
36 GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 307
36.1 HOMOGENE LINEARE DGL MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 307
36.2 LINEARE DGL MIT STOERFUNKTION 309
36.3 TRENNUNG DER VARIABLEN 309
36.4 LOESEN VON DGL MIT DER LAPLACE-TRANSFORMATION 310
LITERATUR 313
STICHWORTVERZEICHNIS 315 |
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