Komplexe Zahlen und ebene Geometrie:
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Berlin ; Boston
de Gruyter
[2016]
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Inhalt
Vorwort--V
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Komplexe Zahlen und ihre geometrische Darstellung-1
Von den natürlichen Zahlen zu den komplexen Zahlen-1
Die komplexen Zahlen---6
Rechnen im Körper (C, +, •)-9
Aufgaben----10
Die Gaußsche Zahlenebene----12
Die Betragsfunktion in C--12
Punktmengen in der Gaußschen Zahlenebene-----16
Aufgaben----23
Polarkoordinatendarstellung-24
Geometrische Interpretation der Rechenoperationen in €-27
Die Formeln von Moivre und Euler-29
Anwendungen in der Physik: Bewegungen eines Punktes in der
Ebene----34
Spiralen----40
Komplexe Zahlen und Fraktale--45
Aufgaben----52
Primzahlen im Komplexen----55
Die Menge der ganzen Gaußschen Zahlen---55
Norm und Einheiten---55
Die Gaußschen Primzahlen----57
Division mit Rest im Ring derganzen Gaußschen Zahlen---59
Primfaktorzerlegung in G-60
Aufgaben----62
Lösungen algebraischer Gleichungen---63
Quadratwurzeln und quadratische Gleichungen---63
Allgemeine Wurzeln---68
Einheitswurzeln: n-te Wurzeln aus der Zahl 1-70
Aufgaben----75
Kubische Gleichungen---76
Ausblick----88
Lösungen der Gleichung4. Grades--88
Aufgaben -— 90
X
4
4.1
4.2
4.3
5
5.1
5.2
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6
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7.8
8
9
9.1
9.2
9.2.1
9.2.2
9.3
10
10.1
I
Inhalt
Fundamentalsatz der Algebra---93
Die Problemstellung---93
Der Fundamentalsatz der Algebra---93
Die Bedeutung des Fundamentalsatzes----101
Aufgaben —104
Riemannsche Kugel-----105
Einleitung---105
Stereografische Projektion--106
Eigenschaften der stereografischen Projektion-108
Darstellung einer Funktion auf der Riemannschen Zahlenkugel -
ein Beispiel---112
Aufgaben-----113
Komplexe Funktionen-----115
Begriffsbildung---115
Differenzieren von komplexen Funktionen---117
Konforme Abbildungen —420 Aufgaben-----123
Gebrochen lineare Funktionen---125
Ganze lineare Funktionen---126
Die Inversion---129
Spiegelung am Kreis und hyperbolische Fraktal-Ornamente---135
Kurvenverwandtschaft bei der Inversion y = 1 --137
Gebrochen lineare Funktionen: Möbiustransformationen---140
Das Doppelverhältnis----146
Normalform der Möbiustransformation mit zwei Fixpunkten---147
Möbius-Transformationen auf der Riemannschen Kugel----152
Aufgaben-----154
Die Jukowski-Funktion und die Funktion w = z2-157
Nichteuklidische Geometrie---163
Euklid und seine Axiome---163
Modelle der hyperbolischen Geometrie---165
Poincaresche Halbebene----166
Poincaresche Scheibe----171
Eigenschaften der hyperbolischen Geometrie---173
Komplexe Zahlen und dynamische Geometrie-----177
Die interaktive Geometriesoftware Cinderella.2-177
Inhalt
X!
10.2 Die Programmierschnittstelle von Cinderella----180
10.3 Fraktale----183
10.4 Ganze lineare Funktionen----186
11 Komplexe Zahlen und Konforme Abbildungen mit MAPLE-------189
Stichwortverzeichnis---213 |
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