Numerische Behandlung von Differentialgleichungen:
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| Format: | Elektronisch E-Book |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin, Heidelberg
Springer Berlin Heidelberg
1955
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| Ausgabe: | Zweite Neubearbeitete Auflage |
| Schriftenreihe: | Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, In Einzeldarstellungen mit Besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
60 |
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| Online-Zugang: | Volltext |
| Beschreibung: | verfahren durch beträchtliche Erhöhung der Genauigkeit bei nur mäßig vergrößerter Rechenarbeit aus, so daß heute die Interpolationsverfahren wohl weit mehr im Gebrauch sind als die Extrapolationsverfahren. Bei den Interpolationsverfahren ist das Verfahren der zentralen Differenzen dem ADAMsschen Interpolationsverfahren durch einfachere Rechnung, günstigere Konvergenzverhaltnisse und kleinere Fehlerschranken überlegen. Über die zweckmäßige Auswahl des zu benutzenden Verfahrens lassen sich natürlich nur einige allgemeine Richtlinien geben. Die Differenzenschemaverfahren sind gut geeignet, wenn die Funktionsverläufe glatt sind und die Differenzen mit zunehmender Ordnung stark abnehmen; man rechnet zweckmäßig bei ihnen mit nicht zu großer Schrittweite. Liegt aber ein unruhiger Funktionsverlauf vor, etwa mit empirisch gegebenen Funktionen, oder will man mit großer Schrittweite rechnen, so ist das RUNGE-KUTTA -Verfahren vorzuziehen, ebenso, wenn man öfter auf eine neue, insbesondere kleinere Schrittweite übergehen muß. Allzu groß darf man allerdings die Schrittweite auch beim RUNGE-KUTTA-Verfahren nicht wählen. (Vgl. 1 die Bemerkungen in Nr. 2. 4. ) 3. 1. Einführung. Es sei wieder die Differentialgleichung (1. 10) y'= I(x, y) mit der Anfangsbedingung Y = Yo für x = Xo angenähert zu integrieren; wie in Nr. 1. 4 seien X ' XI' . . , xn aquidistante Teilpunkte mit der O konstanten Differenz h = Axv = xv+! - Xv (der "Schrittweite"), und es seien Y. Näherungen für die Werte Y (xv) der exakten Lösungsfunktion Y (x) an der Stelle xv. Die Differenzenschemaverfahren knüpfen an die Integralform (1. 13) der Gl. (1. 10) Xr+1 (3 |
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