Funktionen einer reellen Veränderlichen:
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| Format: | Elektronisch E-Book |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin, Heidelberg
Springer Berlin Heidelberg
1973
|
| Ausgabe: | Dritte Auflage |
| Schriftenreihe: | Differential- und Integralrechnung
I |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Volltext |
| Beschreibung: | Grundlegend ist der Begriff der reellen Zahl. Im ersten Kapitel werden die Axiome des rellen Zahlkörpers mit ihren einfachsten Folgerungen ausführlich besprochen; die unendlich fernen Punkte + 00 und - 00 werden axiomatisch miteingeführt. Die nächsten beiden Kapitel sind dem Umgebungsbegriff und dem darauf fußenden Grenzwertbegriff für Folgen und Reihen gewidmet. Da wir für die Definition der Konvergenz die natürliche (uniforme) Topologie der Zahlengeraden zugrundelegen, bleibt die Konvergenz gegen ± 00 ausgeschlossen. - Die Begriffe "limes superior" und "limes inferior" sind so gefaßt, daß sie mit der Definition der halbstetigen Funktionen harmonieren. Reelle Funktionen werden im vierten Kapitel behandelt. Vor den stetigen werden halbstetige Funktionen definiert. Dieser Funktionstyp ist in Kapitel VII für die Definition von Umgebungen im Funktionsraum wichtig und damit zur Einführung des Lebesgueschen Integrals, das in diesem Buch das unbefriedigende Riemannsche Integral ablöst. Mit Hilfe des Stetigkeitsbegriffes können dann in Kapitel V differenzierbare Funktionen ohne Benutzung eines erneuten Grenzüberganges erklärt werden. Auf diese Weise ergeben sich wesentliche Vereinfachungen bei der Herleitung der Differentiationsregeln; außerdem übertragt sich die Definition unverändert auf allgemeinste Fälle (totale Differenzierbarkeit bei mehreren Veränderlichen, Funktionen auf topologischen Vektorräumen) |
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