Differentialrechnung II · Integrale · Gewöhnliche Differentialgleichungen · Lineare Funktionenräume · Partielle Differentialgleichungen:
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| Format: | Elektronisch E-Book |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Heidelberg
Steinkopff
1979
|
| Schriftenreihe: | Mathematische Methoden in der Physik
Teil 2 |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Volltext |
| Beschreibung: | Das Riemannsche Prinzip (Zerlegung der Definitionsmenge B in »einfache« Mengen B;)liegt fast allen numerischen Berechnungen und physikalischen Messungen von Integralen zugrunde. Das Lebesguesche Prinzip (Zerlegung der Zielmenge IR) führt in allen Fällen zum Erfolg, in denen das Integral nach 5.1.2.1 existiert. Entgegen dem Eindruck, den man aus einigen Darstellungen der Integrationstheorie gewinnen kann, liegt die Bedeutung des allgemeinen (über den Riemannschen weit hinausgehenden) Integralbegriffes nicht in der Möglichkeit, solche stark unstetigen Funktionen wie in 5 (ii) integrieren zu können (den Physiker interessieren solche Funktionen ohnehin nicht). Entscheidend ist, daß die Menge der nach Lebesgue integrierbaren Funktionen viel schönere Eigenschaften hat als ihre Teilmenge der Riemann-integrierbaren Funktionen; ähnlich wie bei dem Übergang von (Q auf IR erhalten wir Vollständigkeitseigenschaften (siehe Satz 5.1 J. 7 und 7.1.3.4, andererseits Beispiel 5 (iii)). Dadurch, daß im Riemannschen Konzept in 5.1.1.3 und 5.1.0.3 nur endliche Summen zugelassen sind, entfällt zunächst die Möglichkeit, unbeschränkte Funktionen oder Bereiche zuzulassen. Erst über den »Umweg« der "uneigentlichen Integrale" (5.2.3) sind viele in der Praxis + 00 1 d x2 bedeutsame Integrale wie S e- dx und S ,;; zu erklären, obwohl X -x 0 V diese gemäß dem Konzept 5.1.0.3 genauso »gute« Integrale sind wie 1 2 etwa S x dx. o Daß immer noch in Grundkursen die Riemannsche Methode zur Definition des Integrals benutzt wird, ist wohl nur aus historischen Gründen zu erklären |
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