Einführung in die Gruppentheorie: für Studenten der Mathematik, der Naturwissenschaften und der Ingenieurwissenschaften
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| Published: |
Wiesbaden
Vieweg+Teubner Verlag
1977
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| Item Description: | Die elementaren Operationen in der Arithmetik bestehen darin, daß man zwei Zahlen a und b in Übereinstimmung mit einigen wohldefinierten Regeln verknüpft und so eine neue eindeutig bestimmte Zahl c erhält. Nehmen wir zum Beispiel als Verknüpfungsregel die Multiplikation, so schreiben wir c = ab. Wenn a und b gegeben sind, dann kann die Zahl c in jedem Fall gefunden werden. Es ist bekannt, daß die Multiplikation von zwei oder mehreren Zahlen gewissen formalen Regeln gehorcht, welche für alle Produkte gelten, unabhängig vom speziellen numerischen Wert: (1.1) ab = ba; Kommutativgesetz (1. 2) (ab)c = a(bc) Assoziativgesetz (1. 3) 1a=a1=a Die letzte Gleichung hat die Einführung eines speziellen Elementes, des Einselementes, zur Folge. Das zweite Gesetz lautet ausführlicher: wenn wir ab = s und bc = t setzen, dann gilt immer sc = at. In der axiomatischen Behandlung der Arithmetik ist es üblich, zuerst die Axiome oder Postulate etwa solche wie (1. 1), (1. 2) und (1. 3) festzulegen, sowie auch gewisse andere Verfahrensregeln bezüglich der Addition oder der Multiplikation einzuführen, und man leitet davon dann die logischen Folgerungen ab. Es ist dabei am Anfang unwesentlich, ob die Symbole a, b, . . . Zahlen, wie wir sie im üblichen Sinne verstehen darstellen, oder etwa andere mathematische Größen, ja man verzichtet oft auf eine konkrete Interpretation. Es sind auch zahlreiche axiomatische Systeme im logischen Sinne möglich, jedoch sind diese nicht alle in gleicher Weise interessant oder wichtig |
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