Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler: mit Rechenbeispielen und einer ausführlichen Integraltafel
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Braunschweig [u.a.]
Vieweg
2003
|
| Ausgabe: | 8., durchges. und erg. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler / Lothar Papula
[6] Viewegs Fachbücher der Technik |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XXX, 498 S. zahlr. graph. Darst. |
| ISBN: | 3528744421 |
Internformat
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| adam_text | Titel: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler
Autor: Papula, Lothar
Jahr: 2003
VII
Inhaltsverzeichnis
I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie....... 1
1 Grundlegende Begriffe uber Mengen.................................... 1
1.1 Definition und Darstellung einer Menge............................. 1
1.2 Mengenoperationen............................................. 2
2 Rechnen mit reellen Zahlen............................................ 2
2.1 Reelle Zahlen und ihre Eigenschaften..............................................................2
2.1.1 Natiirliche und ganze Zahlen.............................. 2
2.1.2 Rationale, irrationale und reelle Zahlen...................... 4
2.1.3 Rundungsregeln fur reelle Zahlen.......................... 5
2.1.4 Darstellung der reellen Zahlen auf der Zahlengerade......................5
2.1.5 Grundrechenarten..............................................................................6
2.2 Zahlensysteme..................................................................................................7
2.3 Intervalle...................................................... 8
2.4 Bruchrechnung..................................................................................................8
2.5 Potenzen und Wurzeln......................................................................................10
^2:6-Logarithmen......................................................................................................12
2.7 Binomischer Lehrsatz........................................................................................14
3 Elementarc (endliche) Reihen......................................................................................16
3.1 Definition einer Reihe......................................................................................16
3.2 Arithmetische Reihen........................................................................................16
3.3 Geometrische Reihen........................................................................................16
3.4 Spezielle Zahlenreihen......................................................................................16
4 Gleichungen mit einer Unbekannten..........................................................................17
4.1 Algebraische Gleichungen n-ten Grades..........................................................17
4.1.1 Allgemeine Vorbetrachtungen............................................................17
4.1.2 Lineare Gleichungen..........................................................................18
4.1.3 Quadratische Gleichungen................................................................18
4.1.4 Kubische Gleichungen......................................................................19
4.1.5 Bi-quadratische Gleichungen............................................................20
4.2 Allgemeine Losungshinweise fur Gleichungen................................................21
4.3 Graphisches Losungsverfahren..........................................................................22
4.4 Regula falsi........................................................................................................23
4.5 Tangentenverfahren von Newton......................................................................24
5 Ungleichungen mit einer Unbekannten......................................................................25
VIII
Inhaltsverzeichnis
6 Lehrsatze aus der elementareu Geometrie.................
6.1 Satz des Pythagoras..............................
6.2 Hohensatz......................................
6.3 Kathetensatz (Euklid).............................
6.4 Satz des Thales..................................
6.5 Strahlensiitze....................................
6.6 Sinussatz.......................................
6.7 Kosinussatz.....................................
7 Ebene geometrische Korper (Planimetrie).................
7.1 Dreiecke.......................................
7.1.1 Allgemeine Beziehungen..................
7.1.2 Spezielle Dreiecke........................
7.1.2.1 Rechtwinkliges Dreieck............
7.1.2.2 Gleichschenkliges Dreieck.........
7.1.2.3 Gleichseitiges Dreieck.............
7.2 Quadrat........................................
7.3 Rechteck.......................................
7.4 Parallelogramm..................................
7.5 Rhombus oder Raute.............................
7.6 Trapez.........................................
7.7 Regulares n-Eck.................................
7.8 Kreis..........................................
7.9 Kreissektor oder Kreisausschnitt....................
7.10 Kreissegment oder Kreisabschnitt...................
7.11 Kreisring.......................................
7.12 Ellipse.........................................
8 Raumliche geometrische Korper (Stereometrie)............
8.1 Prisma.........................................
8.2 Wtirfel.........................................
8.3 Quader........................................
8.4 Pyramide.......................................
8.5 Pyramidenstumpf................................
8.6 Tetraeder oder dreiseitige Pyramide..................
8.7 Keil...........................................
8.8 Gerader Kreiszylinder.............................
8.9 Gerader Kreiskegel...............................
8.10 Gerader Kreiskegelstumpf...............
8.11 Kugel.....................................
8.12 Kugelausschnitt oder Kugelsektor...................
8.13 Kugelschicht oder Kugelzone......................
8.14 Kugelabschnitt, Kugelsegment, Kugelkappe oder Kalotte
8.15 Ellipsoid..............................
8.16 Rotationsparaboloid..............................
8.17 Tonne oder FaB...............................
8.18 Torus................................
8.19 Guldinsche Regeln fur Rotationskorper...............
26
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40
Inhaltsverzeichnis
IX
9 Koordinatensysteme....................................................................................................41
9.1 Ebene Koordinatensysteme................................................................................41
9.1.1 Rechtwinklige oder kartesische Koordinaten....................................41
9.1.2 Polarkoordinaten................................................................................42
9.1.3 Koordinatentransformationen............................................................42
9.1.3.1 Parallelverschiebung eines kartesischen
Koordinatensystems............................................................42
9.1.3.2 Zusammenhang zwischen den kartesischen und
den Polarkoordinaten..........................................................42
9.1.3.3 Drehung eines kartesischen Koordinatensystems..............43
9.2 Raumliche Koordinatensysteme........................................................................44
9.2.1 Rechtwinklige oder kartesische Koordinaten....................................44
9.2.2 Zylinderkoordinaten..........................................................................44
9.2.3 Zusammenhang zwischen den kartesischen und
den Zylinderkoordinaten....................................................................44
9.2.4 Kugelkoordinaten..............................................................................45
9.2.5 Zusammenhang zwischen den kartesischen und
den Kugelkoordinaten........................................................................45
II Vektorrechnung........................................................................................................46
1 Grundbegriffe..............................................................................................................46
1.1 Vektoren und Skalare........................................................................................46
1.2 Spezielle Vektoren............................................................................................46
1.3 Gleichheit von Vektoren....................................................................................47
1.4 Kollineare, parallele und anti-parallele Vektoren, inverser Vektor..................47
2 Komponentendarstellung eines Vektors....................................................................48
2.1 Komponentendarstellung in einem kartesischen Koordinatensystem..............48
2.2 Komponentendarstellung spezieller Vektoren..................................................48
2.3 Betrag und Richtungswinkel eines Vektors......................................................49
3 Vektoroperationen........................................................................................................50
3.1 Addition und Subtraktion von Vektoren..........................................................50
3.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar................................................51
3.3 Skalarprodukt (inneres Produkt)........................................................................51
3.4 Vektorprodukt (auBeres Produkt, Kreuzprodukt)..............................................53
3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt)....................................................................55
3.6 Formeln fiir Mehrfachprodukte........................................................................56
4 Anwendungen................................................................................................................56
4.1 Arbeit einer konstanten Kraft............................................................................56
4.2 Vektorielle Darstellung einer Geraden..............................................................57
4.2.1 Punkt-Richtungs-Form......................................................................57
4.2.2 Zwei-Punkte-Form............................................................................57
4.2.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden........................................58
X
Inhaltsverzeichnis
4.2.4 Abstand zweier paralleler Geraden....................................................58
4.2.5 Abstand zweier windschiefer Geraden..............................................59
4.2.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden..............................60
4.3 Vektorielle Darstellung einer Ebene.................................
4.3.1 Punkt-Richtungs-Form......................................................................60
4.3.2 Drei-Punkte-Form..................................................61
4.3.3 Ebene senkrecht zu einem Vektor....................................................62
4.3.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene..........................................62
4.3.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene..........................................63
4.3.6 Abstand zweier paralleler Ebenen....................................................64
4.3.7 Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene. .. 65
4.3.8 Schnittwinkel zweier Ebenen............................................................66
III Funktionen und Kurven......................................................................................67
1 Grundbegriffe..............................................................................................................67
1.1 Definition einer Funktion................................................................................67
1.2 Darstellungsformcn einer Funktion................................................................67
1.2.1 Analytische Darstellung....................................................................67
1.2.2 Parameterdarstellung..........................................................................67
1.2.3 Kurvengleichung in Polarkoordinaten..............................................68
1.2.4 Graphische Darstellung......................................................................68
2 Allgemeine Funktionscigenschaften............................................................................68
2.1 Nullstellen..........................................................................................................68
2.2 Symmetric..........................................................................................................69
2.3 Monotonie..........................................-=....................69
2.4 Periodizitat........................................................................................................70
2.5 Umkehrfunktion (inverse Funktion)..................................................................70
3 Grenzwert und Stetigkcit einer Funktion..................................................................71
3.1 Grenzwert einer Folge......................................................................................71
3.2 Grenzwert einer Funktion..................................................................................72
3.2.1 Grenzwert fur .t —* Xo......................................................................72
3.2.2 Grenzwert fur x — ± oo................................................................72
3.3 Rechenregeln fur Grenzwerte............................................................................72
3.4 Grenzwertregel von Bernoulli und de FHospital..............................................73
3.5 Stetigkeit einer Funktion..................................................................................74
4 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)......................................................75
4.1 Definition der ganzrationalen Funktionen........................................................75
4.2 Lineare Funktionen (Geraden)..................................................................75
4.2.1 Allgemeine Geradengleichung............................. 75
4.2.2 Hauptfonn einer Geraden..................................................................75
4.2.3 Punkt-Steigungs-Form einer Geraden........................ 75
4.2.4 Zwei-Punkte-Form einer Geraden..................................................76
Inhaltsverzeichnis XI
4.2.5 Achsenabschnittsform einer Geraden................................................76
4.2.6 Hessesche Normalform einer Geraden..............................................76
4.2.7 Abstand eine Punktes von einer Geraden..........................................76
4.2.8 Schnittwinkel zweier Geraden..........................................................77
4.3 Quadratische Funktionen (Parabeln)................................................................77
4.3.1 Hauptform einer Parabel....................................................................77
4.3.2 Produktform einer Parabel................................................................78
4.3.3 Scheitelpunktsform einer Parabel......................................................78
4.4 Polynomfunktionen hoheren Grades {n-ten Grades)........................................78
4.4.1 Abspaltung eines Linearfaktors........................................................78
4.4.2 Nullstellen einer Polynomfunktion....................................................78
4.4.3 Produktdarstellung einer Polynomfunktion......................................78
4.5 Horner-Schema..................................................................................................79
4.6 Reduzierung einer Polynomfunktion (Nullstellenberechnung)........................80
4.7 Interpolationspolynome....................................................................................81
4.7.1 Allgemeine Vorbetrachtungen............................................................81
4.7.2 Interpolationsformel von Lagrange....................................................81
4.7.3 Interpolationsformel von Newton......................................................83
5 Gebrochenrationale Funktionen................................................................................85
5.1 Definition der gebrochenrationalen Funktionen................................................85
5.2 Nullstellen, Definitionslucken, Pole..................................................................86
5.3 Asymptotisches Verhalten im Unendlichen......................................................87
6 Potenz- und Wurzelfunktionen..................................................................................87
6.1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten..............................................87
6.2 Wurzelfunktionen..............................................................................................89
6.3 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten..................................................89
7 Trigonometrische Funktionen....................................................................................90
7.1 WinkelmaBe......................................................................................................90
7.2 Definition der trigonometrischen Funktionen..................................................91
7.3 * Sinus-und Kosinusfunktion..............................................................................92
7.4 Tangens- und Kotangensfunktion......................................................................93
7.5 Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen..............93
7.6 Trigonometrische Formeln................................................................................94
7.6.1 Additionstheoreme............................................................................94
7.6.2 Formeln fur halbe Winkel..................................................................95
7.6.3 Formeln fur Winkelvielfache............................................................95
7.6.4 Formeln fur Potenzen........................................................................96
7.6.5 Formeln fur Summen und Differenzen..............................................96
7.6.6 Formeln ftir Produkte........................................................................97
7.7 Anwendungen in der Schwingungslehre..........................................................97
7.7.1 Allgemeine Sinus-und Kosinusfunktion..........................................97
7.7.2 Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen)..........................98
7.7.2.1 Gleichung einer harmonischen Schwingung......................98
7.7.2.2 Darstellung einer harmonischen Schwingung
im Zeigerdiagramm............................................................98
Inhaltsverzeichnis
7.7.3 Superposition (Uberlagerung) gleichfrequenter
harmonischer Schwingungen.............................. 99
8 Arkusfunktionen..................................................... 100
8.1 Arkussinus-und Arkuskosinusfunktion.............................. 100
8.2 Arkusstangens- und Arkuskotangensfunktion.........................101
8.3 Wichtige Beziehungen zwischen den Arkusfunktionen................. 102
9 Exponentialfunktionen ................................................ 103
9.1 Definition der Exponentialfunktionen.............................. 103
9.2 Spezielle Exponentialfunktionen aus den Anwendungen................ 104
9.2.1 Abklingfunktion..............................................................................104
9.2.2 Siittigungsfunktion ........................................................................104
9.2.3 GauB-Funktion (GauBsche Glockenkurve)........................................105
9.2.4 Kettenlinie..........................................................................................105
10 Logarithmusfunktionen................................................ 106
10.1 Definition der Logarithmusfunktionen............................... 106
10.2 Spezielle Logarithmusfunktionen................................... 106
11 Hyperbelfunktionen................................................ 107
11.1 Definition der Hyperbelfunktionen ................................ 107
11.2 Wichtige Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen............... 108
11.3 Formeln....................................................... 109
11.3.1 Additionstheoreme............................................................................109
11.3.2 Formeln fur halbe Argumente..........................................................109
11.3.3 Formeln fur Vielfache des Arguments....................... 110
11.3.4 Formeln fur Potenzen........................................................................110
11.3.5 Formeln fur Summen und Differenzen....................... Ill
11.3.6 Fonneln fiir Produkte.................................... Ill
11.3.7 Formel von Moivre...................................... Ill
12 Areafunktionen...................................................... 112
12.1 Definition der Areafunktionen..................................... 112
12.2 Wichtige Beziehungen zwischen den Areafunktionen................... 113
13 Kcgelschnitte........................................................ 114
13.1 Allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes.......................... 114
13.2 Kreis......................................................... H4
13.2.1 Geometrische Definition....................................................................115
13.2.2 Mittelpunktsgleichung eines Kreises (Ursprungsgleichung)............115
13.2.3 Kreis in allgemeiner Lage (Hauptform)............................................115
13.2.4 Gleichung eines Kreises in Polarkoordinaten....................................115
13.2.5 Parameterdarstellung eines Kreises....................................................115
Inhaltsverzeichnis
XIII
13.3 Ellipse................................................................................................................116
13.3.1 Geometrische Definition....................................................................116
13.3.2 Mittelpunktsgleichung einer Ellipse (Ursprungsgleichung).......116
13.3.3 Ellipse in allgemeiner Lage (Hauptform)..........................................116
13.3.4 Gleichung einer Ellipse in Polarkoordinaten....................................117
13.3.5 Parameterdarstellung einer Ellipse....................................................117
13.4 Hyperbel............................................;..................118
13.4.1 Geometrische Definition....................................................................118
13.4.2 Mittelpunktsgleichung einer Hyperbel (Ursprungsgleichung)..........118
13.4.3 Hyperbel in allgemeiner Lage (Hauptform)......................................118
13.4.4 Gleichung einer Hyperbel in Polarkoordinaten................................119
13.4.5 Parameterdarstellung einer Hyperbel................................................120
13.4.6 Gleichung einer um 90° gedrehten Hyperbel....................................120
13.4.7 Gleichung einer gleichseitigen oder rechtwinkligen Hyperbel
(a = b)..............................................................................................120
13.5 Parabel..............................................................................................................121
13.5.1 Geometrische Definition....................................................................121
13.5.2 Scheitelgleichung einer Parabel........................................................121
13.5.3 Parabel in allgemeiner Lage (Hauptform)........................................121
13.5.4 Gleichung einer Parabel in Polarkoordinaten....................................122
13.5.5 Parameterdarstellung einer Parabel....................................................122
14 Spezielle Kurven..........................................................................................................123
14.1 Gewohnliche Zykloide (Rollkurve)..................................................................123
14.2 Epizykloide........................................................................................................123
14.3 Hypozykloide....................................................................................................124
14.4 Astroide (Sternkurve)........................................................................................125
14.5 Kardioide (Herzkurve)......................................................................................125
14.6 Lemniskate (Schleifenkurve)............................................................................126
14.7 Strophoide..........................................................................................................126
14.8 Cartesisches Blatt..............................................................................................127
14.9 „Kleeblatt mit n bzw. 2n Blattern..............................................................127
14.10 Spiralen..............................................................................................................128
14.10.1 Archimedische Spirale......................................................................128
14.10.2 Logarithmische Spirale......................................................................128
IV Differentialrechnung..............................................................................................129
1 Differenzierbarkeit einer Funktion............................................................................129
J.1 Differenzenquotient..........................................................................................129
1.2 Differentialquotient oder 1. Ableitung..............................................................129
1.3 Ableitungsfunktion............................................................................................129
1.4 Hohere Ableitungen..........................................................................................130
1.5 Differential einer Funktion................................................................................130
2 Erste Ableitung der elementaren Funktionen (Tabelle)..........................................131
*
Irihaltsverzeichnis
1 3?
3 Ableitungsregeln.....................................................
3.1 Faktorregel....................................................
3.2 Summenregel.................................................................................................... ^2
3.3 Produktregel...................................................
3.4 Quotientenregel..................................................................................................133
3.5 Kettenregel........................................................................................................133
3.6 Logarithmische Differentiation..........................................................................134
3.7 Ableitung der Umkehrfunktion........................................................................134
3.8 Implizite Differentiation.................................................................................... 35
3.9 Ableitungen einer in tier Parameterform dargestellten Funktion (Kurve).... 135
3.10 Ableitungen einer in Polarkoordination dargestellten Kurve............................136
4 Anwendungen der Differentialrechnung.................................. 136
4.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung einer geradlinigen Bewegung..............136
4.2 Tangente und Normale......................................................................................137
4.3 Linearisierung einer Funktion..........................................................................137
4.4 Charaktcristische Kurvenpunkte........................................................................138
4.4.1 Geometrische Deutung der 1. und 2. Ableitung..............................138
4.4.2 Kriimmung einer ebenen Kurve............................ 139
4.4.3 Relative Extremwerte (Maxima, Minima).................... 140
4.4.4 Wendepunkte, Sattelpunkte............................... 142
V Integralrechnung.................................................. 143
1 Bcstimmtes Integral................................................... 143
1.1 Definition eines bestimmten Integrals............................... 143
1.2 Berechnung eines bestimmten Integrals.............................. 144
1.3 Elementare Integrationsregeln fur bestimmte Integrale.................. 145
2 Unhestimmtes Integral................................................ 146
2.1 Definition eines unbestimmten Integrals............................. 146
2.2 Allgemeine Eigenschaften der unbestimmten Integrale.................. 146
2.3 Tabelle der Grund-oder Stammintegrale............................. 148
3 Integrationsmcthoden................................................. 149
3.1 Integration durch Substitution..........................................................................149
3.1.1. Allgemeines Verfahren......................................................................149
3.1.2 Spezielle Integralsubstitutionen (Tabelle)..........................................150
3.2 Partielle Integration (Produktionsintegration)..................................................152
3.3 Integration einer gebrochenrationalen Funktion durch Partialbruchzerlegung
des Integranden..................................................................................................153
3.3.1 Partialbruchzerlegung........................................................................153
3.3.2 Integration der Partialbriiche............................... 156
3.4 Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden..........................157
3.5 Numerische Integration......................................................................157
3.5.1 Trapezformel........................................................................157
3.5.2 Simpsonsche Formel............................
3.5.3 Romberg-Verfahren....................................................j6q
Inhaltsverzeichnis XV
4 Uneigentliche Integrate................................................................................................163
4.1 Unendliches Integrationsintervall......................................................................163
4.2 Integrand mit Pol..............................................................................................163
5 Anwendungen der Integralrechnung..........................................................................164
5.1 Integration der Bewegungsgleichung................................................................164
5.2 Arbeit einer ortsabhiingigen Kraft (Arbeitsintegral)........................................164
5.3 Lineare und quadratische Mittelwerte einer Funktion......................................165
5.3.1 Linearer Mittelwert............................................................................165
5.3.2 Quadratischer Mittelwert....................................................................165
5.3.3 Zeitliche Mittelwerte einer periodischen Funktion............................165
5.4 Flacheninhalt......................................................................................................165
5.5 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fliiche................................................167
5.6 Flachentnigheitsmomente (Flachenmomente 2. Grades)..................................168
5.7 Bogenliinge einer ebenen Kurve........................................................168
5.8 Volumen eines Rotationskorpers (Rotationsvolumen)......................................169
5.9 Mantelfliiche eines Rotationskorpers (Rotationsflache)....................................170
5.10 Schwerpunkt eines homogenen Rotationskorpers............................................171
5.11 Massentragheitsmoment eines homogenen Korpers........................................172
VI Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen..........................................174
1 Unendliche Reihen........................................................................................................174
1.1 Grundbegriffe....................................................................................................174
1.1.1 Definition einer unendlichen Reihe..................................................174
1.1.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe......................174
1.2 Konvergenzkriterien..........................................................................................175
1.2.1 Quotientenkriterium..........................................................................175
1.2.2 Wurzelkriterium...............................................................176
1.2.3 Leibnizsches Konvergenzkriterium fur alternierende Reihen............176
1.3 Spezielle konvergente Reihen............................................................................176
2 Potenzreihen..................................................................................................................177
2.1 Definition einer Potenzreihe..............................................................................177
2.2 Konvergenzradius und Konvergenzbereich einer Potenzreihe..........................178
2.3 Wichtige Eigenschaften der Potenzreihen........................................................178
3 Taylor-Reihen................................................................................................................179
3.1 Taylorsche und Mac Laurinsche Formel..........................................................179
3.1.1 Taylorsche Formel..............................................................................179
3.1.2 Mac Laurinsche Formel....................................................................179
3.2 Taylorsche Reihe..............................................................................................180
3.3 Mac Laurinsche Reihe......................................................................................180
3.4 Spezielle Potenzreihenentwicklungen (Tabelle)................................................181
3.5 Naherungspolynome einer Funktion (mit Tabelle)..........................................183
Inhaltsverzeichnis
4 Fourier-Reihen.......................................................
4.1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion......................................................185
4.2 Fourier-Zerlegung einer nichtsinusformigen Schwingung ............... 187
4.3 Spezielle Fourier-Reihen (Tabelle).................................. 188
VII Lineare Algebra.................................................. 191
1 Reelle Matrizen...................................................... I9
1.1 Grundbegriffe.................................................. 191
1.1.1 Definition einer reellen Matrix..........................................................191
1.1.2 Spezielle Matrizen..............................................................................192
1.1.3 Gleichheit von Matrizen....................................................................192
1.2 Spezielle quadratische Matrizen........................................................................192
1.2.1 Diagonalmatrix......................................... 193
1.2.2 Einheitsmatrix.......................................... 193
1.2.3 Dreiecksmatrix......................................... 193
1.2.4 Symmetrische Matrix.................................... 193
1.2.5 Schiefsymmetrische Matrix................................ 193
1.2.6 Orthogonale Matrix...................................... 194
1.3 Rechenoperationen fur Matrizen................................... 194
1.3.1 Addition und Subtraktion von Matrizen............................................194
1.3.2 Multiplikation einer Matrix mil einem Skalar..................................194
1.3.3 Multiplikation von Matrizen..............................................................195
1.4 Regulare Matrix................................................................................................196
1.5 Inverse Matrix....................................................................................................196
1.5.1 Definition einer inversen Matrix............................ 196
1.5.2 Berechnung einer inversen Matrix.......................... 197
1.5.2.1 Berechnung der inversen Matrix
unter Verwendung von Unterdeterminanten......................197
1.5.2.2 Berechnung der inversen Matrix A~ nach dem
GauBschen Algorithmus (GauB-Jordan-Verfahren)......197
1.6 Rang einer Matrix..............................................................................................198
1.6.1 Definitionen............................................ 198
1.6.1.1 Unterdeterminanten einer Matrix......................................198
1.6.1.2 Rang einer Matrix..............................................................198
1.6.1.3 Elementare Umformungen einer Matrix............................198
1.6.2 Rangbestimmung einer Matrix..........................................................199
1.6.2.1 Rangbestimmung einer (w, w)-Matrix A
unter Verwendung von Unterdeterminanten........... 199
1.6.2.2 Rangbestimmung einer (w, n)-Matrix A
mit Hilfe elementarer Umformungen................199
2 Determinanten....................................................200
2.1 Zweireihige Determinanten.......................................200
2.2 Dreireihige Determinanten.......................................201
2.3 Determinanten hoherer Ordnung......................................................202
2.3.1 Unterdeterminate Dik..........................................................202
2.3.2 Algebraisches Komplement (Adjunkte) Aik...................202
2.3.3 Definition einer n-reihigen Determinante...................202
Inhaltsverzeichnis XVII
2.4 Laplacescher Entwicklungssatz....................................203
2.5 Rechenregeln fur n-reihige Determinanten...........................203
2.6 Regeln zur praktischen Berechnung einer rc-reihigen Determinante........205
2.6.1 Elementare Umformungen einer n-reihigen Determinante........205
2.6.2 Reduzierung und Berechnung einer «-reihigen Determinante.....205
3 Lineare Gleichungssysteme.............................................206
3.1 Grundbegriffe..................................................206
3.1.1 Definition eines linearen Gleichungssystems..................206
3.1.2 Spezielle lineare Gleichungssysteme........................206
3.2 Losungsverhalten eines linearen (m, rt)-Gleichungssystems..............207
3.2.1 Kriterium fiir die Losbarkeit eines linearen (m, n)-Systems
Ax = c................................................207
3.2.2 Losungsmenge eines linearen (m, n)-Systems Ax = c..........207
3.3 Losungsverhalten eines quadratischen linearen Gleichungssystems........208
3.4 Losungsverfahren fur ein lineares Gleichungssystem nach GauG
(GauBscher Algorithmus).........................................209
3.4.1 Aquivalente Umformungen eines linearen (m,n)-Systems.......209
3.4.2 GauBscher Algorithmus..................................209
3.5 Cramersche Regel...............................................212
3.6 Lineare Unabhiingigkeit von Vektoren...............................212
4 Komplexe Matrizen...................................................213
4.1 Definition einer komplexen Matrix.................................213
4.2 Rechenoperationen und Rechenregeln fiir komplexe Matrizen............214
4.3 Konjugiert komplexe Matrix......................................214
4.4 Konjugiert transponierte Matrix....................................215
4.5 Spezielle komplexe Matrizen......................................215
4.5.1 Hermitesche Matrix......................................215
4.5.2 Schiefthermitesche Matrix................................215
4.5.3 Unitare Matrix..........................................216
5 Eigenwertprobleme...................................................216
5.1 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix..............216
5.2 Eigenwerte und Eigenvektoren spezieller n-reihiger Matrizen............218
VIII Komplexe Zahlen und Funktionen................................219
1 Darstellungsformen einer komplexen Zahl................................219
1.1 Algebraische oder kartesische Form................................219
1.2 Polarformen...................................................220
1.2.1 Trigonometrische Form...................................220
1.2.2 Exponentialform........................................220
1.3 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen.....................221
1.3.1 Polarform —? Kartesische Form...........................221
1.3.2 Kartesische Form —» Polarform...........................221
Inhaltsverzeichnis
2 Grundrcchenarten fiir komplexe Zahlen.................................222
2.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen..........................222
2.2 Multiplikation komplexer Zahlen...................................222
2.3 Division komplexer Zahlen.......................................223
974.
3 Potenzieren..........................................................^
4 Radizieren (Wurzelziehen)........... .................................225
5 Naturlicher Logarithmus einer komplexen Zahl...........................226
6 Ortskurven..........................................................222
6.1 Komplexwertige Funktion einer reellen Variablen.....................227
6.2 Ortskurve einer parameterabhangigen komplexen Zahl.................227
6.3 Inversion einer Ortskurve.........................................228
7 Komplexe Funktionen.................................................229
7.1 Definition einer komplexen Funktion...............................229
7.2 Definilionsgleichungen einiger elementarer Funktionen.................229
7.2.1 Trigonometrische Funktionen..............................229
7.2.2 Hyperbelfunktionen......................................229
7.2.3 Exponentialfunktion (e-Funktion)...........................230
7.3 Wichtige Beziehungen und Formeln................................230
7.3.1 Eulersche Formeln......................................230
7.3.2 Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Funktionen
und dcr komplexen e-Funktion.............................230
7.3.3 Trigonometrische und Hyperbelfunktionen mit imaginarem
Argument..............................................230
7.3.4 Additionstheoreme der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen
fiir komplexes Argument.................................230
7.3.5 Arkus- und Areafunktionen mit imaginarem Argument.........231
8 Anwendungen in der Schvvingungslehre..................................231
8.1 Darstellung einer harmonischen Schwingung durch einen rotierenden
komplexen Zeiger...............................................231
8.2 Ungestorte Uberlagerung gleichfrequenter harmonischer Schwingungen
(„Superpositionsprinzip ).........................................232
IX Differential- und Integralrechnung fur Funktionen
von mehreren Variablen ...........................................234
I Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung..................234
1.1 Definition einer Funktion von mehreren Variablen.....................234
1.2 Darstellungsformen einer Funktion von zwei Variablen.................234
1.2.1 Analytische Darstellung..................................234
1.2.2 Graphische Darstellung...................................235
1.2.2.1 Darstellung einer Funktion als Flache im Raum.......235
1.2.2.2 Schnittkurvendiagramme..........................235
1.2.2.3 Hohenliniendiagramm....................... 235
Inhaltsverzeichnis
XIX
1.3 Spezielle Flachen (Funktionen)....................................236
1.3.1 Ebenen................................................236
1.3.2 Rotationsflachen........................................236
1.3.2.1 Gleichung einer Rotationsfliiche...................236
1.3.2.2 Spezielle Rotationsflachen.........................237
2 Partielle Differentiation................................................238
2.1 Partielle Ableitungen 1. Ordnung..................................238
2.1.1 Partielle Ableitungen 1. Ordnung von z = /(*; y)............238
2.1.2 Partielle Ableitungen 1. Ordnung von y — f(xj; X2 ... x„) .... 239
2.2 Partielle Ableitungen hoherer Ordnung..............................240
2.3 Totales oder vollstandiges Differential einer Funktion..................241
2.4 Anwendungen..................................................243
2.4.1 Linearisierung einer Funktion..............................243
2.4.2 Relative Extremwerte (Maxima, Minima)....................244
3 Mehrfachintegrale....................................................246
3.1 Doppelintegrale.................................................246
3.1.1 Definition eines Doppelintegrals............................246
3.1.2 Berechnung eines Doppelintegrals in kartesischen Koordinaten ... 247
3.1.3 Berechnung eines Doppelintegrals in Polarkoordinaten..........249
3.1.4 Anwendungen..........................................249
3.1.4.1 Flacheninhalt..................................249
3.1.4.2 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Flache.........250
3.1.4.3 Flachentragheitsmomente (Flachenmomente 2. Grades) 251
3.2 Dreifachintegrale................................................252
3.2.1 Definition eines Dreichfachintegrals.........................252
3.2.2 Berechnung eines Dreichfachintegrals in kartesischen
Koordinaten............................................253
3.2.3 Berechnung eines Dreifachintegrals in Zylinderkoordinaten......255
3.2.4 Berechnung eines Dreifachintegrals in Kugelkoordinaten........255
3.2.5 Anwendungen..........................................256
3.2.5.1 Volumen eines zylindrischen Korpers................256
3.2.5.2 Schwerpunkt eines homogenen Korpers..............256
3.2.5.3 Massentragheitsmoment eines homogenen Korpers.....257
^^pewohnliche Differentialgleichungen ................................259
1 Grundbegriffe.......................................................259
1.1 Definition einer gewohnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung.......259
1.2 Losungen einer Differentialgleichung...............................259
1.3 Anfangswertprobleme............................................259
1.4 Randwertprobleme..............................................260
2J Differentialgleichungen 1. Ordnung.....................................260
J 2.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung mit trennbaren Variablen............260
2.2 Spezielle Differentialgleichungen 1. Ordnung, die durch Substitutionen
losbar sind (Tabelle).............................................261
XX
Inhaltsverzeichnis
2.3 Exakte Differentialgleichungen 1. Ordnung..........................262
2.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung..........................263
2.4.1 Definition einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung......263
2.4.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung.......263
2.4.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung......263
2.4.3.1 Integration durch Variation der Konstanten...........263
2.4.3.2 Integration durch Aufsuchen einer partikularen Losung 264
2.4.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung
mit konstanten Koeffizienten..............................264
2.5 Numerische Integration einer Differentialgleichung 1. Ordnung..........266
2.5.1 Streckenzugverfahren von Euler............................266
2.5.2 Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung.........................268
^ 2.5.3 Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung.........................269
3 /Differentialgleichungen 2. Ordnung.....................................272
3.1 Spezielle Differentialgleichungen 2. Ordnung, die sich auf
Differentialgleichungen 1. Ordnung zuruckfiihren lassen................272
3.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . 273
3.2.1 Definition einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung
mit konstanten Koeffizienten..............................273
3.2.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung.......273
3.2.2.1 Wronski-Determinante............................273
3.2.2.2 Allgemeine Losung der homogenen Differential-
gleichung ......................................273
3.2.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung......274
3.3 Numerische Integration einer Differentialgleichung 2. Ordnung..........277
4 Amvendungen.......................................................280
4.1 Mechanische Schwingungen......................................280
4.1.1 Allgemeine Schwingungsgleichung der Mechanik.............280
4.1.2 Freie ungedampfte Schwingung............................280
4.1.3 Freie gediimpfte Schwingung..............................281
4.1.3.1 Schwache Dampfung (Schwingungsfall).............281
4.1.3.2 Aperiodischer Grenzfall...........................282
4.1.3.3 Aperiodische Schwingung (Kriechfall)...............282
4.1.4 Erzwungene Schwingung.................................283
4.1.4.1 Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung... . 283
4.1.4.2 Stationare Losung...............................283
4.2 Elektromagnetische Schwingungen in einem Reihenschwingkreis.........284
5 Lineare Differentialgleichungen /i-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten .. 285
5.1 Definition einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten..............................................285
5.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung..............285
5.2.1 Wronski-Determinante..................................................285
5.2.2 Allgemeine Losung der homogenen linearen Differentialgleichung 286
5—3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung......287
Inhaltsverzeichnis XXI
^6/Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten.........................................................288
6.1 Grundbegriffe..................................................288
6.2 Integration des homogenen linearen Systems.........................289
6.3 Integration des inhomogenen linearen Systems........................290
6.3.1 Integration durch Aufsuchen einer partikularen Losung.........290
6.3.2 Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren.....................290
XI Fehler- und Ausgleichsrechnung....................................292
1 GauBsche Normalverteilung............................................292
2 Auswertung einer MeBreihe............................................293
3 GauBsches Fehlerfortpnanzungsgesetz...................................296
3.1 GauBsches Fehlerfortpflanzungsgesetz fiir eine Funktion
von zwei unabhangigen Variablen..................................296
3.2 GauBsches Fehlerfortpflanzungsgesetz fur eine Funktion
von n unabhangigen Variablen....................................298
4 Lineares Fehlerfortpflanzungsgesetz.....................................298
5 Ausgleichskurven.....................................................300
5.1 Ausgleichung nach dem GauBschen Prinzip der kleinsten Quadrate.......300
5.2 Ausgleichs- oder Regressionsgerade................................301
5.3 Ausgleichs-oder Regressionsparabel................................303
XI^ Laplace-Transformationen.........................................304
1 Grundbegriffe.......................................................304
2 Allgemeine Eigenschaften der Laplace-Transformation.....................305
2.1 Linearitat (Satz liber Linearkombinationen)...........................305
2.2 Ahnlichkeitssatz................................................306
2.3 Verschiebungssatze..............................................306
2.4 Dampfungssatz.................................................308
2.5 Ableitungssiitze.................................................308
2.5.1 Ableitungssatz fiir die Originalfunktion......................308
2.5.2 Ableitungssatz fiir die Bildfunktion.........................309
2.6 Integralsiitze...................................................310
2.6.1 Integralsatz fiir die Originalfunktion........................310
2.6.2 Integralsatz fiir die Bildfunktion............................311
2.7 Faltungssatz...................................................311
2.8 Grenzwertsatze.................................................312
3 Laplace-Transformierte einer periodischen Funktion.......................313
4 Laplace-Transformierte spezieller Funktionen (Impulse)....................314
Inhaltsverzeichnis
5 Anwendung: Losung linearer Anfangswertprobleme.......................320
5.1 Allgemeines Losungsverfahren....................................32^
5.2 Litieare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . 321
5.3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten .. 322
6 Tabclle spezieller Laplace-Transformationen..............................323
XIII Vektoranalysis...................................................328
1 Ebenc und raumliche Kurven..........................................328
1.1 Vektorielle Darstellung einer Kurve.................................328
1.2 Differentiation eines Vektors nach einem Parameter....................329
1.2.1 Ableitung einer Vektorfunktion............................329
1.2.2 Tangentenvektor........................................329
1.2.3 Ableitungsregeln fur Summen und Produkte..................329
1.2.4 Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor
eines Massenpunktes.....................................330
1.3 Bogenliinge einer Kurve..........................................331
1.4 Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor einer Kurve...............331
1.5 Kriimmung einer Kurve..........................................332
2 Flachen im Raum....................................................334
2.1 Vektorielle Darstellung einer Flache................................334
2.2 Flachenkurven..................................................335
2.3 Flachennormale und Flachenelement................................335
2.4 Tangentialebene................................................336
2.4.1 Tangentialebene beim Flachentyp r = r(u v)...............336
2.4.2 Tangentialebene beim Flachentyp z = /(-*; )................337
2.4.3 Tangentialebene beim Flachentyp F(x; y; z) =0.............337
3 Skalar- und Vektorfelder..............................................338
3.1 Skalarfelder....................................................338
3.2 Vektorfelder...................................................338
4 Gradient eines Skalarfeldes............................................340
5 Divergenz und Rotation eines Vcktorfeldes...............................342
5.1 Divergenz eines Vektorfeldes......................................342
5.2 Rotation eines Vektorfeldes.......................................343
5.3 Spezielle Vektorfelder..........................................344
6 Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator
in spcziellcn Koordinatensystemen....................................................345
6.1 Darstellung in Polarkoordinaten................................................345
6.2 Darstellung in Zylinderkoordinaten..............................................34-7
6.3 Darstellung in Kugelkoordinaten...................... ^ .........35^
Inhaltsverzeichnis XXIII
7 Linien- oder Kurvenintegrale...........................................352
7.1 Linienintegral in der Ebene.......................................352
7.2 Linienintegral im Raum..........................................354
7.3 Wegunabhangigkeit eines Linien- oder Kurvenintegrals.................354
7.4 ^Conservative Vektorfelder........................................355
7.5 Arbeitsintegral (Arbeit eines Kraftfeldes)............................356
8 Oberflachenintegrale..................................................357
8.1 Definition eines Oberflachenintegrals...............................357
8.2 Berechnung eines Oberflachenintegrals..............................358
8.2.1 Berechnung eines Oberflachenintegrals in symmetriegerechten
Koordinaten............................................358
8.2.2 Berechnung eines Oberflachenintegrals unter Verwendung
von Flachenparametern...................................359
9 Integralsatze von GauB und Stokes......................................360
9.1 GauGscher Integralsatz...........................................360
9.2 Stokes scher Integralsatz..........................................361
XIV Wahrscheinlichkeitsrechnung.....................................363
1 Hilfsmittel aus der Kombinatorik.......................................363
1.1 Permutationen..................................................363
1.2 Kombinationen.................................................364
1.3 Variationen...................................................364
2 Grundbegriffe.......................................................365
3 Wahrscheinlichkeit...................................................367
3.1 Absolute und relative Haufigkeit...................................367
3.2 Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogoroff.........................368
3.3 Laplace-Experimente............................................368
3.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit......................................369
3.5 Multiplikationssatz..............................................369
3.6 Stochastisch unabhangige Ereignisse................................370
3.7 Mehrstufige Zufallsexperimente....................................370
4 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen.......................372
4.1 Zufallsvariable.................................................372
4.2 Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen............................373
4.3 Kennwerte oder MaGzahlen einer Verteilung..........................375
5 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.........................377
5.1 Binomialverteilung..............................................377
5.2 Hypergeometrische Verteilung.....................................379
5.3 Poisson-Verteilung..............................................381
5.4 Approximationen diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Tabelle)......382
XXIV
Inhaltsverzeichnis
6 Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen..........................38J
6.1 GauBsche Normalverteilung.......................................383
6.1.1 AUgemeine Normalverteilung..............................383
6.1.2 Standardnormalverteilung......................................384
6.1.3 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der tabellierten
Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.............385
6.1.4 Quantile der Standardnormalverteilung......................386
6.2 Exponentialverteilung............................................38^
7 YVahrscheinlichkeitsverteilungen von mehreren Zufallsvariablen.............388
7.1 Mehrdimensionale Zufallsvariable..................................388
7.2 Summen, Linearkombinationen und Produkte von Zufallsvariablen........390
7.2.1 Additionssatze fiir Mittelwerte und Varianzen.................390
7.2.2 Multiplikationssatz fiir Mittelwerte..........................391
7.2.3 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Summe..................391
8 Priif- und Testverteilungen.............................................392
8.1 Chi-Quadrat-Verteilung („Z2-Verteilung )...........................392
8.2 /-Verteilung von Student..........................................394
XV Grundlagen der mathematischen Statistik..........................396
1 Grundbcgriffe.......................................................396
1.1 Zufallsstichproben aus einer Grundgesamtheit........................396
1.2 Hiiufigkeitsverteilung einer Stichprobe..............................397
1.3 Gruppierung der Stichprobenwerte bei umfangreichen Stichproben........399
2 Kennwerte oder MaOzahlen einer Stichprobe.............................402
2.1 Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer Stichprobe...........402
2.2 Berechnung der Kennwerte unter Verwendung der Haufigkeitsfunktion .... 404
2.3 Berechnung der Kennwerte einer gruppierten Stichprobe................405
3 Statistische Schatzmethoden fur unbekannte Parameter
(„Parameterschatzungen ).............................................406
3.1 Aufgaben der Parameterschiitzung..................................406
3.2 Schiitzfunktionen und Schiitzwerte fiir unbekannte Parameter
(,.Punktschatzungen )............................................406
3.2.1 Schatz- und Stichprobenfunktionen.........................406
3.2.2 Schatzungen fiir den Mittelwert /i und die Varianz a2........407
3.2.3 Schatzungen fiir einen Anteilswert p
(Parameter p einer Binomialverteilung).....................408
3.2.4 Schatzwerte fiir die Parameter spezieller Wahrscheinlichkeits-
verteilungen..........................................................4Qg
3.3 Vertrauens- oder Konfidenzintervalle fiir unbekannte Parameter
Untervallschatzungen )..................................................dnQ
Inhaltsverzeichnis XXV
3.3.1 Vertrauens-oder Konfidenzintervalle........................409
3.3.2 Vertrauensintervalle fiir den unbekannten Mittelwert p
einer Normalverteilung bei bekannter Varianz a2.............410
3.3.3 Vertrauensintervalle fiir den unbekannten Mittelwert p
einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz o2...........411
3.3.4 Vertrauensintervalle fiir den unbekannten Mittelwert p
bei einer beliebigen Verteilung.............................412
3.3.5 Vertrauensintervalle fiir die unbekannte Varianz o2
einer Normalverteilung...................................413
3.3.6 Vertrauensintervalle fiir einen unbekannten Anteilswert p
(Parameter p einer Binomialverteilung).....................414
3.3.7 Musterbeispiel fiir die Bestimmung eines Vertrauensintervalls .... 415
4 Statistische Priifverfahren fiir unbekannte Parameter („Parametertests ).....416
4.1 Statistische Hypothesen und Parametertests..........................416
4.2 Spezielle Parametertests..........................................417
4.2.1 Test fiir den unbekannten Mittelwert p einer Normalverteilung
bei bekannter Varianz o2.................................417
4.2.2 Test fiir den unbekannten Mittelwert p einer Normalverteilung
bei unbekannter Varianz o2...............................419
4.2.3 Tests fiir die Gleichheit der unbekannten Mittelwerte p{ und p2
zweier Normalverteilungen („Differenzentests )...............420
4.2.3.1 Differenzentests fiir Mittelwerte bei abhangigen
Stichproben....................................421
4.2.3.2 Differenzentests fiir Mittelwerte bei unabhiingigen
Stichproben....................................422
4.2.4 Tests fiir die unbekannte Varianz o2 einer Normalverteilung.... 426
4.2.5 Tests fiir den unbekannten Anteilswert p
(Parameter p einer Binomialverteilung).....................428
4.2.6 Musterbeispiel fiir einen Parametertest ......................430
5 Chi-Quadrat-Test
431
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