Mathematik im ingenieurwissenschaftlichen Bachelorstudium:
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Aachen
Shaker
2014
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| Ausgabe: | 6., überarb. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Berichte aus der Mathematik
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| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Literaturangaben |
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|---|---|
| adam_text | INHALTSVERZEICHNIS
1 VORWORT 9
2 GRUNDLAGEN 13
2.1 NOTATIONEN, SYMBOLE UND KONSTANTEN 13
2.2 MENGEN UND ZAHLEN 14
2.3 RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN 17
2.3.1 POTENZREGELN 18
2.3.2 DIE BINOMISCHEN FORMELN 19
2.3.3 AQUIVALENZUMFORMUNGEN 19
2.4 RELATIONEN UND FUNKTIONEN 21
2.4.1 RELATIONEN 21
2.4.2 DARSTELLUNG ENDLICHER RELATIONEN 22
2.4.3 EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN 23
2.4.4 DIE UMKEHRABBILDUNG 26
2.4.5 VERKETTUNG VON FUNKTIONEN 27
2.5 ZAHLENFOLGEN 29
2.5.1 REKURSIONEN 30
2.5.2 DIFFERENZENREKURSION 33
2.5.3 ZUSAMMENFASSUNG 34
2.6 DIE SUMME / REIHE 35
2.6.1 RECHENREGELN FUER SUMMEN 36
2.6.2 WICHTIGE SUMMEN 37
2.6.3 RECHNEN MIT SUMMEN 40
2.7 BINOMIALKOEFFIZIENTEN UND DER BINOMISCHE LEHRSATZ 42
2.7.1 DER BINOMIALKOEFFIZIENT 42
2.7.2 DER BINOMISCHE LEHRSATZ 47
2.8 GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN 49
2.8.1 LINEARE GLEICHUNGEN 49
2.8.2 QUADRATISCHE GLEICHUNG 50
2.8.3 WURZELGLEICHUNGEN 52
2.8.4 UNGLEICHUNGEN 53
2.8.5 BETRAGSGLEICHUNGEN 54
2.9 MATRIZEN, DETERMINANTEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME .... 56
3
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INHALTSVERZEICHNIS
2.9.1 MATRIZEN 56
2.9.2 RECHNEN MIT MATRIZEN 58
2.9.3 DETERMINANTEN 61
2.9.4 INVERSE MATRIZEN 62
2.9.5 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND GAUSS-ALGORITHMUS .... 63
2.9.6 EIN DIREKTES VERFAHREN 63
2.9.7 DAS GAUSS-ELIMINATIONSVERFAHREN 65
2.10 FUNKTIONEN 74
2.10.1 DARSTELLUNG REELLER FUNKTIONEN 74
2.10.2 WEITERE EIGENSCHAFTEN REELLER FUNKTIONEN 75
2.10.3 POLYNOME 77
2.10.4 FAKTORISIERUNG VON POLYNOMEN 82
2.10.5 DAS HORNER-SCHEMA 84
2.10.6 INTERPOLATIONSPOLYNOME 85
2.10.7 GEBROCHEN RATIONALE FUNKTIONEN 90
2.11 WICHTIGE FUNKTIONEN UND IHRE UMKEHRFUNKTIONEN 91
2.11.1 UMKEHRFUNKTIONEN 91
2.11.2 DIE WURZELFUNKTION 93
2.11.3 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 94
2.11.4 DIE EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTION 109
2.11.5 DIE LOGARITHMUSFUNKTION 113
2.11.6 ALGEBRAISCHE FUNKTIONEN 117
2.12 FOLGEN, REIHEN UND GRENZWERTE 126
2.12.1 FOLGEN REELLER ZAHLEN 126
2.12.2 GRENZWERTE VON SUMMEN 128
2.12.3 GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 131
2.12.4 STETIGKEIT VON FUNKTIONEN 132
DIFFERENTIALRECHNUNG 135
3.1 MOTIVATION 135
3.2 VERALLGEMEINERUNG 139
3.3 DIE TANGENTENGLEICHUNG 144
3.4 ABLEITUNGSREGELN 145
3.4.1 FAKTORREGEL UND SUMMENREGEL 145
3.4.2 PRODUKTREGEL UND QUOTIENTENREGEL 146
3.4.3 KETTENREGEL UND DIE ABLEITUNG DER UMKEHRFUNKTION .... 147
3.4.4 HOEHERE ABLEITUNGEN 151
3.5 MITTELWERTSATZ UND KURVENDISKUSSION 152
3.5.1 MONOTONIEVERHALTEN 152
3.5.2 LOKALE UND ABSOLUTE EXTREMA 153
3.5.3 DER ZWISCHENWERTSATZ 157
3.5.4 DER MITTELWERTSATZ 159
3.5.5 KRUEMMUNGSVERHALTEN DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN .... 162
3.6 DIE GRENZWERTSAETZE VON L HOSPITAL 163
3.7 DIE KURVENDISKUSSION 166
3.8 ANWENDUNGSBEISPIELE 168
INHALTSVERZEICHNIS 5
3.9 POTENZREIHENENTWICKLUNG 172
3.9.1 POTENZREIHEN 172
3.9.2 KONVERGENZ VON POTENZREIHEN 174
3.9.3 DIE MACLAURIN-REIHE 175
3.9.4 DIE TAYLORREIHE 179
3.9.5 ANWENDUNG DER POTENZREIHEN 180
3.9.6 BEWEIS DER GRENZWERTSAETZE VON L HOSPITAL 181
3.9.7 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN TAYLORREIHEN UND EXTREMWERTEN 182
3.9.8 KONVERGENZGESCHWINDIGKEIT VON TAYLORREIHEN 183
3.10 NUMERISCHE BERECHNUNG VON ABLEITUNGEN 185
3.11 DAS DIFFERENTIAL 187
3.11.1 DIFFERENTIELLE FEHLERANALYSE 190
3.12 DAS TANGENTENVERFAHREN VON NEWTON 190
4 INTEGRATION 195
4.1 EINLEITUNG - BESTIMMTE INTEGRALE 195
4.1.1 ELEMENTARE RECHENREGELN FUER INTEGRALE 198
4.2 UNBESTIMMTE INTEGRALE * 199
4.3 BERECHNUNG BESTIMMTER INTEGRALE MITTELS STAMMFUNKTION .... 202
4.4 INTEGRATIONSMETHODEN 204
4.4.1 SUBSTITUTION 206
4.4.2 PARTIELLE INTEGRATION 209
4.4.3 DIE PARTIALBRUCHZERLEGUNG 211
4.4.4 ZUSAMMENFASSUNG 215
4.5 FLAECHENBERECHNUNGEN 215
4.6 FLAECHE UND INTEGRAL ZWISCHEN ZWEI FUNKTIONEN 217
4.7 LAENGENBERECHNUNG 219
4.8 MANTELFLAECHENBERECHNUNG 222
4.9 ROTATIONSVOLUMEN 224
4.10 NUMERISCHE BERECHNUNG VON INTEGRALEN 225
4.11 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 229
4.11.1 UNBESCHRAENKTE INTEGRATIONSINTERVALLE 229
4.11.2 UNBESCHRAENKTE INTEGRANDEN 230
4.12 ANWENDUNGEN 231
4.12.1 BEWEGUNGSGLEICHUNGEN 231
4.12.2 ARBEIT ENTLANG EINES WEGES 233
4.12.3 ERDANZIEHUNG (UNEIGENTLICHE INTEGRALE) 236
4.12.4 ARBEIT EINES IDEALEN GASES IM ISOTHERMEN ZUSTAND .... 237
5 VEKTORRECHNUNG 239
5.1 VEKTOREN 239
5.2 DARSTELLUNG VON VEKTOREN 241
5.2.1 ZWEIDIMENSIONALEN VEKTOREN 241
5.2.2 MEHRDIMENSIONALE VEKTOREN 242
5.3 RECHNEN MIT VEKTOREN 243
5.3.1 SUMME MEHRERER VEKTOREN 246
6
INHALTSVERZEICHNIS
5.3.2 DIFFERENZ VON VEKTOREN 246
5.3.3 GRUNDLEGENDE RECHENARTEN 247
5.3.4 WEITERE RECHENREGELN 248
5.3.5 EINHEITSVEKTOREN 249
5.4 DAS SKALARPRODUKT 250
5.4.1 BERECHNUNG DES SKALARPRODUKTES 252
5.4.2 LAENGEN UND BETRAEGE ALS SKALARPRODUKTE 254
5.4.3 PROJEKTIONEN 255
5.4.4 ANWENDUNG: ARBEIT EINER KRAFT 256
5.5 DAS VEKTORPRODUKT 257
5.6 DAS SPATPRODUKT (DER SPAT) 260
5.7 ANWENDUNGEN ZUR VEKTORRECHNUNG 262
5.7.1 STABKRAEFTE EINES BELASTETEN DREIBEINS 262
5.8 PARAMETRISCHE FUNKTIONEN 265
5.8.1 ABLEITUNG PARAMETRISCHER FUNKTIONEN 268
5.9 KUERVENINTEGRALE 270
5.9.1 ARBEIT EINER KRAFT 270
6 WACHSTUMS- UND ZERFALLSPROZESSE 281
6.1 GRUNDLAGEN DER EVOLUTIONSGLEICHUNGEN 281
6.1.1 EINLEITUNG: DIE EVOLUTIONSGLEICHUNG 282
6.1.2 DISKRET ODER KONTINUIERLICH ? 284
6.2 UNGEBREMSTES WACHSTUM 285
6.2.1 DER DISKRETE FALL 285
6.2.2 ZEITTEILE * 286
6.2.3 GRUNDSAETZLICHES 287
6.2.4 DER UEBERGANG ZUM KONTINUIERLICHEN MODELL 289
6.2.5 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN KEHRET UND KK
ON
T 291
6.2.6 ZUR ERMITTLUNG VON K AUS DEN DATEN 293
6.3 GEBREMSTES WACHSTUM - STOERUNG ERSTER ORDNUNG 294
6.4 DAS LOGISTISCHE WACHSTUM - STOERUNGEN ZWEITER ORDNUNG 304
6.5 VERZOEGERTES WACHSTUM 309
6.6 SYSTEME VON DIFFERENZENGLEICHUNGEN 319
6.7 ZUSAMMENFASSUNG WACHSTUM UND ZERFALL 321
7 KOMPLEXE ZAHLEN 323
7.1 WIE ALLES BEGANN: EINE KURZE GESCHICHTE DER KOMPLEXEN ZAHLEN . 323
7.2 GRUNDLAGEN 325
7.2.1 POTENZEN DER IMAGINAEREN EINHEIT 326
7.2.2 KOMPLEXE ZAHLEN 327
7.2.3 GRAFISCHE DARSTELLUNG KOMPLEXER ZAHLEN 328
7.3 RECHENREGELN FUER KOMPLEXE ZAHLEN 329
7.3.1 KARTESISCHE FORM A + BI 329
7.4 KOMPLEXE ZAHLEN IN POLARKOORDINATEN 332
7.5 UMRECHNUNG DER DARSTELLUNGSFORMEN 333
7.6 DIE EXPONENTIALFORM 334
INHALTSVERZEICHNIS 7
7.7 RECHENREGELN FUER POLARKOORDINATEN 335
7.7.1 EIGENSCHAFTEN VON Z = E
LTP
337
7.8 RADIZIEREN (WURZEL ZIEHEN) VON KOMPLEXEN ZAHLEN 337
7.9 ANWENDUNG: KOMPLEXE ZAHLEN ZUR HERLEITUNG DER ADDITIONSTHEO
REME 341
7.10 DIFFERENTIATION KOMPLEXER ZAHLEN 342
7.11 ABSCHLIESSEND 342
8 DIFFERENTIALRECHNUNG IN MEHREREN VARIABLEN 345
8.1 EINLEITUNG 345
8.2 DARSTELLUNGSFORMEN EINER FUNKTION FUER N=2 346
8.2.1 WERTETABELLE 346
8.2.2 OBERFLAECHENDIAGRAMME 346
8.2.3 HOEHENLINIEN 347
8.3 DIFFERENTIATION 348
8.3.1 SCHNITTFUNKTION UND PARTIELLE ABLEITUNG 348
8.3.2 DIFFERENZIERBARKEIT 350
8.3.3 DIE RICHTUNGSABLEITUNG 352
8.4 PARTIELLE ABLEITUNGEN HOEHERER ORDNUNG 355
8.5 DIE TAYLORENTWICKLUNG FUER F(X,
Y) 356
8.5.1 EINDIMENSIONAL 356
8.5.2 ZWEIDIMENSIONAL 357
8.6 DAS VOLLSTAENDIGE DIFFERENTIAL 360
8.6.1 ANWENDUNG: FEHLERRECHNUNG 361
8.6.2 DER RELATIVE FEHLER 362
8.6.3 ANWENDUNG: IMPLIZITE DIFFERENTIATION 363
8.7 RELATIVE EXTREMWERTE OHNE NEBENBEDINGUNGEN 365
8.7.1 DER EINDIMENSIONALE FALL 365
8.8 LOKALE EXTREMA BEI ZWEI UNBEKANNTEN 366
8.8.1 SCHREIBWEISE ALS HESSE-MATRIX 372
8.8.2 BEISPIEL 1: NEKTAR SAMMELNDE BIENEN 375
8.8.3 BEISPIEL 2: ZUGVOEGEL (OHNE HAPPY END) 377
8.9 ANWENDUNG DER EXTREMWERTBERECHNUNG: REGRESSIONSANALYSE . . . 381
8.10 EXTREMWERTAUFGABEN MIT NEBENBEDINGUNGEN 385
8.10.1 LAGRANGE MULTIPLIKATOREN 386
9 MEHRDIMENSIONALE INTEGRATION 393
9.1 EINLEITUNG 393
9.2 BERECHNUNG DER INTEGRALE 397
9.2.1 BERECHNUNG VON INTEGRALEN IN KARTESISCHEN RECHTECKIGEN
KOORDINATEN 397
9.2.2 INTEGRATION UEBER KARTESISCHE KRUMMLINIGE BEREICHE .... 399
9.2.3 WEITERE ANWENDUNGEN 400,
9.3 INTEGRATION IN POLARKOORDINATEN 403
9.3.1 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 407
9.3.2 NUMERISCHE BERECHNUNG VON DOPPELINTEGRALEN 409
8
INHALTSVERZEICHNIS
9.4 DREIFACHINTEGRALE 410
9.4.1 SCHWERPUNKTSBERECHNUNGEN 412
10 GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN (DGL) 415
10.1 EINLEITUNG 415
10.2 LOESUNGSVERFAHREN FUER DGL EN ERSTER ORDNUNG 420
10.2.1 GEOMETRISCHE INTERPRETATION VON Y =F(X,Y) 420
10.2.2 TRENNUNG DER VARIABLEN 422
10.2.3 LINEARE DGL EN 424
10.2.4 LINEARE DGL MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 427
10.2.5 SUBSTITUTION 432
10.2.6 ZUSAMMENFASSUNG DER LOESUNGSVERFAHREN FUER DGL 1. ORD
NUNG 436
10.3 LINEARE DGL EN 2. ORDNUNG MIT KONST. KOEFFIZIENTEN 436
10.3.1 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGSSYSTEME 444
10.4 NUMERISCHE LOESUNG EINER EXPLIZITEN DGL 1. ORDNUNG 451
10.5 ANWENDUNGEN 453
10.5.1 FREIER FALL MIT LUFTWIDERSTAND 453
10.5.2 DIE HARMONISCHE SCHWINGUNG 455
10.5.3 ABKUEHLUNG VON MILCHKAFFEE 460
10.5.4 GESCHWINDIGKEIT EINES VOM TISCH RUTSCHENDEN SEILES . . . 464
10.6 WACHSTUMSPROZESSE MIT HILFE DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 466
10.6.1 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN FUER STOERUNGEN ZWEITER ORDNUNG . . 467
11 DESKRIPTIVE STATISTIK 471
11.1 EINLEITUNG 471
11.2 DARSTELLUNG VON MESSREIHEN 472
11.2.1 KLASSENBILDUNG 475
11.3 MASSZAHLEN FUER EINDIMENSIONALE DATEN 475
11.3.1 LAGEMASSE 475
11.3.2 STREUUNGSMASSE 477
11.4 MASSZAHLEN FUER ZWEIDIMENSIONALE DATEN 478
11.4.1 ZUSAMMENHANG ZUR REGRESSION 481
12 PROBEKLAUSUREN (MIT LOESUNGEN) 483
12.1 MATHEMATIK 1 ; 483
12.2 MATHEMATIK 2 495
13 UEBUNGSAUFGABEN 509
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