Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra: algebraisch verstehen – geometrisch veranschaulichen und anwenden
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Berlin [u.a.]
Springer Spektrum
2015
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INHALTSVERZEICHNIS
1 EINFUEHRUNG: ANALYTISCHE GEOMETRIE/LINEARE ALGEBRA UND ALLGEMEINBIL
DUNG 1
1.1 SCHWERPUNKTE DER WEITERENTWICKLUNG DES UNTERRICHTS 3
1.2 GRUNDVORSTELLUNGEN UND FUNDAMENTALE IDEEN 6
2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 13
2.1 ALGEBRA IN DER SCHULE 15
2.1.1 VARIABLEN 15
2.1.2 GLEICHUNGEN 16
2.2 LGS IN DER SCHULE - EIN UEBERBLICK 20
2.2.1 UEBERBLICK UEBER DIE SEKUNDARSTUFE I 20
2.2.2 UEBERBLICK UEBER DIE SEKUNDARSTUFE II 21
2.3 LGS IN DER SEKUNDARSTUFE I 24
2.3.1 LINEARE GLEICHUNGEN MIT 2 VARIABLEN UND LINEARE FUNKTIONEN . 24
2.3.2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME MIT ZWEI LOESUNGSVARIABLEN 26
2.4 LGS IN DER SEKUNDARSTUFE II 38
2.4.1 UEBERBLICK 38
2.4.2 LGS MIT ZWEI UND DREI LOESUNGSVARIABLEN 39
2.4.3 AEQUIVALENZUMFORMUNGEN 44
2.4.4 MATRIXSCHREIBWEISE FUER LGS UND GAUSS'SCHER ALGORITHMUS . 46
2.5 VERALLGEMEINERUNG DES GAUSS-ALGORITHMUS UND STRUKTUR DER
LOESUNGSMENGE 51
2.5.1 DER GAUSS-ALGORITHMUS FUER LGS MIT BELIEBIG VIELEN VARIABLEN . 51
2.5.2 STRUKTURELLE UEBERLEGUNGEN ZU LOESUNGSMENGEN VON LGS 54
2.6 LOESEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME MIT DEM COMPUTER 57
2.6.1 COMPUTEREINSATZ IN DER SCHULE 58
2.6.2 SOFTWARE FUER DEN UNTERRICHT 59
2.6.3 LOESEN VON LGS MIT GEOGEBRA UND MAXIMA 61
2.6.4 PROBLEME MIT DEM COMPUTER 66
2.7 BEISPIELE AUS DEM UNTERRICHT 69
2.7.1 ZAHLENMAUERN 69
VII
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VIII INHALTSVERZEICHNIS
2.7.2 BESTIMMUNG DER KOEFFIZIENTEN GANZRATIONALER FUNKTIONEN AUS
GEGEBENEN WERTEPAAREN 71
2.7.3 AUFGABEN AUS DER UNTERHALTUNGSMATHEMATIK 71
2.7.4 ZERLEGUNG EINES RECHTECKS - DIE ICM-BRIEFMARKE 76
2.7.5 WIDERSTANDSNETZE 78
2.7.6 MISCHUNGSPROBLEME 84
3 DER VEKTORBEGRIFF 87
3.1 WEGE DER EINFUEHRUNG DES VEKTORBEGRIFFS - UEBERBLICK 88
3.2 VEKTOREN IN GEOMETRISCHEN UND PHYSIKALISCHEN KONTEXTEN 90
3.2.1 VERSCHIEBUNGEN 90
3.2.2 GESCHWINDIGKEITEN UND KRAEFTE 91
3.2.3 PFEILKLASSEN 93
3.2.4 UMSETZUNG DES PFEILKLASSENKONZEPTS IN SCHULBUECHERN 99
3.2.5 NUTZUNG VON VEKTOREN FUER BEWEISE GEOMETRISCHER SAETZE 103
3.2.6 DIDAKTISCHE SCHWIERIGKEITEN MIT VEKTOREN UND PUNKTEN; SINN UND
UNSINN DES KONSTRUKTS *ORTSVEKTOR" 106
3.3 VEKTOREN IN ARITHMETISCHEN KONTEXTEN 108
3.3.1 STUECKLISTEN 108
3.3.2 FARBMISCHUNG IN DER ELEKTRONISCHEN BILDWIEDERGABE 109
3.3.3 N-TUPEL ALS EIGENSTAENDIGES VEKTORMODELL 111
3.3.4 BEZIEHUNGEN ZWISCHEN W-TUPELN UND PFEILKLASSEN 113
3.3.5 DIE STELLUNG VON VEKTOREN ALS -TUPEL IM UNTERRICHT 117
3.4 DER VEKTORBEGRIFF ALS VERALLGEMEINERNDER STRUKTURBEGRIFF;
VEKTORRAEUME . 121
3.4.1 DER BEGRIFF DES VEKTORRAUMES 122
3.4.2 RECHENGESETZE ALS GEMEINSAMKEITEN VERSCHIEDENER VEKTORMODELLE 123
3.4.3 WEITERE BEISPIELE FUER VEKTORRAEUME 127
3.5 LINEARKOMBINATIONEN VON VEKTOREN; BASEN UND KOORDINATEN 134
3.5.1 EIN ANSCHAULICHER ZUGANG ZU BASISVEKTOREN 134
3.5.2 EXAKTIFIZIERUNG DES BEGRIFFS *LINEARKOMBINATION"; BERECHNUNG
VON KOEFFIZIENTEN 136
3.5.3 ANWENDUNG VON LINEARKOMBINATIONEN IN DER GEOMETRIE 142
3.6 VEKTORRECHNUNG UND -DARSTELLUNG MITHILFE DES COMPUTERS 145
4 ANALYTISCHE GEOMETRIE 149
4.1 GRUNDLEGENDE BEMERKUNGEN ZUR ANALYTISCHEN GEOMETRIE 150
4.1.1 WAS SIND PUNKTE UND GERADEN? 150
4.1.2 PARAMETERDARSTELLUNGEN - EIN ERSTER UEBERBLICK 155
4.1.3 ANALYTISCHE GEOMETRIE IN HISTORISCHEM KONTEXT 160
4.2 GEOMETRIE IN DER SEKUNDARSTUFE II 161
4.2.1 KALKUEL VERSUS SEMANTIK 161
4.2.2 LINEARE ALGEBRA VERSUS ANALYTISCHE GEOMETRIE 163
INHALTSVERZEICHNIS IX
4.2.3 RAUMGEOMETRIE 164
4.3 AFFINE EIGENSCHAFTEN DES ANSCHAUUNGSRAUMES 169
4.3.1 VORBEMERKUNGEN 170
4.3.2 PUNKTE, GERADEN UND STRECKEN 172
4.3.3 TEILVERHAELTNISSE 177
4.3.4 EBENEN 180
4.3.5 VEKTORGEOMETRISCHE BEWEISE VON SAETZEN DER AFFINEN GEOMETRIE . 185
4.3.6 AFFINE GEOMETRIE UND *ZUFALLSFRAKTALE" 190
4.4 DAS SKALARPRODUKT 195
4.4.1 ZUR EINFUEHRUNG DES SKALARPRODUKTS 195
4.4.2 METRISCHE GEOMETRIE - SICHTWEISEN IN SCHULE UND UNIVERSITAET . .
197
4.4.3 EIN GEOMETRISCH ORIENTIERTER WEG ZUM SKALARPRODUKT 199
4.4.4 EIN ARITHMETISCHER ZUGANG ZUM SKALARPRODUKT 202
4.4.5 ERSTE ANWENDUNGEN DES SKALARPRODUKTS 204
4.4.6 WEITERE *PRODUKTE" VON VEKTOREN: VEKTOR- UND SPATPRODUKT. 209
4.5 METRISCHE GEOMETRIE VON GERADEN UND EBENEN 211
4.5.1 ORTHONORMALBASEN 211
4.5.2 NORMALENFORMEN FUER EBENEN 213
4.5.3 ABSTAND EINES PUNKTES VON EINER EBENE 214
4.5.4 ABSTAENDE BEI GERADEN 215
4.5.5 SCHNITTWINKEL VON GERADEN UND EBENEN 216
4.6 KREISE UND KUGELN 218
4.6.1 KREIS-UND KUGELGLEICHUNG 218
4.6.2 SCHNITTE VON GERADEN, KREISEN UND KUGELN 220
4.6.3 TANGENTEN UND TANGENTIALEBENEN 221
4.6.4 SCHNITTE VON KUGELN UND EBENEN 226
4.6.5 SCHNITTE ZWEIER KUGELN 227
4.6.6 KUGELN IN KUNST UND ARCHITEKTUR 228
4.6.7 ANALYTISCHE BEHANDLUNG VON KONSTRUKTIONSAUFGABEN 229
4.7 ABITURAUFGABEN IN DER ANALYTISCHEN GEOMETRIE 230
4.7.1 PROBLEMATISCHE ABITURAUFGABEN 231
4.7.2 DAS OKTAEDER DES GRAUENS 233
4.7.3 SYNTAX VERSUS SEMANTIK 234
4.7.4 FLUGSICHERHEIT 235
4.7.5 VERHUNGERTE RAUBVOEGEL 236
5 VERTIEFUNGEN UND ANWENDUNGEN DER ANALYTISCHEN GEOMETRIE : 239
5.1 ERSTELLEN VON 3D-COMPUTERGRAPHIKEN MITTELS KOORDINATENGEOMETRIE . .
. 241
5.1.1 KOORDINATENBESCHREIBUNG VON 3D-COMPUTERGRAPHIKEN 241
5.1.2 *SCHNEEMANNBAU" ALS EINSTIEG IN DIE RAEUMLICHE
KOORDINATENGEOMETRIE UND DIE 3D-COMPUTERGRAPHIK 244
5.2 ANALYTISCHE GEOMETRIE ALS GRUNDLAGE DER 3D-COMPUTERGRAPHIK 250
X
INHALTSVERZEICHNIS
5.2.1 DAS REFLEXIONSGESETZ IM RAUM 250
5.2.2 LOKALE BELEUCHTUNGSMODELLE 253
5.2.3 KANTENGLAETTUNG DURCH NORMALENINTERPOLATION 260
5.3 DYNAMISCHE ASPEKTE VON PARAMETERDARSTELLUNGEN;
COMPUTERANIMATIONEN 264
5.3.1 SICHTWEISEN AUF PARAMETERDARSTELLUNGEN 264
5.3.2 ERSTELLUNG VON ANIMATIONEN DURCH PARAMETERDARSTELLUNGEN . 266
5.3.3 ANIMATIONEN AUF KREISEN UND DARAUS ABGELEITETEN KURVEN 269
5.3.4 KAMERAANIMATIONEN IN DER 3D-COMPUTERGRAPHIK 276
5.3.5 PARAMETERDARSTELLUNGEN VON RAECHEN 279
5.4 KEGELSCHNITTE 284
5.4.1 PARABELN ALS GEOMETRISCHE OERTER 285
5.4.2 ELLIPSEN ALS GEOMETRISCHE OERTER 288
5.4.3 HYPERBELN DURCH VARIATION DER ELLIPSEN-ORTSEIGENSCHAFT 290
5.4.4 ELLIPSEN, PARABELN UND HYPERBELN ALS KEGELSCHNITTE 292
5.4.5 QUADRATISCHE FORMEN 303
5.4.6 BRENNPUNKTEIGENSCHAFTEN DER KEGELSCHNITTE; ANWENDUNGEN . 304
5.5 SATTELFLAECHEN ALS VERNETZUNG VON ANALYSIS UND GEOMETRIE 308
5.5.1 ZWEI PROBLEMKREISE AUS DER SEKUNDARSTUFE I 308
5.5.2 GERADEN UND PARABELN FUHREN ZU SATTELFLAECHEN 309
5.5.3 PUNKTE MIT GLEICHEM ABSTAND ZU ZWEI GERADEN 311
5.5.4 WEITERES ZU SATTELFLAECHEN 315
5.6 B6ZIERKURVEN 319
5.6.1 ELEMENTARGEOMETRISCHE BEHANDLUNG VON BEZIERKURVEN 321
5.6.2 ANALYTISCHE BESCHREIBUNG VON BEZIERKURVEN 323
5.6.3 BEZIERFLAECHEN 326
6 MATRIZEN UND AFFINE ABBILDUNGEN 329
6.1 EIN ARITHMETISCHER ZUGANG ZU MATRIZEN UEBER MEHRSTUFIGE PROZESSE .
330
6.1.1 EINFUEHRUNGSBEISPIEL: MATERIALVERFLECHTUNG 330
6.1.2 MATRIZENMULTIPLIKATION - DEFINITION UND RECHENREGELN 334
6.1.3 POPULATIONSMATRIZEN 337
6.2 AFFINE ABBILDUNGEN IN DER SEKUNDARSTUFE II 343
6.2.1 STELLUNG LINEARER UND AFFINER ABBILDUNGEN IN DER SCHULE 343
6.2.2 GERADENTREUE UND NICHT GERADENTREUE ABBILDUNGEN IN DER SI . 344
6.2.3 KOORDINATENBESCHREIBUNGEN GEOMETRISCHER ABBILDUNGEN 346
6.2.4 DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN AFFINER ABBILDUNGEN 353
6.2.5 MATRIXDARSTELLUNG AFFINER ABBILDUNGEN 357
6.2.6 AFFINE ABBILDUNGEN IM RAUM; PROJEKTIONEN 361
6.2.7 VERANSCHAULICHUNG DURCH MATRIZEN GEGEBENER AFFINER ABBILDUNGEN
MITHILFE DES COMPUTERS 366
6.2.8 VERKETTUNG AFFINER ABBILDUNGEN UND MATRIZENPRODUKT 368
INHALTSVERZEICHNIS XI
6.3 WEITERE UEBERLEGUNGEN ZU AFFINEN ABBILDUNGEN 370
6.3.1 FIXPUNKTE AFFINER ABBILDUNGEN 370
6.3.2 KLASSIFIKATION UND NORMALFORMEN EBENER AFFINITAETEN 373
6.3.3 AEHNLICHKEITS- UND KONGRUENZABBILDUNGEN IN DER EBENE 375
6.3.4 AFFINE ABBILDUNGEN UND *ZUFALLSFRAKTALE" 376
7 AUSBLICK 379
LITERATUR 385
SACHVERZEICHNIS 391 |
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