Grundwissen Mathematikstudium: höhere Analysis, Numerik und Stochastik
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Springer Spektrum
[2016]
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| Schriftenreihe: | Lehrbuch
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| Beschreibung: | IX, 1004 Seiten Illustrationen, Diagramme |
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.in
Vorwort
V
enicun
Wissenschaft . ...... .....··.··· .
1.1 über Mathematik, Mathematiker und
dieses Lehrbuch ..................
1.2 Die didaktischen Elemente dieses
Lehrbuchs ...........................
1.3 Ratschläge zum weiterführenden Studium
der Mathematik ......................
1.4 Entwicklung und historische Einordnung
der Gebiete ....................
Funktionentheorie ֊-■ Analysis im
Komplexen ...... s ։ ։. .........
5.1 Holomorphe Funktionen .........
5.2 Das Wegintegral im Komplexen ..
5.3 Der Integralsatz von Cauchy ...
5.4 Nullstellen _.................
5.5 Identitätssatz und Maximumprinzip
5.6 Singularitäten ..................
5.7 Laurentreihen ..................
5.8 Der Residuensatz ...............
Zusammenfassung ..............
Aufgaben ......................
A)
96
102
107
116
119
124
130
134
142
145
.mear
Aston
Prclnu
uieu.
՛! ; i
a 1/. / O! ! ...» LC
2.1 Grundlagen — 16 6.1 Mannigfaltigkeiten in W ............... 150
2.2 Systeme von Differenzialgleichungen ..... 19 6.2 Differenzialformen 159
2.3 Differenzialgleichungen höherer Ordnung . 27 6.3 Integration von Formen und der Satz von
Zusammenfassung 34 Stokes ..... 183
Aufgaben .......... 36 Zusammenfassung ..... 203
Aufgaben .......... 205
Ua
Dif
sin
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
idwertproblomc und nichtlineare
ferenzialgleichungen - Funktionen
d gesucht ...............
Separable Differenzialgleichungen ....
Exakte Differenzialgleichungen und
integrierender Faktor ...........__
Randwertprobleme .................
Eigenwertprobleme ............
Die Laplace-Transformation ___......
Zusammenfassung ...................
Aufgaben ....................
42
47
52
57
62
66
68
Auulnotnm !nem io mnsonsvnn
MjiyiKc ji;՝ii und mehr als nMiMcncoc;
: hsUilCjOi! _.................. ...
4.1 Maximales Existenzintervall und stetige
Abhängigkeit der Lösungen von den
Griinclzücje der Maß- und Integration:
theorie “ vorn Messen und Mitiein .
7.1 Inhaltsproblem und Maßproblem
7.2 Mengensysteme ...............
7.3 Inhalte und Maße ..............
7.4 Messbare Abbildungen, Bildmaße
7.5 Das Maß-Integral ____.............
7.6 Nullmengen, Konvergenzsätze ........
7.7 ¿/’-Räume ..................
7.8 Maße mit Dichten ..............
7.9 Produktmaße, Satz von Fubini __
Zusammenfassung .................
Aufgaben .........................
ton
210
212
216
227
236
244
247
251
258
264
266
4.2 Daten Stabilität und Fluss . 72 74 0 i.liiXui՜:-: I ! hl iO hu iciOi idiyci·- ■ ■ C MTdio
4.3 Stabilität von linearen Systemen und MdI i; MdÜi/Oil , . . . . .
Linearisierung . 81 8.1 Lineare beschränkte Operatoren .... 274
4.4 Der Satz von Poincare-Bendixson ....... 85 8.2 Grundlegende Prinzipien der
4.5 Bifurkation: Verzweigung von Funktionalanalysis .... 288
Gleichgewichtspunkten ................ , 86 8.3 Funktionale und Dualräume .... 295
Zusammenfassung 88 Zusammenfassung .... 308
Aufgaben . 91 Aufgaben .... 309
9 Fredholm-Gleichiingen ֊֊ kompakte
4 Numerik linearer (ileidumcjr.syivUitnc
Störungen der Identität 313 Mill on(Mi von Variablen im drhi do;j
9.1 Kompakte Mengen und Operatoren 314 14.1 Gauß-Elimination und QR-Zerlegung ..... 484
9.2 Die Riesz֊Theorie 320 14.2 Splitting-Methoden 499
9.3 Die Fredholnïsche Alternative ........... 325 14.3 Mehrgitterverfahren ........ 512
Zusammenfassung 336 14.4 Krylov-Unterraum-Methoden .... 521
Aufgaben 337 Zusammenfassung 541
Aufgaben 543
Hilberträume fast wie im
Anschauuncjsraum 341 13 Nun lensdi-e hnnnwedhemehnnn»՝) ■
10.1 Funktionale in Hilberträumen . 342 ՛ ■ ՛ , ·: d;di;vd nnn /apdmd.:-dd.
10.2 Fouriertheorie . 349 15.1 Eigenwerteinschließungen 548
10.3 Spektraltheorie kompakter, 15.2 Potenzmethode und Varianten 555
selbstadjungierter Operatoren .......... . 358 15.3 Jacobi-Verfahren 561
Zusammenfassung . 369 15.4 QR-Verfahren 568
Aufgaben .......... .............. . 370 Zusammenfassung 578
Aufgaben 579
Warum Numerische ;v3«henis9ka
iViodeiliemna, Simulation und /9 Lineare Aure:Lre:3w:re:L/a;ee in Maare՛
QDtirnmrunq 3/4 das ¡laste 33a
11.1 Chancen und Gefahren ............ — . 374 16.1 Existenz und Eindeutigkeit 584
11.2 Ordnungssymbole und Genauigkeit . 378 16.2 Lösung der Normalgleichung ........... 591
11.3 Kondition und Stabilität ... ........ . 384 16.3 Lösung des Minimierungsproblems ...... 593
Zusammenfassung . 391 16.4 Störungstheorie 603
Aufgaben . 394 Zusammenfassung .......... ....... 605
Aufgaben 608
Interpolation ■ Splines und mehr 39/
12.1 Der Weierstraß sche Approximationssatz f/ imd umuäia %m:iutdnm/n unu ■ ■
und die Bernstein-Polynome ........... . 398 dJiT criredi aidam; ■:
12,2 Die Lagrange sche Interpolationsformel .. . 401 17.1 Bisektion, Regula Falsi, Sekantenmethode
12.3 Newton sche Interpolationsformel ....... . 407 und Newton-Verfahren ................. 612
12.4 Splines . 416 17.2 Die Theorie der Iterationsverfahren ...... 621
12.5 Trigonometrische Polynome . 422 17.3 Das Newton-Verfahren und seine
Zusammenfassung .................... . 431 Varianten 630
Aufgaben . 435 17.4 Die Dynamik von iterationsverfahren -
Xiudi iitUl
a re.
i! lOti iOiii Vf!
13.1 Grundlegende Definitionen .............. 440
13.2 Interpolatorische Quadraturformeln —.. 443
13.3 Eine Fehlertheorie mit Peano-Kernen ..... 453
13.4 Von der Trapezregel durch Extrapolation
zu neuen Ufern ,......... 459
13.5 Gauß-Quadratur ...................... 464
13.6 Was es noch gibt: Adaptive Quadratur,
uneigentliche Integrale und optimale
Quadraturverfahren .................... 473
Zusammenfassung ...................... 477
Aufgaben ................................ 480
Ordnung und Chaos _____............... 642
Zusammenfassung .................. 647
Aufgaben ............................. 650
:Y. remdre
k . 3
i . ddd u io
i :* ՛
18.1 Grundlagen ............................... 656
18.2 Einschrittverfahren....................... 658
18.3 Mehrschrittverfahren ................... 673
18.4 Unbedingt positivitätserhaltende
Verfahren ............................ 687
Zusammenfassung ..................... 695
Aufgaben .............................. 697
19.1 Grundräume und Ereignisse .............. 702
19.2 Zufallsvariablen ..................... 705
19.3 Das Kolmogorov sche Axiomensystem _______ 707
19.4 Verteilungen von Zufallsvariablen,
Beispiel-Klassen ....................... 709
19.5 Folgerungen aus den Axiomen .......... 714
19.6 Elemente der Kombinatorik ____......... 719
19.7 Urnen- und Fächer-Modelle ............. 724
Zusammenfassung ....................... 728
Aufgaben ............................. 731
20.1 Modellierung mehrstufiger stochastischer
Vorgänge ............................. 736
20.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten .......... 739
20.3 Stochastische Unabhängigkeit ........... 744
20.4 Folgen unabhängiger Zufallsvariablen .... 751
20.5 Markov-Ketten .......................... 754
Zusammenfassung ........................ 762
Aufgaben ............................ 764
2.1.1 Diskrete Zufallsvariablen ................ 770
21.2 Erwartungswert und Varianz .............. 773
21.3 Wichtige diskrete Verteilungen .......... 782
21.4 Kovarianz und Korrelation ............... 788
21.5 Bedingte Erwartungswerte und bedingte
Verteilungen .................... /94
21.6 Erzeugende Funktionen ....____......... 800
Zusammenfassung ....................... 803
Aufgaben ............................... 806
22.1 Verteilungsfunktionen und Dichten ..._____ 814
22.2 Transformationen von Verteilungen ........ 822
22.3 Kenngrößen von Verteilungen ........... 833
22.4 Wichtige stetige Verteilungen ......... 841
22.5 Bedingte Verteilungen und bedingte
Dichten ..........................._______ 846
22.6 Charakteristische Funktionen
(Fourier-Transformation) ................ 853
Zusammenfassung ..............._________ 859
Aufgaben ..........................____ 861
23.1 Konvergenz fast sicher, stochastisch und
im p-ten Mittel ....___............_______ 868
23.2 Das starke Gesetz großer Zahlen ........ 872
23.3 Verteilungskonvergenz ................. 878
23.4 Zentrale Grenzwertsätze _____............ 887
Zusammenfassung .................... 895
Aufgaben ..................... ......... 896
24.1 Einführende Betrachtungen .............. 902
24.2 Punktschätzung ...................._____ 906
24.3 Konfidenzbereiche ...................... 916
24.4 Statistische Tests ................... 927
24.5 Optimalitätsfragen: Das Lemma von
Neyman-Pearson ........................ 944
24.6 Elemente der nichtparametrischen
Statistik ............................... 949
Zusammenfassung ..................... 963
Aufgaben ................................ 965
Hinweise zu den Aufgaben 9/1
Lösungen m den Aufgaben 98?.
Bildnachweis ......................... 989
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| author | Brokate, Martin 1953- Henze, Norbert 1951- Hettlich, Frank 1963- Meister, Andreas 1966- Schranz-Kirlinger, Gabriela Sonar, Thomas 1958- |
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