Analysis: Grundlagen, Differentiation, Integrationstheorie, Differentialgleichungen, Variationsmethoden
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer Spektrum
2014
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| Schriftenreihe: | Lehrbuch
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INHALTSVERZEICHNIS
I DAS SYSTEM DER REELLEN UND KOMPLEXEN ZAHLEN 1
§1 DAS RECHNEN MIT REELLEN UND KOMPLEXEN ZAHLEN 1
§2 KONSTRUKTION DER REELLEN ZAHLEN R NACH D. HILBERT 15
§3 UEBERABZAEHLBARKEIT UND KONVERGENZEIGENSCHAFTEN REELLER ZAHLEN 27
§4 DER N-DIMENSIONALE ZAHLENRAUM K
N
ALS TOPOLOGISCHER RAUM . 41
§5 DIE KOMPLEXEN ZAHLEN C IN DER GAUSSSCHEN EBENE 54
§6 REELLE UND KOMPLEXE FOLGEN UND REIHEN 61
§7 ABSOLUT KONVERGENTE DOPPELREIHEN 72
§8 AUFGABEN ZUM KAPITEL I 81
II DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG IN EINER VERAENDERLICHEN 85
§1 STETIGKEIT VON FUNKTIONEN MEHRERER VERAENDERLICHER 85
§2 GLEICHMAESSIGE KONVERGENZ VON FUNKTIONEN UND DIE C-NORM . 96
§3 REELLE UND KOMPLEXE DIFFERENZIERBARKEIT 104
§4 RIEMANNSCHES INTEGRAL FUER STETIGE FUNKTIONEN 115
§5 INTEGRATION MITTELS REELLER UND KOMPLEXER STAMMFUNKTIONEN . 119
§6 DIE TAYLORSCHE FORMEL 129
§7 KRUEMMUNGEN UND SCHMIEGKREIS VON KURVEN 135
§8 AUFGABEN ZUM KAPITEL II 137
III DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN ALS POTENZREIHEN 139
§1 KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION UND NATUERLICHE
LOGARITHMUSFUNKTION 139
§2 DIE TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN 147
§3 DIE HYPERBELFUNKTIONEN 157
§4 DIE ARCUSFUNKTIONEN 161
§5 POLARKOORDINATEN UND UEBERLAGERUNGSFLAECHEN 165
§6 DIE N-TEN WURZELN UND DIE KOMPLEXE LOGARITHMUSFUNKTION . 171
§7 DIE ALLGEMEINEN POTENZFUNKTIONEN 178
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XIV VORWORT
§8 DER FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 187
§9 PARTIALBRUCHZERLEGUNG GEBROCHEN RATIONALER FUNKTIONEN 191
§10 AUFGABEN ZUM KAPITEL III 195
IV PARTIELLE DIFFERENTIATION UND DIFFERENZIER BARE
MANNIGFALTIGKEITEN IM R" 197
§1 PARTIELLE ABLEITUNGEN ERSTER ORDNUNG UND DIE TOTALE
DIFFERENZIERBARKEIT 197
§2 PARTIELLE ABLEITUNGEN HOEHERER ORDNUNG 207
§3 TAYLORSCHE FORMEL IM K": EXTREMWERTAUFGABEN UND EIGENWERTE212
§4 FUNDAMENTALSATZ UEBER DIE INVERSE ABBILDUNG 221
§5 IMPLIZITE FUNKTIONEN UND RESTRINGIERTE EXTREMWERTAUFGABEN . . 229
§7 EINGEBETTETE C
2
-MANNIGFALTIGKEITEN IM R" UND IHRE
ORIENTIERUNG 235
§8 DER ORBITRAUM 0(N. NI) ALS METRISCHER RAUM UND
IMMERSIONEN IM K" 246
§9 AUFGABEN ZUM KAPITEL IV 251
V RIEMANNSCHES INTEGRAL IM R
N
MIT APPROXIMATIONS
UND INTEGRALSAETZEN 253
§1 INTEGRATION MITTELS STANDARDSUBSTITUTIONEN 254
§2 EXISTENZ DES RIEMANNSCHEN INTEGRALS 258
§3 KLASSEN RIEMANN-INTEGRIERBARER FUNKTIONEN 268
§4 INTEGRATION UEBER JORDAN-BEREICHE 278
§5 UNEIGENTLICHE RIEMANNSCHE INTEGRALE IM R" 286
§6 INTEGRATION MITTELS TESTFUNKTIONEN 298
§7 ERGAENZUNG UND APPROXIMATION STETIGER FUNKTIONEN 309
§8 FLAECHENINHALT UND DIFFERENTIALFORMEN 313
§9 DER STOKESSCHE INTEGRALSATZ FUER GLATT BERANDETE
C
2
-MANNIGFALTIGKEITEN 325
§10 CAUCHY'S INTEGRALFORMEL UND DIE ENTWICKLUNG HOLOMORPHER
FUNKTIONEN 332
§11 DER WEIERSTRASSSCHE APPROXIMATIONSSATZ FUER C
A
'-FUNKTIONEN . . 335
§12 AUFGABEN ZUM KAPITEL V 341
VI GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 343
§1 VERSCHIEDENE TYPEN VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 343
§2 EXAKTE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 345
§3 ELEMENTAR INTEGRIERBARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG351
§4 DER EXISTENZSATZ VON PEANO 359
§5 EINDEUTIGKEIT UND SUKZESSIVE APPROXIMATION 366
§6 DIFFERENZIERBARE ABHAENGIGKEIT VON DEN ANFANGSWERTEN 371
§7 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGSSYSTEME 378
§8 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN HOEHERER ORDNUNG 387
§9 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN M-TER ORDNUNG 390
VORWORT XV
§10 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN. 397
§11 AUFGABEN ZUM KAPITEL VI 400
VII EINDIMENSIONALE VARIATIONSRECHNUNG 401
§1 EULERSCHE GLEICHUNGEN UND HAMILTONSCHES SYSTEM 402
§2 DIE CARATHEODORYSCHEN ABLEITUNGSGLEICHUNGEN 405
§3 DAS ENERGIEFUNKTIONAL UND GEODAETISCHE 409
§4 WEIERSTRASS-FELDER UND HILBERTS INVARIANTES INTEGRAL 419
§5 KOVARIANTE ABLEITUNGEN UND KRUEMMIMGEN 424
§6 RIEMANNSCHE RAEUME BESCHRAENKTER SCHNITTKRUEMMUNG 432
§7 KONJUGIERTE PUNKTE UND STURMSCHER VERGLEICHSSATZ 438
§8 AUFGABEN UND ERGAENZUNGEN ZUM KAPITEL VII 446
VIII MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE 449
§1 DAS DANIELISCHE INTEGRAL UND DER SATZ VON U. DINI 450
§2 FORTSETZUNG DES DANIELL- ZUM LEBESGUE-INTEGRAL 454
§3 LEBESGUE-MESSBARE MENGEN 466
§4 NULLMENGEN UND ALLGEMEINE KONVERGENZSAETZE 473
§5 VERGLEICH VON RIEMANN- UND LEBESGUE-INTEGRAL 480
§6 LEBESGUE-MESSBARE UND P-FACLI INTEGRABLE FUNKTIONEN 483
§7 DIE SAETZE VON FUBINI UND TONELLI 490
§8 NORMIERTE VEKTORRAEUME UND DER BANACHRAUM C
P
(X) 494
§9 DER BANACHSCHE FIXPUNKTSATZ 499
§10 AUFGABEN UND ERGAENZUNGEN ZUM KAPITEL VIII 501
LITERATURVERZEICHNIS 503
SACHVERZEICHNIS 505
Analysis
Das Buch bietet eine moderne Darstellung der Differential- und Integralrechnung für
ľunktionen
in einer und mehreren reellen Veränderlichen sowie in einer komplexen
Variablen. Die elementaren Funktionen werden über komplexe Poten/reihen definiert
und dieloiiarithmusfunktion auf ihrer Ricmannschen Fläche betrachtet. Nachdem
die eindimensionale Integration mittels reeller und komplexer Stammiunktionen
durchgeführt ist, wird über das uneiiientliche n-dimensionale Riemannsche
Integral
OD
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die Integration auf.Manni^taltiiikeiten
mit Mille von Differeniiallormen vorbestellt.
Mil
dem
Lebesííueschen
Integral
und dessen Maßtheorie werden die Banachräume n-tach
inteimerbarer Funktionen einiteführt.
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werden für gewöhnliche Ditlerentialiileichuiv
Г1
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systematisch Iixistenz-,
Hindeutiiikeits-
und Stabilitälsfra^en behandelt. In einem
Kapitel zur V^arjalionsrechnung wird direkt über die Untersuchung von Geodätischen
der Riemannsche Raum und sein Krümmungsbegriff vorgestellt. |
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