Perturbation de la dynamique de difféomorphismes en topologie C1:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | French |
| Veröffentlicht: |
Paris
Soc. Math. de France
2013
|
| Schriftenreihe: | Astérisque
354 |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis Klappentext |
| Beschreibung: | Literaturverz. S. [149] - 162 |
| Beschreibung: | VII, 164 S. graph. Darst. |
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|---|---|
| adam_text | TABLE DES MATIERES
Notations
..................................................................... ix
1.
Introduction
............................................................... 1
1.1.
Dynamiques génériques
.................................................. 1
1.2.
Décomposition de la dynamique
......................................... 5
1.3.
Caractérisation des dynamiques non hyperboliques
...................... 6
1.4.
Structure de
ľespace
des dynamiques
................................... 10
2.
Décomposition de la dynamique
........................................ 13
2.1.
Récurrence
:
transitivité faible, transitivité par chaînes
.................. 13
2.2.
Théorème
«
fondamental
»
de la dynamique,
nitrations
.................. 14
2.3.
Ensemble stable par chaînes, quasi-attracteurs
.......................... 15
2.4.
Hyperbolické
............................................................ 16
2.5.
Classes homoclines
...................................................... 16
2.6.
Dïfféomorphismes hyperboliques
......................................... 17
3.
Techniques de perturbation, générîcité
................................. 19
3.1.
Notions de généricité, de robustesse
..................................... 19
3.2.
Mise en transversalité
:
dïfféomorphismes de Kupka-Smale
.............. 19
3.3.
Perturbation ponctuelle de la différentielle
:
le lemme de
Franks
........ 20
3.4.
Modification élémentaire d une orbite
................................... 20
3.5.
Modification progressive
ď
une orbite
:
le lemme de Pugh
............... 21
3.6.
Fermeture d orbites
:
le
«
closing
lemma
» ............................... 22
3.7.
Exemple de démonstration de généricité
:
le théorème de densité de Pugh
24
3.8.
Connexions
ďorbites
:
le
«
connecting
lemma
» .......................... 25
3.9.
Espaces de perturbation
................................................. 29
3.10.
Problèmes
.............................................................. 30
4.
Connexions de pseudo-orbites
........................................... 31
4.1.
Énoncé du lemme de connexion pour les pseudo-orbites
................. 31
4.2.
Idée de la preuve
........................................................ 32
4.3.
Conséquences immédiates
............................................... 35
TABLE DES MATIERES
4.4.
Exemples
................................................................ 36
4.5.
Problèmes
............................................................... 38
5.
Connexions globales
...................................................... 41
5.1.
Approximation des mesures ergodiques par orbites périodiques
:
ľ«
ergodic
closing
lemma
» ....................................................... 41
5.2.
Approximation des ensembles transitifs par chaînes par orbites
périodiques
............................................................ 44
5.3.
Démonstration du pistage faible
......................................... 45
5.4.
Application
:
étude de la stabilité molle
................................. 48
5.5.
Problèmes
............................................................... 49
6.
Hyperbolicité non uniforme
............................................. 51
6.1.
Décomposition dominée
................................................. 51
6.2.
Familles de plaques
...................................................... 52
6.3.
Points hyperboliques
.................................................... 53
6.4.
Variétés invariantes
...................................................... 54
6.5.
Mesures hyperboliques
.................................................. 55
6.6.
Pistage généralisé
....................................................... 56
6.7.
Lemmes de sélection
..................................................... 57
6.8.
Fibres non uniformes
.................................................... 58
6.9.
Classes hyperboliques par chaînes
....................................... 59
6.10.
Difféomorphismes dérivés d Anosov non hyperboliques
................. 61
7.
Réduction de la dimension ambiante
................................... 65
7.1.
Variété normalement hyperbolique
...................................... 65
7.2.
Existence de sous-variété localement invariante
.......................... 66
7.3.
Idée de la preuve du théorème
7.2 ........................................ 67
7.4.
Application
:
existence de feuilletages stables
............................ 67
7.5.
Problèmes
............................................................... 68
8.
Bifurcations de points périodiques
...............................,...... 71
8-1.
Cocycles linéaires périodiques
.,.................. ......................... 71
8.2.
Contraction uniforme à la période
......................................... 72
8.3.
Valeurs propres réelles simples
......................,................... 72
8.4.
Domination
............................................................. 73
8.5.
Tangences homoclines
................................................... 74
8.6.
Application
(1) :
phénomène de Newhouse en l absence de décomposition
dominée
............................................................... 75
8.7-
Application
(2) :
caractérisation de la stabilité
.......................... 77
8.8.
Contrôle des variétés invariantes
........................................ 80
8.9.
Exemples
d Abraham-Smale
............................................. 80
810.
Problèmes
.............................................................. 84
9.
Points périodiques
homo clini
quement liés
............................. 85
9.1.
Spécification au sein d une classe homocline {indice fixé)
................. 85
ASTÉRISQUE
354
TABLE DES MATIERES
9.2.
Cycles hétérodimensionnels
.............................................. 86
9.3.
Spécification au
sem
d une classe homocline (indice variable)
............ 88
9.4.
Application
(1) :
indices des classes homoclines
......................... 89
9.5.
Application
(2) :
mesures génériques portées par une classe homocline
isolée
.................................................................. 90
9.6.
Application
(3) :
dynamique universelle
................................. 91
9.7.
Mélangeurs, obtention de bifurcations robustes
.......................... 94
9.8.
Problèmes
............................................................... 94
Remarques après révision
.................................................... 97
10.
Dynamique loin des
tangences
homoclines
:
modèles centraux
.... 99
10.1.
Mécanismes versus phénomènes
........................................ 99
10.2.
Caractérisation des dynamiques hyperboliques
.........................100
10.3.
Dynamiques non critiques
..............................................102
10.4.
Ensembles minimaux non hyperboliques
...............................102
10.5.
Modèles centraux
......................................................104
10.6.
Lorsqu un fibre est dégénéré
............................................108
10.7.
Dynamique centrale récurrente par chaînes
.............................109
10.8.
Le type hyperbolique par chaînes et situations similaires
...............111
10.9.
Les autres types
........................................................113
10.10.
Application
(1) :
dynamique simple versus intersections
homoclines
. . . 115
10.11.
Application
(2) :
étude des quasi-attracteurs
..........................116
10.12.
Application
(3) :
lom
des cycles hétérodimensionnels
..................119
Remarques après révision
....................................................123
11.
Hyperbolicités topologique et uniforme
..............................125
11.1.
Hyperbolicité des fibres extrêmes
.......................................125
11.2.
Technique de
Mané-
Pujais-
S
ambarino ..................................
127
11.3.
Classes
homoclines
à plaques centre-stables discontinues
...............128
11.4.
Application
:
non dégénérescence des fibres uniformes
..................129
11.5.
Hyperbolicité des quasi-attracteurs
......................................130
11.6.
Classification des connexions fortes
.....................................131
11.7.
Connexions de variétés instables périodiques
...........................133
11.8.
Connexions contenues dans une variété stable périodique
..............136
11.9.
Continuation des classes hyperboliques par chaînes
.....................138
A. Centralisateurs de difféomorphismes
..................................141
A.l
.
Difféomorphismes commutant
...........................................141
A.
2.
Stratégie pour montrer que le centralisateur est trivial
..................143
A.3. Perturbations fantômes
.................................................146
A.
4.
Problèmes
..............................................................146
Bibliographie
.................................................................149
Index
.............-............................................................163
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
2013
Les travaux présentés dans ce mémoire portent sur la dynamique de
difféomorphismes de variétés compactes. Pour l étude des proprié¬
tés génériques ou pour la construction d exemples, il est souvent
utile de savoir perturber un système. Ceci soulève généralement des
problèmes délicats
:
une modification locale de la dynamique peut
engendrer un changement brutal du comportement des orbites. En
topologie C
nous proposons diverses techniques permettant de
perturber tout en contrôlant la dynamique
:
mise en transversa-
lité,
connexion d orbites, perturbation de la dynamique tangente,
réalisation d extensions topologiques,
...
Nous en tirons diverses ap¬
plications à la description de la dynamique des difféomorphismes
С
^génériques.
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