Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Springer Spektrum
2014
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| Ausgabe: | 11., erw. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Lehrbuch
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| Online-Zugang: | Inhaltstext Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XXII, 489 S. Ill. 240 mm x 168 mm |
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1 Arithmetik. 1
1.1 Mengen 1
1.2 Aussageformen und logische Zeichen 4
1.3 Einteilung der Zahlen 8
1.4 Grundrechenarten 11
1.5 Grundlegende Rechenregeln 12
1.5.1 Buchstabenrechnen 12
1.5.2 Kehrwert, Quersumme 12
1.5.3 Teilbarkeitsregeln 12
1.5.4 Punktrechnung vor Strichrechnung 13
1.5.5 Potenzrechnung vor Punktrechnung 13
1.5.6 Grundgesetze der Addition und Multiplikation 14
1.5.7 Grundregeln der Klammerrechnung 14
1.5.8 Multiplikation mit Klammern 15
1.5.9 Indizes, Summenzeichen, Produktzeichen 17
1.5.10 Binomische Formeln 18
1.5.11 Division mit Klammern 18
1.6 Bruchrechnung 19
1.6.1 Definitionen 19
1.6.2 Erweitern und Kürzen 20
1.6.3 Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche 21
1.6.4 Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche 21
1.6.5 Multiplizieren von Brüchen 22
1.6.6 Dividieren von Brüchen 23
1.7 Potenz- und Wurzelrechnung 24
1.7.1 Definition der Potenz 24
1.7.2 Regeln der Potenzrechnung 25
1.7.3 Definition der Wurzel 28
1.7.4 Regeln der Wurzelrechnung 29
1.8 Dezimalzahlen und Dualzahlen. 33
1.8.1 Dezimalsystem. 34
1.8.2 Dualsystem. 35
1.8.3 Runden. 36
1.9 Logarithmen. 36
1.9.1 Definition des Logarithmus. 36
1.9.2 Spezielle Basen. 37
1.9.3 Regeln der Logarithmenrechnung. 38
1.9.4 Zusammenhang von Logarithmen mit verschiedenen Basen . 39
1.9.5 Dekadische Logarithmen. 40
1.10 Mittelwerte. 41
1.10.1 Arithmetisches Mittel. 41
1.10.2 Geometrisches Mittel. 41
1.10.3 Harmonisches Mittel. 42
1.10.4 Quadratisches Mittel. 42
1.11 U ngleichungen. 43
1.11.1 Definitionen und Rechenregeln. 43
1.112 Absolutbetrag. 44
1.11.3 Intervalle. 45
1.12 Komplexe Zahlen. 47
1.12.1 Algebraische Form. 47
1.12.2 Trigonometrische Form. 49
1.12.3 Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen. 50
1.12.4 Multiplizieren komplexer Zahlen. 51
1.12.5 Dividieren komplexer Zahlen. 52
1.12.6 Potenzieren komplexer Zahlen. 54
1.12.7 Radizieren komplexer Zahlen. 55
1.12.8 Eulersche Formel. 57
1.13 Beweisprinzipien. 58
1.13.1 Direkter Beweis. 58
1.13.2 Beweis durch Kontraposition. 59
1.13.3 Widerspruchsbeweis (indirekter Beweis). 59
1.13.4 Beweis mit vollständiger Induktion. 59
2 Gleichungen. 63
2.1 Gleichungsarten. 63
2.2 Äquivalente Umformungen. 66
2.3 Lineare Gleichungen. 67
2.4 Proportionen. 69
2.5 Quadratische Gleichungen. 71
2.5.1 Definitionen. 71
2.5.2 Lösungsverfahren. 71
2.5.3 Satz von Vieta für quadratische Gleichungen. 77
2.6 Algebraische Gleichungen höheren Grades. 78
2.6.1 Kubische Gleichungen. 78
2.6.2 Polynomdivision. 80
2.6.3 Gleichungen vierten Grades. 82
2.6.4 Gleichungen n-ten Grades. 86
2.6.5 Satz von Viéta für Gleichungen n-ten Grades. 87
2.7 Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen. 89
2.7.1 Bruchgleichungen. 89
2.7.2 Wurzelgleichungen. 90
2.8 Transzendente Gleichungen. 93
2.8.1 Exponentialgleichungen. 93
2.8.2 Logarithmische Gleichungen. 94
2.8.3 Trigonometrische Gleichungen. 95
2.9 Lineare Gleichungssysteme. 96
2.9.1 Definitionen. 96
2.9.2 Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen. 97
2.9.3 Drei lineare Gleichungen mit drei Variablen. 101
2.9.4 Matrizen und Determinanten. 103
2.10 Lineare Ungleichungen. 115
2.10.1 Definitionen. 115
2.10.2 Lineare Ungleichungen mit einer Variablen. 115
2.10.3 Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen. 116
2.10.4 Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen. 118
3 Planimetrie. 121
3.1 Geraden und Strecken. 121
3.2 Winkel. 122
3.3 Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal. 126
3.4 Projektion. 129
3.5 Geometrische Örter. 130
3.6 Dreiecke. 131
3.6.1 Allgemeine Dreiecke. 131
3.6.2 Gleichschenklige Dreiecke. 133
3.6.3 Gleichseitige Dreiecke. 133
3.6.4 Rechtwinklige Dreiecke. 134
3.6.5 Besondere Geraden, Strecken und Kreise. 135
3.6.6 Flächensätze im rechtwinkligen Dreieck. 139
3.6.7 Kongruenz von Dreiecken. 141
3.6.8 Grundkonstruktionen des Dreiecks. 143
3.7 Vierecke. 146
3.7.1 Allgemeine Vierecke. 146
3.7.2 Trapeze. 148
3.7.3 Parallelogramme. 149
3.7.4 Rhomben. 150
3.7.5 Rechtecke. 150
3.7.6 Quadrate. 151
3.7.7 Drachen. 151
3.7.8 Sehnenvierecke. 152
3.7.9 Tangentenvierecke. 153
3.8 Reguläre n-Ecke. 154
3.9 Polygone. 156
3.10 Kreise. 157
3.10.1 Definitionen. 157
3.10.2 Kreissektoren. 159
3.10.3 Kreissegmente. 160
3.10.4 Kreise und Geraden. 161
3.10.5 Winkelsätze am Kreis. 161
3.10.6 Eigenschaften von Sekanten und Sehnen. 162
3.10.7 Tangentenkonstruktionen. 163
3.10.8 Sätze über Sehnen, Sekanten, Tangenten. 165
3.10.9 Bogenmaß. 166
3.11 Symmetrie. 168
3.11.1 Punktsymmetrie. 168
3.11.2 Achsensymmetrie. 168
3.12 Ähnlichkeit. 168
3.12.1 Zentrische Streckung. 168
3.12.2 Strahlensätze. 169
3.12.3 Ähnliche Figuren. 170
3.12.4 Streckenteilungen. 172
4 Stereometrie. 177
4.1 Prismen. 177
4.1.1 Allgemeine Prismen. 177
4.1.2 Parallelepiped und Würfel. 178
4.2 Zylinder. 180
4.2.1 Allgemeine Zylinder. 180
4.2.2 Gerade Kreiszylinder. 181
4.2.3 Hohlzylinder. 182
4.3 Pyramiden. 182
4.3.1 Allgemeine Pyramiden. 182
4.3.2 Gerade quadratische Pyramiden. 184
4.4 Kegel. 185
4.4.1 Allgemeine Kegel. 185
4.4.2 Gerade Kreiskegel. 186
4.5 Cavalierisches Prinzip. 187
4.6 Pyramidenstümpfe und Kegelstümpfe.,. 187
4.6.1 Pyramidenstümpfe. 187
4.6.2 Kegelstümpfe. 188
4.7 Platonische Körper. — 190
4.8 Kugeln. 192
4.8.1 Definitionen. 192
4.8.2 Kugelsegmente. 193
4.8.3 Kugelsektoren. 194
4.8.4 Kugelschichten. 195
5 Funktionen. 197
5.1 Definition und Darstellungen von Funktionen. 197
5.1.1 Definitionen. 197
5.1.2 Funktionsgleichung. 198
5.1.3 Graph einer Funktion. 200
5.1.4 Wertetabelle einer Funktion. 201
5.2 Verhalten von Funktionen. 201
5.2.1 Monotone Funktionen. 201
5.2.2 Symmetrische Funktionen. 203
5.2.3 Beschränkte Funktionen. 204
5.2.4 Injektive Funktionen. 205
5.2.5 Surjektive Funktionen. 206
5.2.6 Bijektive Funktionen. 206
5.2.7 Periodische Funktionen. 207
5.2.8 Umkehrfunktionen. 207
5.2.9 Reelle und komplexe Funktionen. 209
5.3 Einteilung der elementaren Funktionen. 210
5.4 Ganze rationale Funktionen. 214
5.4.1 Konstante Funktionen. 214
5.4.2 Lineare Funktionen. 215
5.4.3 Quadratische Funktionen. 218
5.4.4 Kubische Funktionen. 227
5.4.5 Ganze rationale Funktionen «-ten Grades. 228
5.4.6 Horner-Schema. 231
5.5 Gebrochene rationale Funktionen. 232
5.5.1 Nullstellen, Pole, Asymptoten. 232
5.5.2 Partialbruchzerlegung. 240
5.6 Irrationale Funktionen. 243
5.7 Transzendente Funktionen. 246
5.7.1 Exponentialfunktionen. 246
5.7.2 Logarithmusfunktionen. 248
6 Trigonometrie. 251
6.1 Definition der trigonometrischen Funktionen. 251
6.2 Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel. 254
6.3 Beziehungen für den gleichen Winkel. 256
6.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen. 257
6.5 Reduktionsformeln. 260
6.6 Additionstheoreme. 261
6.7 Sinussatz und Kosinussatz. 264
6.8 Grundaufgaben der Dreiecksberechnung. 265
6.9 Arkusfunktionen. 269
7 Analytische Geometrie. 275
7.1 Koordinatensysteme. 275
7.1.1 Kartesisches Koordinatensystem der Ebene. 276
7.1.2 Polarkoordinatensystem der Ebene. 277
7.1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten ,. 277
7.1.4 Kartesisches Koordinatensystem des Raums. 280
7.1.5 Kugelkoordinatensystem des Raums. 280
7.1.6 Zylinderkoordinatensystem des Raums. 282
7.2 Geraden. 283
7.2.1 Geradengleichungen. 283
7.2.2 Abstände. 289
7.3 Kreise. 291
7.3.1 Kreisgleichungen. 291
7.3.2 Berechnung von Kreisen. 294
7.3.3 Kreis und Gerade. 295
7.4 Kugeln. 300
7.5 Kegelschnitte. 301
7.5.1 Ellipsen. 304
7.5.2 Hyperbeln. 308
7.5.3 Parabeln. 314
7.5.4 Anwendungen. 319
7.6 Graphisches Lösen von Gleichungen. 324
7.7 Vektoren. 329
7.7.1 Definitionen. 329
7.7.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. 330
7.7.3 Addition und Subtraktion zweier Vektoren. 330
7.7.4 Komponentendarstellung von Vektoren in der Ebene. 332
7.7.5 Komponentendarstellung von Vektoren im Raum. 333
7.7.6 Skalarprodukt. 334
7.7.7 Vektorprodukt. 336
7.7.8 Spatprodukt. 337
8 Differential- und Integralrechnung. . 341
8.1 Folgen. 341
8.1.1 Grundbegriffe. 341
8.1.2 Arithmetische Folgen. 343
8.1.3 Geometrische Folgen. 343
8.1.4 Grenzwert einer Folge. 344
8.1.5 Tabelle einiger Grenzwerte. 345
8.1.6 Divergente Folgen. 346
8.2 Reihen. 347
8.2.1 Definitionen. 347
8.2.2 Arithmetische Reihen. 350
8.2.3 Geometrische Reihen. 351
8.2.4 Harmonische Reihen. 352
8.2.5 Alternierende Reihen. 353
8.3 Grenzwerte von Funktionen. 354
8.3.1 Grenzwert an einer endlichen Stelle. 354
8.3.2 Einseitige Grenzwerte. 356
8.3.3 Grenzwert im Unendlichen. 356
8.3.4 Rechenregeln für Grenzwerte. 357
8.3.5 Unbestimmte Ausdrücke. 358
8.3.6 Stetigkeit einer Funktion. 359
8.3.7 Unstetigkeitsstellen. 360
8.4 Ableitung einer Funktion. 362
8.4.1 Definitionen. 362
8.4.2 Differentiationsregeln. 364
8.4.3 Höhere Ableitungen. 368
8.4.4 Ableitungen einiger algebraischer Funktionen. 369
8.4.5 Ableitungen einiger transzendenter Funktionen. 370
8.4.6 Sekanten und Tangenten. 373
8.4.7 Extremwerte von Funktionen. 374
8.4.8 Krümmungsverhalten von Funktionen. 376
8.4.9 Wendepunkte von Funktionen. 378
8.4.10 Kurvendiskussion. 379
8.4.11 Anwendungsbeispiele. 381
8.4.12 Näherungs verfahren zur Nullstellenbestimmung. 382
8.5 Integralrechnung. 385
8.5.1 Unbestimmtes Integral. 385
8.5.2 Integrationsregeln. 387
8.5.3 Unbestimmte Integrale einiger algebraischer Funktionen. 392
8.5.4 Unbestimmte Integrale einiger transzendenter Funktionen. 393
8.5.5 Bestimmtes Integral. 394
8.5.6 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. 396
8.5.7 Eigenschaften des bestimmten Integrals. 397
8.5.8 Einige Anwendungen der Integralrechnung. 399
8.6 Funktionenreihen. 404
8.6.1 Definitionen. 404
8.6.2 Potenzreihen. 406
8.6.3 Fourier-Reihen. 410
9 Kombinatorik. 419
9.1 Kombinatorische Grundprinzipien. 419
9.2 Fakultäten, Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck. 421
9.3 Binomischer Fehrsatz. 424
9.4 Permutationen und Variationen. 425
9.5 Kombinationen. 427
9.6 Permutationen mit eingeschränkter Wiederholung. 431
9.7 Multinomialsatz. 432
9.8 Prinzip der Inklusion und Exklusion. 433
10 Wahrscheinlichkeitsrechnung. 437
10.1 Zufällige Ereignisse. 437
10.2 Absolute und relative Häufigkeit von Ereignissen. 440
10.3 Stichproben. 441
10.4 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit. 448
10.5 Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit. 450
10.6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten. 457
10.7 Zufallsvariablen. 461
Symbole und Bezeichnungsweisen. 465
Mathematische Konstanten. 469
Das griechische Alphabet . 471
Literaturverzeichnis. 473
Sachverzeichnis
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