Differentialgeometrie und Minimalflächen:
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Berlin [u.a.]
Springer
2014
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| Edition: | 3., aktualis. Aufl. |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1. Der begriffliche Rahmen.................................. 1
1.1 Geometrie............................................. 1
1.2 Anschauliche und Analytische Geometrie.................. 1
1.3 Glattheit............................................... 6
1.4 Messungen ............................................ 9
1.5 Übungsaufgaben ....................................... 11
2. Kurven................................................... 13
2.1 Bogenlänge............................................ 13
2.2 Die Variation der Bogenlänge............................ 18
2.3 Krümmung............................................ 19
2.4 Totalkrümmung geschlossener ebener Kurven.............. 23
2.5 Totalkümmung von Raumkurven......................... 25
2.6 Torsion ............................................... 27
2.7 Übungsaufgaben ....................................... 29
3. Die erste Fundamentalform............................... 35
3.1 Länge und Winkel...................................... 35
3.2 Skalarprodukte......................................... 37
3.3 Flächeninhalt.......................................... 39
3.4 Zueinander isometrische Immersionen..................... 41
3.5 Übungsaufgaben ....................................... 42
4. Die zweite Fundamentalform ............................. 45
4.1 Die Lageänderung des Tangentialraums ................... 45
4.2 Die Gaußabbildung einer Hyperfläche..................... 46
4.3 Weingarten-Abbildung.................................. 48
4.4 Abstandsfunktion und Parallelhyperflächen................ 51
4.5 Die lokale Gestalt einer Hyperfläche ...................... 53
4.6 Der Normalanteil des Krümmungsvektors.................. 54
4.7 Normalenschnitte....................................... 56
4.8 Übungsaufgaben ....................................... 57
5. Geodäten und Kürzeste .................................. 61
5.1 Die Variation der Bogenlänge auf Immersionen............. 61
5.2 Die Differentialgleichung der Geodäten.................... 62
5.3 Die geodätische Exponentialab
bildung
.................... 64
5.4 Kürzeste Kurven....................................... 67
5.5 Übungsaufgaben ....................................... 68
6. Die
tangenţiale
Ableitung................................. 71
6.1 Die Christoffelsymbole.................................. 71
6.2 Die Levi-Civita-Ableitung............................... 72
6.3 Vektorfelder längs Kurven, Parallelität.................... 74
6.4 Gradient und Hesseform................................. 76
6.5 Übungsaufgaben ....................................... 79
7. Nabelpunkte und konforme Abbildungen................. 81
7.1 Nabelpunkthyperflächen................................. 81
7.2 Orthogonale Hyperflächensysteme........................ 82
7.3 Konforme Abbildungen.................................. 84
7.4 Möbius-Transformationen ............................... 87
7.5 Die Stereographische Projektion.......................... 91
7.6 Übungsaufgaben ....................................... 94
8. Minimalnächen........................................... 99
8.1 Variation des Flächeninhalts............................. 99
8.2 Minimaler Flächeninhalt ................................102
8.3 Seifenhäute und mittlere Krümmung......................106
8.4 Konforme Parameter und komplexe Zahlen................110
8.5 Die Weierstraß-Darstellung..............................115
8.6 Konstruktion konformer Parameter.......................120
8.7 Minimale Graphen und Satz von Bernstein ................122
8.8 Übungsaufgaben .......................................127
9. Das Plateau-Problem.....................................133
9.1 Einführung............................................133
9.2 Flächeninhalt und Energie...............................135
9.3 Das Dirichletsche Prinzip................................136
9.4 Bestimmung der Randparameter.........................140
9.5 Schwache Konformität..................................144
9.6 Ausschluss von Verzweigungspunkten.....................153
9.7 Harmonische Funktionen................................157
9.8 Holomorphe Funktionen.................................164
9.9 Übungsaufgaben .......................................169
10. Minimalflächen und Maximumprinzip ....................171
10.1 Das Maximumprinzip für minimale Hyperflächen...........171
10.2 Hindernisse für Minimalflächen...........................175
10.3 Übungsaufgaben........................................179
11. Innere und äußere Geometrie.............................181
11.1 Von der inneren zur Riemannschen Geometrie.............. 181
11.2 Die Levi-Civita-Ableitung............................... 184
11.3 Der Riemannsche Krümmungstensor...................... 187
11.4 Lokal euklidische Metriken............................... 190
11.5 Gauß-Gleichung und
Theorema
Egregium ................. 192
11.6 Übungsaufgaben ....................................... 195
12. Krümmung und Gestalt ..................................197
12.1 Geodätische Koordinaten................................197
12.2 Die Jacobigieichung.....................................199
12.3 Die hyperbolische Ebene................................201
12.4 Geodätische Krümmung auf Flächen......................208
12.5 Der Satz von Gauß-Bonnet..............................209
12.6 Zusammenhangsform und Krümmung.....................212
12.7 Der Satz von Gauß-Bonnet im Großen ....................214
12.8 Übungsaufgaben .......................................219
A. Integration...............................................225
A.l Cartanableitung und Integration .........................225
A.2 Der Divergenzsatz......................................230
A.3 Integrationsbedingungen ................................232
A.4 Übungsaufgaben .......................................235
B. Gewöhnliche Differentialgleichungen......................237
B.l Existenz und Eindeutigkeit..............................237
B.2 Lineare Differentialgleichungen...........................239
B.3 Stetige Abhängigkeit von Parametern und Anfangswerten . . . 240
B.4 Differenzierbare Abhängigkeit von den Anfangswerten.......242
B.5 Der Fluss eines Vektorfeldes .............................244
B.6 Übungsaufgaben .......................................246
Literatur .....................................................249
Sachverzeichnis...............................................251
Differentialgeometrie und Minimalflächen
Das vorliegende Lehrbuch bietet eine moderne Einführung in die Differentialgeometrie -
etwa im Umfang einer einsemestrigen Vorlesung. Zunächst wird die Geometrie von
Flächen im Raum behandelt. Hierbei wird diegeometrische Anschauung des Lesers an¬
hand vieler Beispiele gefördert, deren wichtigste Klasse die Minimalflächen bilden. Zu
ihrem Studium werden analytische Methoden entwickelt, und in diesem Zusammenhang
wird auch das Plateausche Problem, eine Minimalfläche mit vorgegebener Berandung
zu finden, gelöst. Als Beispiel einer globalen Aussage der Differenzialgeometrie wird
der Bernsteinsche Satz bewiesen. Weitere Kapitel behandeln die innere Geometrie
von Flächen, einschließlich des Satzes von Gauss-Bonnet und einer ausführlichen
Darstellung der hyperbolischen Geometrie. Verschiedene geistesgeschichtliche Be¬
merkungen runden
diesenïext
ab, welcher durch seine Verbindung von geometrischen
Konsumtionen und analytischen Methoden einem zentralen Trend der
modernenen
mathematischen Forschung folgt. Die Neuauflage wurde überarbeitet und aktualisiert.
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